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Nom original: circunferencia.pdf
Titre: PAGS 44 A 58
Auteur: Luis Castro

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

4

Página 55

LA
CIRCUNFERENCIA

4.1 INTRODUCCIÓN
Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro.
A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos "un cuadrado". Para todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento para transformar su ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda la
ecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables
"al cuadrado".
En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es

Ax 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0
pero como se mencionó en las páginas 17 y 18 al hablar del análisis de la ecuación general,
para que sea circunferencia se requiere que "los cuadrados sean iguales", es decir, que A = B .
Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como

Ax 2 + Ay 2 + D x + E y + F = 0
Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, esta
ecuación queda dividida entre A , de la siguiente forma:

A 2 A 2 D
E
F
x +
y +
x+
y+
=0
A
A
A
A
A
que simplificada resulta

Página 56

LA CIRCUNFERENCIA

x2 + y2 +

Al final de cuentas, los coeficientes

D
E
F
x+
y+
=0
A
A
A
D
E
F
,
, y
son números también, por lo que,
A
A
A

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

D
se renombra como D ;
A
E
se renombra como E ;
A
F
se renombra como F ;
A
por lo que la ecuación en forma general de la circunferencia se acostumbra escribir de la siguiente manera:

La ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(3.1)

Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastante
limitada acerca de las características de la figura; en cambio, con la ecuación particular se obtienen los datos necesarios para identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de la
circunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la medida del radio. La ecuación en forma particular proporciona esa información.

La ecuación particular de la circunferencia es
(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

(3.2)

En donde:
(h , k )
r

indican las coordenadas del centro;
indica el valor del radio.

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Página 57

En esta ecuación, h indica el valor de la abscisa del centro, es decir, el valor en x del desplazamiento del centro, mientras que k indica
el valor de la ordenada del centro, es decir, el
valor en y del desplazamiento del centro. Ver
figura 4.1.

y
h
x

Debe tenerse mucho cuidado en que los valores de las coordenadas del desplazamiento
del centro, ya que cambian de signo al momento de reemplazarse en la ecuación particular
debido al signo negativo que tiene su ecuación
particular.

k
(h, k)

Por ejemplo, si una circunferencia tiene ra-

figura 4.1

dio r = 4 y su centro en C ( 2 , − 3 ) , le corres-

ponden en este caso los valores de h = 2 y de
k = − 3 ; sin embargo, en la ecuación particular, por el signo menos que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando

( x − 2)

2

+ ( y + 3 ) = 16
2

4.2 TRANSFORMACIONES
Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma
ecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma a la otra.
Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular es
conveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomio
cuadrático x 2 + D x + G , en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma

( x + m)

2

+ k , en donde también m y k son números cualesquiera. A éste último se le llama-

rá binomio al cuadrado más un residuo, en el que m es el segundo término del binomio y k es
el residuo.
Para comprender el proceso perfectamente conviene analizar primero el procedimiento inverso, es decir, pasar de un binomio al cuadrado más un residuo a un polinomio cuadrático.
Por ejemplo, si se tiene el polinomio

( x + 7)

2

+ 3 para convertirlo en un polinomio cuadráti-

co es suficiente elevar al cuadrado el binomio y luego sumar términos semejantes. Recordar
que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Página 58

LA CIRCUNFERENCIA

De manera que

P
2
x
+
7
+
(
) 3=

x2
N

cuadrado
del primero

+

+

14 x
N

doble
producto
del primero
por el segundo

49
N

P
+ 3

cuadrado
del segundo

y sumando 49 + 3 se llega a que

( x + 7)

2

+ 3 = x 2 + 14 x + 52

El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático x 2 + 14 x + 52 , transformarlo en el binomio al cuadrado más su residuo

( x + 7)

2

+ 3 . Analizando el procedimiento

hecho renglones arriba, se deduce que:
a)
b)

x 2 es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo tanto, dicho
primer término es su raíz cuadrada, es decir x .
14x es el doble producto del primer término por el segundo, del binomio buscado.
Por lo tanto, si 14 se divide entre 2 se le quita “lo doble” y así se obtiene el segundo término del binomio. En este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomio
buscado.

Hasta este momento se podría escribir que

x 2 + 14 x + 52 = ( x + 7 )

2

lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no es igual a lo escrito del lado derecho, debido a que el proceso no está completo todavía. Hace falta verificar que lo que está escrito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está escrito del lado derecho:

?
2
x 2 + 14 x + 52 = ( x + 7 )





lado izquierdo

lado derecho

En el lado derecho existe un término de más y otro de menos respecto de lo que está escrito
en el lado izquierdo para que ambos lados realmente sean iguales. Si se desarrolla mentalmente el binomio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que se tiene allí es:

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a)
b)
c)

Página 59

x 2 : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto está también en el
lado izquierdo.
14x : que es el doble producto del primer término por el segundo del binomio. Obsérvese que también está en el lado izquierdo.
+ 49 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 49 no
aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe
quitarse restándolo.

Ahora bien, el 52 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,
para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 52 que
le falta y quitarse el 49 que le sobra, de la siguiente manera:

x 2 + 14 x + 52 = ( x + 7 ) − 49 + 52
2

Finalmente, sumando − 49 + 52 se llega a que

x 2 + 14 x + 52 = ( x + 7 ) + 3
2

Ejemplo 1: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:

x2 − 8x − 9
Solución:

Se sabe que del trinomio cuadrático x 2 − 8 x − 9 , x 2 es el cuadrado del primer término
del binomio buscado y − 8x es el doble producto del primer término por el segundo del
mismo binomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras
que el segundo término es − 4 (se obtiene de dividir − 8 ÷ 2 ). Provisionalmente se comienza escribiendo que

?
2
x2 − 8x − 9 = ( x − 4 )
en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del
lado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve
que allí hay lo siguiente:
a)

x 2 : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.

b)

− 8x : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese
que también está en el lado izquierdo.

