1 ProbabilitesElementaires .pdf



Nom original: 1-ProbabilitesElementaires.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par / pdfTeX-1.0b-pdfcrypt, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 28/06/2013 à 23:49, depuis l'adresse IP 41.224.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1683 fois.
Taille du document: 296 Ko (57 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


MASTER RECHERCHE
« GESTION DES RISQUES
EN FINANCE ET ASSURANCE »
COURS DE MISE A NIVEAU
POUR ETUDIANTS ISC

COURS
DE
PROBABILITES ELEMENTAIRES

Contents
1 Pr´
erequis

enombrements
Th´
eorie des ensembles
1.1 D´enombrement. Analyse combinatoire .
1.1.1 Principe multiplicatif . . . . . . .
1.1.2 Permutations sans r´ep´etitions . .
1.1.3 Les arrangements sans r´ep´etition
1.1.4 Combinaisons sans r´ep´etitions . .
1.2 Th´eorie sommaire des ensembles . . . . .
1.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Notion de cardinal . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Introduction au calcul des probabilit´
es
2.1 Du langage ensembliste `a celui des ´ev`enements
2.2 D´efinition des probabilit´es dans le cas Ω fini .
2.3 Probabilit´es : D´efinition axiomatique . . . . .
2.4 Probabilit´es conditionnelles.
Notion d’ind´ependance . . . . . . . . . . . . .
2.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

11
. . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . 22

3 Variables al´
eatoires et lois de probabilit´
es
3.1 Espace probabilis´e et loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . .
3.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Lois discr`etes et lois continues . . . . . . . . . . . . .
3.2 Notion de variable al´eatoire et loi de probabilit´e d’une variable
al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
6
7
8
9
9
10
10

.
.
.
.

25
25
25
25
26

. 26

4

CONTENTS
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4

3.3

3.4

3.5

Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction de r´epartition d’une loi de probabilit´e d’une
v.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Rappel de statistique descriptive univari´ee . . . . . .
3.3.2 D´efinitions d’une v.a.d. et de sa loi de probabilit´e . .
3.3.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variables al´eatoires continues (v.a.c) . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 D´efinition - Fonction de r´epartition . . . . . . . . . .
3.4.2 Fonction densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caract´eristiques d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . .
3.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 M´ediane et Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Fonction d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . .

4 Lois discr`
etes usuelles
4.1 Introduction . . . . . . . . . . .
4.2 Sch´ema de Bernouilli . . . . . .
4.3 Le sh´ema Binomial . . . . . . .
4.4 Le sch´ema hyperg´eom´etrique . .
4.5 Loi g´eom´etrique et loi de Pascal
4.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. 26
. 27
. 28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

29
29
29
29
30
31
32
32
33
34
34
34
35
38
39
40
41

.
.
.
.
.
.

45
45
46
47
50
52
55

Chapter 1
Pr´
erequis

enombrements
Th´
eorie des ensembles
1.1


enombrement. Analyse combinatoire

Elle a pour but de d´enombrer les diff´erentes dispositions que l’on peut former
`a partir d’un ensemble d’´el´ements.
dispositions : sous ensembles ordonn´es ou non d’un ensemble.

1.1.1

Principe multiplicatif

Principe
Soit ξ une exp´erience qui comporte 2 ´etapes : la 1`ere qui a p r´esultats possibles
et chacun de ces r´esultats donne lieu `a q r´esultats lors de la 2`eme. Alors
l’exp´erience a p × q r´esultats possibles.
Remarque : Le principe multiplicatif peut s’´enoncer ainsi : si un ´ev`enement
A peut se produire de p fa¸cons et si un ´ev`enement B peut se produire de q
fa¸cons, la r´ealisation de A suivie de B peut se produire de p × q fa¸cons.
Exemple 1
On jette 3 d´es identiques. Combien y-a-t-il de r´esultats possibles ?
63

5

´
´
´
6CHAPTER 1. PREREQUISD
ENOMBREMENTSTH
EORIE
DES ENSEMBLES
Exemple 2
Une urne contient 1R, 1B, 1N, 1V . On effectue 2 tirages successifs avec
remise. Combien y-a-t-il de r´esultats possibles ?
4 × 4 = 16
(cela correspond au principe multiplicatif)

Cons´
equence
Si une exp´erience ξ consiste `a r´ep´eter n fois de fa¸con ind´ependante une mˆeme exp´erience
ξ0 qui a p r´esultats possibles, alors ξ a pn = p × p × . . . × p issues possibles.
|
{z
}
fois

1.1.2

Permutations sans r´
ep´
etitions

Exemple :
On a 3 lettres a, b, c
Les permutations sont les sous-ensembles ordonn´es de {a, b, c}
abc acb bac cab cba bca

efinition
Une permutation de n ´el´ements est une disposition ordonn´ee sans r´ep´etition de ces
n ´el´ements. (une fa¸con de ranger cˆote `a cˆote ces n ´el´ements)

esultat
Si Pn est le nombre de permutations de n ´el´ements alors
Pn = n!
preuve :
Soit n ´el´ements a1 , a2 , . . . , an .
a1 : on peut le mettre dans n’importe quelle case
a2 :
dans n − 1 cases
an :

dans une case.

