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Rattrapage Alg2 .pdf


Nom original: Rattrapage Alg2.pdf

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Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques-Informatique

Algèbre2
1iere Annee Licence MIAS

Rattrapage
Date: Lundi 17 Juin 2013

Time: 10.00-11.30
( reading time)

Exercice 1 Montrer que E2 = f(un ) : N ! Rg : l’ensemble des suites réelles muni de
l’addition des suites dé…nie par
(un ) + (vn ) = (un + vn )
et de la multiplication par un nombre réel
(un ) = (

un )

est un espace vectoriel (sur R).
Exercice 2 Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de
dimension …nie de E, on dé…nit l’application f : E1 E2 ! E par f (x1 ; x2 ) = x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
Exercice 3 Soient trois vecteurs e1 ; e2 ; e3 formant une base de R3 . On note f l’application
linéaire dé…nie par
f (e1 ) = e3 ; f (e2 ) =

e1 + e2 + e3 et f (e3 ) = e3 :

1. (a) Écrire la matrice A de f dans la base (e1 ; e2 ; e3 ).
(b) Déterminer le noyau de cette application.
2. On pose
f1 = e1

e3 ; f2 = e1

e2 ; f3 =

e1 + e2 + e3 :

(a) Calculer e1 ; e2 ; e3 en fonction de f1 ; f2 ; f3 .
(b) Les vecteurs f1 ; f2 ; f3 forment-ils une base de R3 ?


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