Página 60

c)

LA CIRCUNFERENCIA

+ 16 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 16 no aparece en

el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el − 9 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,
para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese − 9
que le falta y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:

x 2 − 8 x − 9 = ( x − 4 ) − 16 − 9
2

x 2 − 8 x − 9 = ( x − 4 ) − 25
2

Ejemplo 2: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:

x2 + 5x − 1 .
Solución:

Se sabe que del trinomio cuadrático x 2 + 5 x − 1 , x 2 es el cuadrado del primer término del
binomio buscado y 5x es el doble producto del primer término por el segundo del mismo
binomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras que el segundo término es

5
(se obtiene de dividir 5 ÷ 2 ). Provisionalmente se comienza escri2

biendo que
2
?
5 
x + 5x − 1 =  x +

2 

2

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del
lado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve
que allí hay lo siguiente:
a)

x 2 : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.

b)

+ 5x : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese
que también está en el lado izquierdo.

c)

+

25
25
: que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este +
no aparece
4
4

en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.
Ahora bien, el − 1 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,
para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese − 1

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

que le falta y quitarse el

Página 61

25
que le sobra, de la siguiente manera:
4
2

5 
25

x + 5x − 1 =  x +
−1
 −
2 
4

2

2

5 
− 25 − 4

x + 5x − 1 =  x +
 +
2 
4

2

2

5 
29

x2 + 5x − 1 =  x +
 −
2 
4


EJERCICIO ADICIONAL
Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes trinomios cuadráticos:
1)

x 2 + 12 x + 3

2)

x 2 + 10 x − 7

3)

x 2 − 2 x − 21

4)

x 2 − 14 x + 11

5)

x 2 + 22 x + 8

6)

x 2 − 16 x − 32

7)

x 2 + x + 11

8)

x 2 − 3 x + 13

9)

x2 − 9x

10)

x2 + 7 x

Página 62

LA CIRCUNFERENCIA

4.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES

1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma general
a la forma particular:
* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x2.
* Con los términos x2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo.
* Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo.
* Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suman.
Nota:

No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba igualada a cero.

2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma particular a la forma general:
* Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 .
* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quede igualado a cero.
* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se ordenan.

Ejemplo 1: Transformar a la forma particular la ecuación x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0
Solución:

Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los
que contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacerse
mentalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

x 2 − 6 x + y 2 + 4 y − 12 = 0





Con los términos en x , es decir, con x 2 − 6 x se obtiene un binomio al cuadrado más su

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Página 63

residuo; luego, con los términos en y , es decir, con y 2 + 4 y se obtiene también un binomio al cuadrado más su residuo:

2

x − 6x






2
+ y + 4y

− 12 = ( x − 3 ) − 9





2



2
+ ( y + 2) − 4

− 12



Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( x − 3)

2

− 9 + ( y + 2 ) − 4 − 12 = 0
2

Al sumar las constantes − 9 − 4 − 12 = − 25 se
reduce a

( x − 3)

2

+ ( y + 2 ) − 25 = 0
2

Y finalmente escribiendo esa constante en el lado
derecho, la ecuación particular buscada es

( x − 3)

2

+ ( y + 2 ) = 25
2

1
-2

3

5

7

C

-4
-6
-8

Se trata de una circunferencia que tiene por centro

figura 4.2

C ( 3, − 2 ) y cuyo radio es r = 5 . Su gráfica
está mostrada en la figura 4.2.

Ejemplo 2: Transformar a la forma particular la ecuación x 2 + y 2 + 2 x − 35 = 0 .
Solución:

Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que se
trata de una circunferencia por tener los dos términos cuadráticos; que está desplazado el
centro sobre el eje x por existir término lineal en x ; y que no está desplazado el centro
sobre el eje y por no existir término lineal en y .
Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los

Página 64

LA CIRCUNFERENCIA

que contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacerse
mentalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

x2 + 2 x + N
y 2 − 35 = 0



Con los términos en x , es decir, con x 2 + 2 x se obtiene un binomio al cuadrado más su
residuo; luego, con los términos en y , en este caso solamente con y 2 se obtiene también
un binomio al cuadrado más su residuo:

2

x + 2x




P
+ y2


2
− 35 = ( x + 1) − 1 + ( y + 0 )
− 35








2

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( x + 1)

2

− 1 + ( y + 0 ) − 35 = 0
2

Al sumar las constantes − 1 − 35 = − 36 se reduce a

( x + 1)

2

+ ( y + 0 ) − 36 = 0
2

Y finalmente escribiendo esa constante en
el lado derecho, la ecuación particular buscada es

( x + 1)

2

+ ( y + 0 ) = 36
2

que también puede escribirse, si se desea,
como

( x + 1)

2

+ y 2 = 36

figura 4.3

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Página 65

Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas C ( − 1, 0 ) y que tiene
por radio r = 6 . Su gráfica corresponde a la figura 4.3.