Exemple 1
De combien de mani`ere peut-on classer 4 individus.
P4 = 4! = 24

´
1.1. DENOMBREMENT.
ANALYSE COMBINATOIRE

7

Exemple 2
Une maˆıtresse de maison doit placer 6 personnes autour d’une table ronde.
Combien a-t-elle de possibilit´es.
P5 = 5!
Exemple 3
Un g´eophile dispose de 21 paires de bottes de couleurs diff´erentes pour chausser
ses 42 pattes (21 G et 21 D)
1◦ ) De combien de fa¸con peut-il se chausser
2◦ ) De combien de fa¸con peut-il se chausser avec m
ˆ couleur pied D et pied G
Solution : 1◦ ) 21 ! × 21 !

1.1.3

2◦ ) 21 !

Les arrangements sans r´
ep´
etition

Exemple :
On a 3 lettres a, b, c. Combien y-a-t-il de mots de 2 lettres diff´erentes :
ab ba ac ca bc cb : il y a 6 mots de 2 lettres : arrangements de 2 ´el´ements
parmi 3

efinition :
Un arrangement de p ´el´ements parmi n est une disposition ordonn´ee sans r´ep´etition
de p ´el´ements.
(une fa¸con de ranger p ´el´ements pris parmi n en tenant compte de l’ordre)

esultat
Apn = nb d’arrangement de p ´el´ements parmi n
n!
Apn =
(n − p)!
preuve :
1`ere place : n possibilit´es
2`eme place : n − 1 possibilit´es
p`eme place : n − p + 1 possibilit´es
Exemple 1
Pour acc´eder `a une banque de donn´ees, il faut 4 lettres diff´erentes. Combien
de mots de passe peut-on avoir ?
A426 = 258800

´
´
´
8CHAPTER 1. PREREQUISD
ENOMBREMENTSTH
EORIE
DES ENSEMBLES

Exemple 2
12 candidats se pr´esentent aux ´elections d’un conseil d’administration comportant 8 places 6=.
Combien de listes possibles y-a-t-il ?
A812 = 12!
4!
Remarque
Qu’est-ce qu’un arrangement avec r´ep´etition de p ´el´ements parmi n ?
C’est une disposition ordonn´ee de p ´el´ements avec autant de r´ep´etition que
l’on souhaite.
Le nombre d’arrangements avec r´
ep´
etition est de np

1.1.4

Combinaisons sans r´
ep´
etitions

Exemple
On a 4 ´el´ements a, b, c, d
Les combinaisons de 2 ´el´ements sont {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}.
Il y en a 6.

efinition
Une combinaison de p ´el´ements parmi n est une disposition non ordonn´ee de p ´el´ements
parmi n.
(sous ensembles de p ´el´ements parmi n)
Remarque
Arrangement : on tient compte de l’ordre
Combinaison : on ne tient pas compte de l’ordre.
2 arrangements comportant les mˆemes ´el´ements d´efinissent une seule combinaison.

esultat
Le nombre de combinaisons de p ´el´ements parmi n est Cnp =

n!
(n − p)!p!

preuve : A partir d’une combinaison de p ´el´ements on peut faire p! arrangements
Apn = p!Cnp
Propri´
et´
es

´
1.2. THEORIE
SOMMAIRE DES ENSEMBLES
Cn0 = Cnn = 1
j
Cn+1
= Cnj−1 + Cnj
n
X
n
(a + b) =
Cnk ak bn−k

9

(formule du binˆome)

k=0

1.2
1.2.1

Th´
eorie sommaire des ensembles

efinitions

- Un ensemble est une collection d’objets appel´es ´el´ements.
- φ ensemble vide : il ne contient aucun ´el´ement.
- Soit Ω un ensemble
Un ensemble A est un sous ensemble de Ω ou une partie de Ω si tous les
´el´ements de A sont ´el´ements de Ω.
on dit aussi que A est une partie de Ω.
L’ensemble des parties de Ω est not´e P(Ω).
Ex : donner l’ensemble des parties de Ω avec Ω = {a, b, c}.
P(Ω) = { {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} φ {a} {b} {c} }
(8 ´el´ements)
Soient Ω, A, B ∈ P(Ω)
x ∈ A signifie que l’´el´ement x appartient `a l’ensemble A.
x∈
/ A signifie que l’´el´ement x n’appartient pas `a A.
- Inclusion
A ⊂ B signifie que tous les ´el´ements de A sont dans l’ensemble B.
A 6⊂ B.
- Compl´ementaire A¯ (ou Ac ) ensemble des ´el´ements de Ω qui n’appartiennent pas `a A.
- Union
A ∪ B : x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B.
A ∩ B : x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B.
- Intersection