Ejemplo 5: Transformar a la forma general la ecuación
Solución:

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) = 16 .
2

Se trata de la circunferencia cuyo centro tiene
por coordenadas C (1, 2 ) y radio r = 4 ,
mostrada en la figura 4.4.
Elevando al cuadrado ambos binomios, se
obtiene:
2
2

2

x − 2 x + 1 + y − 4 y + 4 = 16
1

igualando a cero:

x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 − 16 = 0
sumando

los

términos

semejantes

1 + 4 − 16 = 11 y ordenando conforme a la

figura 4.4

ecuación general de las cónicas, se reduce a:

x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 11 = 0

Ejemplo 6: Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia cuya ecuación
es 2 x 2 + 2 y 2 − 20 x − 192 = 0 .
Solución:

En este caso se tiene que A = 2 ; B = 2 ; D = − 20 ; E = 0 ; F = − 192 . El análisis de la
ecuación general lleva a que se trata de una circunferencia por ser A = B ; que está desplazado el centro sobre el eje x por existir término lineal en x ; y que no está desplazado el
centro sobre el eje y por no existir término lineal en y .
Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga términos al cuadrado, es "quitarles el
numerito a los cuadrados", o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de x 2 y de

y 2 . En este caso, dividir entre 2 a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:

x 2 + y 2 − 10 x − 96 = 0

Página 66

LA CIRCUNFERENCIA

Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:


P
2
2
2
x − 10 x + y
− 96 = ( x − 5 ) − 25 + ( y + 0 ) − 96








2

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( x − 5)

2

− 25 + ( y + 0 ) − 96 = 0
2

Al sumar las constantes − 25 − 96 = − 121
se reduce a

( x − 5)

2

+ ( y + 0 ) − 121 = 0
2

Y finalmente escribiendo esa constante en el
lado derecho, la ecuación particular buscada
es

( x − 5)

2

+ ( y + 0 ) = 121
2

que también puede escribirse, si se desea,
como
figura 4.5

( x − 5)

2

+ y 2 = 121

de donde se deduce que h = 5 y k = 0 ,por lo que las coordenadas del centro son C ( 5, 0 )
y el radio es r = 11 (figura 4.5). Como k = 0 , el centro no está desplazado sobre el eje y
tal como se había previsto al analizar la ecuación general.

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 67

EJERCICIO 6
Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cada
circunferencia:
1)

x2 + y 2 + 2x + 4 y + 1 = 0

2)

x 2 + y 2 + 2 x + 10 y + 17 = 0

3)

x2 + y2 − 4x − 4 y − 1 = 0

4)

x2 + y 2 − 2x + 2 y + 1 = 0

5)

x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0

6)

x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 36 = 0

7)

4 x 2 + 4 y 2 − 56 x + 8 y + 196 = 0

8)

3x 2 + 3 y 2 + 60 x − 30 y + 300 = 0

9)

x 2 + y 2 − 16 y − 48 = 0

10)

x 2 + y 2 + 18 x + 65 = 0

Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de circunferencias:
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)

(x + 1)2 + (y + 9)2 = 9
(x + 7)2 + (y - 2)2 = 49
(x - 3)2 + (y + 12)2 = 169
(x + 10)2 + (y + 9)2 = 81
(x + 11)2 + (y - 1)2 = 25
(x + 13)2 + (y - 8)2 = 4
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 1
(x - 2)2 + (y - 9)2 = 36
x2 + (y - 5)2 = 16
(x + 6)2 + y2 = 400

Hallar los valores de las constantes D , E y F de las circunferencias que se describen:
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)

las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son
las coordenadas del centro son

C(2, 0) y su radio es r = 3 .
C(5, - 1) y su radio es r = 2 .
C(- 6, 10) y su radio es r = 7 .
C(0, - 7) y su radio es r = 12 .
C(3, - 4) y su radio es r = 4 .
C(- 8, - 3) y su radio es r = 9 .
C(- 9, 1) y su radio es r = 14 .
C(0, 0) y su radio es r = 8 .
C(11, 4) y su radio es r = 13 .
C(7, 7) y su radio es r = 7 .

Página 68

LA CIRCUNFERENCIA

4.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS
Para que una circunferencia quede bien definida deben conocerse mínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntos
nada más no queda bien definida, pues por allí pueden pasar
un sinnúmero de circunferencias. La figura 4.6 muestra tres
circunferencias que pasan por los puntos P y Q.
Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por los
que pasa una circunferencia, para hallar su ecuación existen
tres opciones:
Primera opción: se sustituyen los valores de x y de y de
cada punto en la ecuación general de la circunferencia,
con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas D, E y F, sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Una vez encontrados los
valores de esas constantes D , E y F , se reemplazan en
la ecuación general.

Q
P

figura 4.6

Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de y de cada punto en la ecuación particular de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas
h, k y r , sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Una vez
encontrados los valores de esas constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación particular.
Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculan
las ecuaciones de sus mediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersección de dichas mediatrices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la circunferencia, página 9), ese punto es el centro de la circunferencia. Finalmente se calcula
distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, obteniéndose así el radio.
En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es válido. Simplemente hay que
tener presente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual número de ecuaciones como de incógnitas, para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen dos incógnitas, deben
tenerse dos ecuaciones; si se tienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra forma no se puede solucionar el sistema.
Ejemplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación empleando la primera opción.
NOTA:

Solución:

La C no se emplea para nombrar a algún punto, ya que esta letra se reserva mejor para denominar así al centro.

La ecuación general de la circunferencia es

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 69

x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(A)

Para el punto P se tiene que x = 4 y y = 8 . Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)
se obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:

( 4)

2

+ (8) + D ( 4 ) + E (8) + F = 0
2

Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que

16 + 64 + 4 D + 8 E + F = 0
4 D + 8 E + F = − 80

(1)

Para el punto Q se tiene que x = 5 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se
obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

(5)

2

+ (1 ) + D ( 5 ) + E ( 1) + F = 0
2

Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a

25 + 1 + 5 D + E + F = 0
5D + E + F = − 26

(2)

Para el punto R se tiene que x = - 2 y y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)
se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

( −2 )

2

+ ( 0 ) + D ( −2 ) + E ( 0 ) + F = 0
2

Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene

4 + 0 − 2D + 0E + F = 0
−2D + F = −4

(3)

Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:

4 D + 8 E + F = − 80
5 D + E + F = − 26
−2D

+ F = −4

(1 )
( 2)
( 3)

Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora, o bien cambiándole de signo
a toda la primera ecuación y luego sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminar
la variable F , se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Página 70

LA CIRCUNFERENCIA

− 4 D − 8 E − F = 80
5 D + E + F = − 26
D − 7E
= 54

(4)

− 4 D − 8 E − F = 80
−2D
+ F = −4
− 6 D − 8E
= 76

(5)

Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), ya
sea por el método de suma y resta, por igualación, por sustitución o por determinantes, aunque se aconseja que se haga mejor con la calculadora:

D − 7 E = 54
− 6 D − 8 E = 76

( 4)
(5)

Con la calculadora se obtiene que

D = −2
E = −8
F = −8
Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se reemplazan en la ecuación general de la circunferencia (A) , para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:

x2 + y 2 − 2x − 8 y − 8 = 0

Ejemplo 2: Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuación
empleando la segunda opción.
Solución:

La ecuación particular de la circunferencia es

( x − h)

2

+ ( y − k ) = r2
2

(B)

Para el punto P se tiene que x = 2 y y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se
obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

(2 − h)

Página 71

+ ( 4 − k ) = r2

2

2

(6)

Para el punto Q se tiene que x = 1 y y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se
obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

(1 − h )

2

+ ( −3 − k ) = r 2
2

(7)

Para el punto R se tiene que x = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se
obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

( −7 − h )

2

+ (1 − k ) = r 2
2

(8)

Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
que resultó:

(2 − h)

(1 − h )

+ ( 4 − k ) = r2

(6)

+ ( −3 − k ) = r 2

(7)

2

2

2

( −7 − h )

2

2

+ (1 − k ) = r 2
2

(8)

Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados izquierdos son iguales entre
sí. De manera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce el
sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.
Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) :
(2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2
desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo
y eliminando términos semejantes, se obtiene que:
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k2
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0
- 2h - 14k + 10 = 0

(9)

Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) :
(2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2
desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo
y eliminando términos semejantes:
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k2
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0

Página 72

LA CIRCUNFERENCIA

- 18h - 6k - 30 = 0

(10)

Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
- 2h - 14k + 10 = 0
- 18h - 6k - 30 = 0

(9)
(10)

Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que

h = −2

k =1
sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :
2

 2 − ( − 2 )  + ( 4 − 1) = r 2
2

( 2 + 2)

2

+ 32 = r 2

16 + 9 = r 2

r=5
Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se reemplazan en la ecuación particular (3.2) de la circunferencia (página 56), para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:

( x + 2)

2

+ ( y − 1) = 25
2

Ejemplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuación
empleando la tercera opción.
Solución:

Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 4.7). Sobre estas cuerdas se trazan las mediatrices (paso 2, figura 4.7) y su intersección es el centro de la
circunferencia buscada. finalmente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados
es el radio de la circunferencia (paso 3, figura 4.7).

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

R

c uerda

Página 73

P

P

s

R

s

R
ra

c uerda

dio

n
iz
mediatr

.

n

centro

Q

Paso 1: Se trazan dos
cuerdas uniendo los puntos
dados.

P

Q

Q

Paso 2 : Se trazan las
mediatrices a las cuerdas
anteriores: El punto de
intersección entre ellas es
el centro de la circunferencia.

Paso 3: La distancia del
punto de intersección de
l a s m e d i a tr i c e s c o n
cualquiera de los puntos
dados es el radio.
.

figura 4.7

El procedimiento analítico es:
a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:

m=

y1 − y2
x1 − x2

mRP =

7−5
4 − ( − 10 )

mRP =

2
1
=
14
7

b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pendiente de la mediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7 .
c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP :

xm =

x1 + x2
2

;

ym =

y1 + y2
2

xm =

4 − 10
2

;

ym =

7+5
2

xm =

−6
= −3
2

;

ym =

12
=6
2

Página 74

LA CIRCUNFERENCIA

Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6).
d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP y su pendiente, su
ecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página
41:

y − y1 = m ( x − x1 )
que en este caso se tienen los valores:

x1 = − 3
y1 = 6

m = −7
sustituyendo valores:

y − 6 = − 7  x − ( − 3 ) 
y − 6 = −7 ( x + 3)
y − 6 = − 7 x − 21
y = − 7 x − 21 + 6

y = − 7 x − 15
7 x + y + 15 = 0

(11)

e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerda
PQ es:

m=

y1 − y2
x1 − x2

mPQ =
mPQ =
f)

7 − ( −7 )
4−6
14
= −7
−2

Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la
pendiente de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es

g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ :

1
.
7

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 75

xm =

x1 + x2
2

;

ym =

y1 + y2
2

xm =

4+6
2

;

ym =

7−7
2

xm =

10
=5
2

;

ym =

0
=0
2

Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0).
h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ y su pendiente, su
ecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página
41:

y − y1 = m ( x − x1 )
que en este caso se tienen los valores:

x1 = 5 
 coordenadas del punto medio n.
y1 = 0 
m=

1
7

sustituyendo valores:

y−0 =

1
( x − 5)
7

7y = x − 5
x − 7y − 5 = 0
i)