A∪A=A
A∩A=A


A∩φ=φ
A

φ
=
A
Remarque :


si A ⊂ B alors A ∪ B = B
si A ⊂ B alors A ∩ B = A
- Appartenance

efinition

A et B sont disjoints ssi

A∩B =φ

´
´
´
10CHAPTER 1. PREREQUISD
ENOMBREMENTSTH
EORIE
DES ENSEMBLES
- Diff´erence A\B = A ∩ B
- E, F des ensembles
Une application de E dans F est une correspondance qui aux ´el´ements x ∈ E
associe des ´el´ements y de F .

1.2.2













Propri´
et´
es

A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∩B =A∪B
A∪B =A∩B

1.2.3

Notion de cardinal

Si Ω a un nombre fini d’´el´ements, alors pour tout A ∈ P(Ω), A a ´egalement
un nombre fini d’´el´ements.
cardinal de A, not´e card(A) est le nombre d’´el´ements de A.
Propri´
et´
es

card A = card Ω − card A

card A ∪ B = card A + card B − card (A ∩ B)

card (A/B) = card A − card (A ∩ B)

card φ = 0

Chapter 2
Introduction au calcul des
probabilit´
es
Ce sont les jeux de hasard qui sont `a l’origine du calcul des probabilit´es. Vers
1654, Pascal et Fermat se sont confront´es au probl`eme suivant : pourquoi en
jetant 3 d´es obtient-on plus souvent la somme 11 que la somme 10 alors que
pour 11 : 146, 236, 155, 335, 443, 245
pour 12 : 156, 246, 255, 345, 336, 444
C’est a` la suite de leur correspondance qu’est n´e le calcul des probabilit´es.
Les probabilit´es ont connu un grand essor au XIXe . Mais ce n’est qu’en
1933 que grˆace `a Kolmogorov le calcul des probabilit´es s’inscrit enfin dans
un cadre th´eorique rigoureux.
La d´ecouverte de la physique quantique et des th´eories modernes de l’impr´evisibilit´e
redonnent au calcul des probabilit´es une place centrale dans l’´etude de la nature.

2.1

Du langage ensembliste `
a celui des ´
ev`
enements

On a une exp´erience al´eatoire (tirage d’une carte, lancement d’un d´e) qui est
une action qui d´ebouche sur plusieurs r´esultats possibles. Pour la d´efinir, il
s’agit de recenser l’ensemble de ses r´esultats possibles appel´es ´eventualit´es
ou ´ev`enements ´el´ementaires.
On appelle univers l’ensemble de ses ´eventualit´es et il est not´e Ω.
11

´
12 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES
Un ´ev`enement est un ensemble d’´eventualit´es not´e A, c’est donc aussi une
partie de Ω.(A ∈ P(Ω)).
On repr´esente un ´ev`enement par un ensemble.
Ex :

jet de d´e = exp al´eatoire
univers Ω = {1,2,3,4,5,6}
´eventualit´es {1} {2} ... {6}
´ev`enement A : tomber sur un pair A = {2, 4, 6}

A est l’´ev`enement r´ealis´e quand A ne l’est pas
A = {1, 3, 5}.
A ∪ B est l’´ev`enement qui est r´ealis´e d`es que l’un au moins des ´ev´enements
A ou B l’est.
A ∩ B est l’´ev`enement qui est r´ealis´e d`es que les ´ev´enements A et B le sont.
A = {2, 4, 6}
B = ”tomber sur un nombre ≤ 3”.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}
A ∩ B = {2}
Ω est l’´ev`enement certain : r´ealis´e `a coup sˆ
ur.
φ est l’´ev`enement impossible : ”obtenir 7” par exemple.
A ⊂ B signifie que chaque fois que A est r´ealis´e B l’est aussi.
A ∩ B = φ : ´ev´enements incompatibles.
Soit Ω l’ensemble des ´eventualit´es ou univers.
On arrive au point essentiel de d´efinir la probabilit´e d’un ´ev`enement A (A ⊂
Ω) qui doit mesurer la chance que l’´ev`enement A a de se r´ealiser lorsqu’on
effectue une ´epreuve.
La complexit´e de la d´efinition d´epend de celle de Ω :
Ω fini, Ω infini d´enombrable, Ω infini non d´enombrable.