(12)

Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices. Recordar que dicho punto se
obtiene resolviendo por simultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso el
sistema de ecuaciones que debe resolverse es la (11) y (12), o sea

7 x + y + 15 = 0
x − 7y − 5 = 0
Con la calculadora se llega a que

x = −2
y = −1

Página 76

LA CIRCUNFERENCIA

de manera que las coordenadas del punto donde se cortan estas dos mediatrices son

C ( − 2 , − 1) , que son las coordenadas del centro de la circunferencia.
j)

Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos
conocidos, por ejemplo P, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la página 23:

d =

( x1 − x2 )

r=

 4 − ( − 2 )  +  7 − ( − 1) 

r=

( 4 + 2)

r=

6 2 + 82

r=

36 + 64

r=

100 = 10

2

+ ( y1 − y2 )
2

2

+ ( 7 + 1)

2

2

2

k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuación
particular de la circunferencia, para llegar a:

( x − h)

2

+ ( y − k ) = r2

( x + 2)

2

+ ( y + 1) = 100

2

2

Ejemplo 4: Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2); Q(3, 8), R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuación
de la circunferencia inscrita a dicho rombo.
Solución:

La figura 4.8 muestra gráficamente lo que pide
el enunciado de este problema. Para que la circunferencia sea inscrita al rombo debe tocar en
un solo punto a cada uno de sus lados, es decir,
cada lado del rombo es tangente a la circunferencia.
Por lo tanto, la clave para solucionar este problema será recordar la propiedad 1 de la circunferencia vista en la página 9: Toda tangente a una
circunferencia es perpendicular al radio trazado
desde el punto de tangencia.

Q

P

C

R
F
S

figura 4.8

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 77

En la figura 4.8, el punto C representa el centro de la circunferencia (que lo es también del
rombo) y el punto F representa el punto de tangencia entre la circunferencia y el lado RS,
por lo que el radio CF y el lado RS son perpendiculares.
En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a simple vista, lo cual es válido
ya que se tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la misma altura horizontal mientras que los puntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las coordenadas del
centro son C ( 3, 2 ) . De tal manera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya
solamente hace falta saber la medida del radio y para poder calcular la medida del radio hace
falta conocer las coordenadas del punto de tangencia F. Todo el proceso siguiente estará encaminado a obtener dicha medida.
Cuando un problema como el actual requiere de más de dos cálculos previos para llegar al
resultado pedido, es común que al estudiante novato se le dificulte encontrar la secuencia
que debe seguir. Entonces el manejo de un cuadro de procedimiento resulta una herramienta
muy eficaz.
Para elaborar y manejar un cuadro de procedimiento se forma una tabla con cuatro columnas
encabezadas con los títulos: CALCULAR, DATOS, FÓRMULA y RESULTADO. En el
primer renglón de la tabla y en la columna correspondiente a CALCULAR se anota lo que se
pide en el problema; en la columna DATOS se ponen los datos requeridos para el cálculo
anterior; en la columna FÓRMULA se escribe la fórmula que debe emplearse y finalmente
en la columna RESULTADO se anota el resultado obtenido.
Para el problema de este ejemplo, el cuadro de procedimiento iniciaría así:

CALCULAR

DATOS

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas del
centro (h, k) y
longitud r del
radio.

FÓRMULA

( x − h)

2

RESULTADO

+ ( y − k ) = r2
2

A continuación, se analiza en la columna de DATOS cuáles ya se conocen y cuáles no. Es
obvio que si ya se conocen todos, ya se puede utilizar la fórmula y ya se está en condiciones
de llegar al resultado buscado. Pero si se desconoce alguno de los datos, significa que debe
calcularse. Entonces se agrega un segundo renglón a la tabla en donde se anota en la columna CALCULAR ese dato desconocido en el renglón anterior y se llenan las demás columnas
con lo que le corresponde.
Para el ejemplo presente, ya se conocen las coordenadas del centro que son C ( 3, 2 ) , es decir que h = 3 y k = 2 , mientras que se desconoce la magnitud del radio. Se analiza qué se
requiere para poder calcular tal magnitud y se llega a que conociendo las coordenadas del
centro de la circunferencia (ya se conocen) y las coordenadas del punto de tangencia, con la
fórmula de distancia entre dos puntos se obtiene el valor del radio. Agregándolo a la tabla,
queda de la siguiente manera:

Página 78

LA CIRCUNFERENCIA

CALCULAR

DATOS

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas
del centro (h, k)
y longitud r del
radio.

radio

coordenadas
del centro (h, k)
y coordenadas
del punto de
tangencia F.

FÓRMULA

( x − h)

d =

2

RESULTADO

+ ( y − k ) = r2
2

( x1 − x2 )

2

+ ( y1 − y2 )

2

Se repite el procedimiento: Al analizar la columna DATOS se ve que se desconocen las
coordenadas del punto de tangencia F, lo que indica que deben calcularse. Éstas se obtienen resolviendo por ecuaciones simultáneas la ecuación del radio CF con la ecuación del
lado RS. Lo anterior se agrega en una nueva fila de la tabla:

CALCULAR

DATOS

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas
del centro (h, k)
y longitud r del
radio.

radio

coordenadas
del centro (h, k)
y coordenadas
del punto de
tangencia F.

coordenadas
del punto de
tangencia F.

ecuación de RS
y ecuación de
CF.

FÓRMULA

( x − h)

d =

2

RESULTADO

+ ( y − k ) = r2

( x1 − x2 )

2

2

+ ( y1 − y2 )

2

Por ecuaciones simultáneas.

Repitiendo el procedimiento, analizando la columna DATOS se ve que se desconocen las
dos ecuaciones allí anotadas. Entonces deben agregarse una fila más para cada una:
(La tabla se inserta en la página siguiente para que no aparezca cortada)

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 79

CALCULAR

DATOS

FÓRMULA

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas
del centro (h, k)
y longitud r del
radio.

radio

coordenadas
del centro (h, k)
y coordenadas
del punto de
tangencia F.

coordenadas
del punto de
tangencia F.

ecuación de RS
y ecuación de
CF.

Por ecuaciones simultáneas.

ecuación de
CF.

coordenadas de
un punto por el
que pasa y su
pendiente mr.

y − y1 = m ( x − x1 )

pendiente de
CF.

pendiente de
RS.

ecuación de
RS.

coordenadas de
dos puntos por
los que pasa
(ya se conocen).

( x − h)

d =

2

+ ( y − k ) = r2
2

( x1 − x2 )

2

m1 = −

y − y1 =

RESULTADO

+ ( y1 − y2 )

2

1
m2

y1 − y2
x1 − x2

( x − x1 )

La ecuación de RS ya se puede calcular porque se tienen todos los datos. Esto quiere decir
que el cuadro de procedimiento está concluido y que debe procederse a realizar los cálculos
de abajo hacia arriba de la tabla. Comenzando con la ecuación de RS:

R (11, 2 )

;

o sea que x1 = 11 ; y1 = 2

S ( 3, − 4 )

;

o sea que x2 = 3 ; y2 = − 4

y − y1 =
y−2=
y−2=

y1 − y2
x1 − x2
2 − ( −4 )
11 − 3

( x − x1 )

( x − 11)

6
( x − 11)
8

Página 80

LA CIRCUNFERENCIA

y−2=

3
( x − 11)
4

Nótese que la pendiente de RS es mRS =

3
4

4 ( y − 2 ) = 3 ( x − 11)
4 y − 8 = 3 x − 33
3 x − 4 y = 25

ecuación de RS.

A partir de la pendiente de RS que resultó mRS =

3
, por la regla de perpendicularidad en4

tre dos rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es mCF = −

4
. Conociendo ya las
3

coordenadas de un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación
(ver tabla, renglón 4):

C ( 3, 2 )

mCF = −

;

o sea que x1 = 3 ; y1 = 2

4
3

y − y1 = m ( x − x1 )

y−2=−

4
( x − 3)
3

3 ( y − 2 ) = −4 ( x − 3)
3 y − 6 = − 4 x + 12

4 x + 3 y = 18

ecuación de CF.

Con este resultado se puede ya calcular lo establecido en el renglón 3 de la tabla, esto es,
resolver por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF, o sea el sistema

3 x − 4 y = 25
4 x + 3 y = 18
que haciéndolo con la calculadora se llega a que

x = 5 . 88
y = − 1 . 84
La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 81

CALCULAR

DATOS

FÓRMULA

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas
del centro (h, k)
y longitud r del
radio.

radio

coordenadas
del centro (h, k)
y coordenadas
del punto de
tangencia F.

coordenadas
del punto de
tangencia F.

ecuación de RS
y ecuación de
CF.

Por ecuaciones simultáneas.

ecuación de
CF.

coordenadas de
un punto por el
que pasa y su
pendiente mr.

y − y1 = m ( x − x1 )

pendiente de
CF.

pendiente de
RS.

ecuación de
RS.

coordenadas de
dos puntos por
los que pasa
(ya se conocen).

( x − h)

d =

2

+ ( y − k ) = r2
2

( x1 − x2 )

2

m1 = −

y − y1 =

RESULTADO

+ ( y1 − y2 )

1
m2

y1 − y2
x1 − x2

2

x = 5 . 88
y = − 1 . 84

4 x + 3 y = 18

mCF = −

( x − x1 )

4
3

3x − 4 y = 25

Con esto se puede pasar al renglón 2 a calcular la longitud del radio con la fórmula de distancia entre dos puntos, ya que se tiene que

C ( 3, 2 )

o sea que x1 = 3 ; y1 = 2

,

F ( 5 . 88 ; − 1 . 84 )
d =

( x1 − x2 )

2

, o sea que x2 = 5 . 88 ; y2 = − 1 . 84

+ ( y1 − y2 )

CF =

( 3 − 5 . 88 )

CF =

( − 2 . 88 )

CF =

8 . 2944 + 14 . 7456

CF =

23 . 04

2

2

2

+  2 − ( − 1 . 84 ) 

+ 3 . 842

2

Página 82

LA CIRCUNFERENCIA

CF = 4 . 8
La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:

CALCULAR

DATOS

FÓRMULA

ecuación de la
circunferencia.

coordenadas
del centro (h, k)
y longitud r del
radio.

radio

coordenadas
del centro (h, k)
y coordenadas
del punto de
tangencia F.

coordenadas
del punto de
tangencia F.

ecuación de RS
y ecuación de
CF.

Por ecuaciones simultáneas.

ecuación de
CF.

coordenadas de
un punto por el
que pasa y su
pendiente mr.

y − y1 = m ( x − x1 )

pendiente de
CF.

pendiente de
RS.

ecuación de
RS.

coordenadas de
dos puntos por
los que pasa
(ya se conocen).

( x − h)

2

+ ( y − k ) = r2
2

( x1 − x2 )

d =

2

m1 = −

y − y1 =

RESULTADO

+ ( y1 − y2 )

1
m2

y1 − y2
x1 − x2

2

CF = 4.8

x = 5 . 88
y = − 1 . 84

4 x + 3 y = 18

mCF = −

( x − x1 )

4
3

3x − 4 y = 25

Finalmente se tiene toda la información para proceder a efectuar el primer renglón de la tabla
del cuadro de procedimiento. Teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia

C ( 3, 2 ) y la magnitud del radio r = 4 . 8 , con la ecuación particular de la circunferencia se
llega a que

( x − h)
( x − 3)

2

+ ( y − k ) = r2

2

+ ( y − 2 ) = 4 . 82

( x − 3)

2

2

2

+ ( y − 2 ) = 23 . 04
2

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 83

Este problema también se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por medio de
la fórmula de distancia entre un punto y una recta.
Ejemplo 5: Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo radio es r = 8 , que además pasa por el punto P ( 7 , − 1) y que tiene su centro sobre la recta 5 x − 11 y + 42 = 0 (ver figura 4.9).
Solución:

Sabiendo las coordenadas del centro y la longitud del radio, con la ecuación particular se obtiene la ecuación de cualquier circunferencia.
En este caso ya se sabe la longitud del radio,
pero no las coordenadas del centro. Por lo tanto, todos los cálculos deben enfocarse a encontrar tales coordenadas.

C

Las coordenadas del centro de la circunferencia se representan por h y por k . Son dos incógnitas a encontrar y por lo tanto deben plantearse dos ecuaciones simultáneas que tengan
como incógnitas precisamente a h y a k .

5x

y+
- 11

42

=0

P(7, - 1)

figura 4.9

Primera ecuación: Como la recta pasa por el
centro de la circunferencia, significa que en
ese punto C la x de la recta es la misma que
la x del centro de la circunferencia (que es h ); y de manera semejante, la y de la recta es la
misma que la y del centro de la circunferencia (que es k ). Por lo tanto, la ecuación de la
recta 5 x − 11 y + 42 = 0 se convierte en el centro C de la circunferencia en

5h − 11k + 42 = 0

(1)

Segunda ecuación: La ecuación particular de la circunferencia, recordando que el radio es

r = 8 , es ( x − h ) + ( y − k ) = 64 . Como en el punto P que pertenece a la misma circun2

2

ferencia, allí x = 7 y y = − 1 , entonces la ecuación particular se convierte en

(7 − h)

2

+ ( − 1 − k ) = 64
2

(2)

De manera que el sistema de ecuaciones que debe resolverse es [juntando la ecuación (1)
con la ecuación (2)]:

5h − 11k + 42 = 0

(7 − h)

2

(1)

+ ( − 1 − k ) = 64
2

(2)

Cuando se tienen sistemas de ecuaciones como éste, muchas veces el método más práctico
es el de sustitución, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las dos ecuacio-

Página 84

LA CIRCUNFERENCIA

nes (en la que se vea más fácil de hacerlo) y sustituirla en la otra. En este caso, es más fácil
despejar la h de la ecuación (1). Haciéndolo resulta:

5h − 11k + 42 = 0
5h − 11k + 42 + 11k − 42 = 0 + 11k − 42

Recordar que es falso que el

− 11k “pase” al otro lado sumando. Lo que realmente se
hace para eliminarlo del lado
izquierdo es sumar en ambos
lados de la igualdad + 11k . Lo
mismo puede decirse del

Ahora, para eliminar el 5 que
multiplica a la incógnita h deben dividirse ambos lados de la
igualdad entre 5:

5h = 11k − 42

5h
11k − 42
=
5
5
h=

+ 42 .

11k − 42
5

Este valor se sustituye en la ecuación (2), de lo que se obtiene:
2

11k − 42 
2

7 −
 + ( − 1 − k ) = 64
5


Sacando común denominador en el primer paréntesis:
2

2
 35 − 11k + 42 

 + ( − 1 − k ) = 64
5


2

2
 77 − 11k 

 + ( − 1 − k ) = 64
5



Elevando al cuadrado ambos paréntesis:

5929 − 1694k + 121k 2
+ 1 + 2k + k 2 = 64
25

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 85

Multiplicando toda la igualdad por 25 para quitar el denominador:

5929 − 1694k + 121k 2 + 25 + 50k + 25k 2 = 1600
Reduciendo términos semejantes e igualando a cero:

146k 2 − 1644k + 4354 = 0
De donde se obtiene, revolviendo con la calculadora, que

k1 = 7
k2 = 4 . 26
Como hay dos valores de k, debe haber dos valores de h que correspondan a los primeros.
Éstos se obtienen simplemente sustituyendo en la ecuación (1):

5h − 11k + 42 = 0
Para k = 7:

(1)

Para k = 4.26:

5h − 11 ( 7 ) + 42 = 0

5h − 11 ( 4 . 26 ) + 42 = 0

5h − 35 = 0
5h = 35

5h − 4 . 86 = 0
5h = 4 . 86

h=

35
3

h=

h=7

4 . 86
5

h = 0 . 972

Significa que en realidad existen dos circunferencias que cumplen con las condiciones del
enunciado: Tener radio r = 8 , que pasan por el punto P ( 7 , − 1) y que además tienen su
centro sobre la recta 5 x − 11 y + 42 = 0 . Las coordenadas de los centros de estas dos circunferencias son

C1 ( 7 , 7 )

y

C2 ( 0 . 972; 4 . 26 )

Por lo tanto, las ecuaciones de estas dos circunferencias son:

Página 86

LA CIRCUNFERENCIA

Para C1 ( 7 , 7 ) y r = 8 :

( x − h)

2

( x − 7)

2

Para C 2 ( 0 . 972; 4 . 26 ) y r = 8 :

+ ( y − k ) = r2

( x − h)

+ ( y − 7 ) = 64

( x − 0 . 972 )

2

2

2

+ ( y − k ) = r2
2

2

+ ( y − 4 . 26 ) = 64
2

La figura 4.10 muestra estas dos circunferencias que cumplen con las condiciones del enunciado de este problema de tener su centro sobre la recta y además pasar por el punto

P ( 7 , − 1) .

C1

r

r
C2

P(7, - 1)

figura 4.10

CASOS ESPECIALES
1) Si r = 0 , la gráfica es un punto.
Por ejemplo, x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 13 = 0 .

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Página 87

Pasándola a la forma particular se obtiene ( x + 2 ) + ( y − 3 ) = 0 .
2

2

2) Si r < 0 , no existe gráfica.
Por ejemplo, x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 14 = 0 .
Pasándola a la forma particular se obtiene ( x − 1) + ( y − 3 ) = − 4 .
2

2

EJERCICIO 7
1)

Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres métodos
explicados, encontrar su ecuación.

2)

Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres métodos
explicados, encontrar su ecuación.

3)

Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres métodos explicados, encontrar su ecuación.

4)

Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodos
explicados, encontrar su ecuación.

5)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P ( 7, 8 ) ;

Q ( 5, - 6 ) y R ( - 11, 2 ) . Hallar las coordenadas del centro
de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia:
Ver propiedades de los triángulos, página 6.
6)

C

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son:

P ( 5, 12 ) ; Q ( 5, - 12 ) y R ( -13, 0 ) . Hallar las coordeP(5, 2)

nadas del centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6.
7)

La

ecuación

de

una

circunferencia

es ( x - 2 ) + ( y - 6 ) = 25 . Hallar la ecuación de la recta tan2

2

gente a dicha circunferencia en el punto P ( 5, 2 ) . Ver figura
4.11.

figura 4.11

Página 88

8)

La ecuación de una circunferencia es x2 + (y + 2)2 = 100. Encontrar
la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en el
punto P(- 8, 4).

9)

La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 - 4x - 12y + 15 = 0 .
Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en el punto P(- 2, 9).

10)

La ecuación de una circunferencia es x 2 + y 2 - 2x - 168 = 0 .
Calcular la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferen-

LA CIRCUNFERENCIA

P(-12, 14)

Q(6, -10)

figura 4.12

cia en el punto P ( 11, -5 ) .
11)

Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son
los puntos P ( -12, 14 ) y Q ( 6, -10 ) . Hallar la ecuación de
dicha circunferencia (ver figura 4.12).

12)

Q(-12, 7)
P(2, 5)

Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia son
los puntos P ( -8, 11 ) y Q ( -2, -3 ) . Hallar la ecuación de
dicha circunferencia.

13)

R(-3, -5)

Las coordenadas de los tres vértices de un triángulo son:

figura 4.13

P ( 2, 5 ) ; Q ( -12, 7 ) y R ( -3, -5 ) . Hallar la ecuación de la
circunferencia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al
lado QR (ver figura 4.13).
14)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P ( 4, 0 ) ;

Q(12, 12)

Q ( -3, 17 ) y R ( -13, -7 ) . Hallar la ecuación de la circunferenC

cia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR .
15)

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje
Y y pasa por los puntos P ( 9, -9 ) y Q ( 12, 12 ) . Ver figura

P(9, -9)

4.14.
16)

figura 4.14

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje
X y pasa por los puntos P ( 0, 3 ) y Q ( 7, -4 ) .

17)

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

Q ( 9, -5 ) y que es tangente a la recta 5x + 12y + 184 = 0 en
el punto P(- 8, - 12) (ver figura 4.15).
18)

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

Q ( 2, 7 ) y que es tangente a la recta 4x - 3y + 38 = 0 en el

5x
+

P(-8, -12)

12y
+

184
=

0

punto P(- 5, 6).
figura 4.15

Q(9, -5)

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

19)

20)

21)

Página 89

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a
las rectas 3x - 4y + 61 = 0 y 3x + 4y - 31 = 0 y tiene por radio r = 10, (ver figura 4.16).
Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a
las dos rectas 3x - 4y - 18 = 0 y 3x + 4y + 24 = 0 y
cuyo radio es r = 5.

3x

y+
-4

61

=

0

r=1

Comprobar que la circunferencia cuya ecuación es

3x

+

4y

0

x 2 + y 2 + 18x - 6y + 65 = 0 es tangente exterior con
la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 - 30y + 125 = 0 .
Ver figura 4.17.
22)

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es
r = 25 y que es tangente interior en el punto

P ( -57, 29 )

( x - 3)
23)

figura 4.16

2

a otra circunferencia cuya ecuación es

+ ( y - 4 ) = 4225 . Ver figura 4.18.
2

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son

P ( -2, - 2 ) , Q ( - 5, 2 ) y R ( 4, 6 ) . Hallar la ecuación
de la circunferencia que tiene por diámetro al lado AC.
24)

En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación de
la circunferencia que tiene por diámetro a la mediana al
lado AC.

figura 4.17

P(-57, 29)

r = 25

C(3, 4)
r=

figura 4.18

65

-3

1=

0



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