2.2


efinition des probabilit´
es dans le cas Ω
fini

Probabilit´e de Laplace (XVIIIe )
Elle correspond `a la notion intuitive de probabilit´e.

efinition

´
´ DANS LE CAS Ω FINI
2.2. DEFINITION
DES PROBABILITES

13


soit Ω fini,dont les ´ev´enements ´el´ementaires sont ´equiprobables.


P (A) = card A = Nb cas favorables

card Ω
Nb cas possibles
Attention `a l’hypoth`ese d’´equiprobabilit´e.
Exemple 1 :
Une urne contient 1B 1N
On fait 2 tirages avec remise
Proba d’avoir 2 Noires ?
On a Ω = {(N, N ); (B, B); (B, N ); (N, B)}. cardΩ = 4
(ou alors on applique le principe multiplicatif vu qu’il y a ind´ependance).
A : ”avoir 2 Noires”. A = {(N, N )}.
cardA
On a P (A) =
= 1/4
cardΩ
Remarque : si on ne tient pas compte de l’ordre et que l’on ´ecrit Ω =
{{N, N } {B, B} {B, N }}, les ´ev`enements ´el´ementaires n’´etant pas ´equiprobables,
cardA
.
on n’a pas P (A) =
cardΩ
Erreur : on aurait P (A) = 1/3 !!
Exemple 2 :
Soit une urne contenant 1R ;1V ; 1J ;1B
On effectue 3 tirages avec remises.
Quelle est la probabilit´e d’obtenir 2 fois la blanche ?
On a cardΩ = 4 × 4 × 4 = 64 (principe multiplicatif).
Soit A : ”2 fois la blanche exactement”.
3!
Ainsi cardA = C32 (place des 2 blanches) ×3 (l’autre couleur) = × 3 = 9.
2!
9
Donc P (A) = 64
Exemple 3
Soit une urne contenant 2V et 3B
1) On effectue 2 tirages sans remise
Proba d’avoir 2 vertes exactement, 2 blanches exactement, 1V et 1B.
2)mˆeme question avec tirage avec remise.
1) Erreur : Ω = {(B, B) (V, V ) (B, V ) (V, B)} ´ev`enements non ´equiprobables
!

´
14 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES
on ´ecrit : Ω = {(B1 , B2 ) (B1 , B3 ) (B2 , B3 ) (B3 , B2 ) . . .}
On a cardΩ = A25 = 20. On a
cardA
A2
2
1
P (A) =
= 2 =
= ,
cardΩ
20
20
10
A23
6
3
cardB
P (B) =
=
=
= ,
cardΩ
20
20
10
12
6
3
cardC
P (C) =
=
=
= .
cardΩ
20
10
5
cardC = C21 (choix V) ×C31 (choix B) ×2 (ordre) = 2 × 3 × 2 = 12.
2) On a cardΩ = 52 (principe mult), ainsi
2×2
4
9
2×3×2
12
P (A) =
=
;
P
(B)
=
;
P
(C)
=
=
.
52
25
25
25
25
Propri´
et´
es

P (A) + P (A) = 1 ∀A ∈ P(Ω)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ∀A, B ∈ P(Ω)

A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
Ex : `a d´emontrer en utilisant les propri´et´es du cardinal.

2.3

Probabilit´
es : D´
efinition axiomatique

Si Ω est infini, la d´efinition pr´ec´edente devient caduque.
Les fondements de la probabilit´e math´ematique sont dus `a Kolmogorov (1933).
Il faut savoir qu’en 1919, Von Mises affirmait ”le calcul des probabilit´es n’est
pas une discipline math´ematique”.

efinition Ω fini ou infini d´enombrable
P
une application de P(Ω) dans [0, 1] est une probalit´e si et seulement si
(1) P (Ω) = 1

(2) ∀(Ai )i=1,...,n tq Ai ∩ Aj = φ ∀i 6= j

! i=n
n

[
X

Ai =
P (Ai ).
P

i=1

!i=1 ∞


X
[

Ai =
P (Ai ).
(3) P

i=1

i=1

Dans le cas Ω non d´enombrable, on ne peut pas forc´ement d´efinir une proba-

´ CONDITIONNELLES.NOTION D’INDEPENDANCE15
´
2.4. PROBABILITES
bilit´e sur P(Ω), qui satisfasse les axiomes (1) (2) (3) sur P(Ω). On est oblig´e
de la d´efinir sur une famille F de P(Ω), famille qui v´erifie certaines propri´et´es:

si A ∈ F , A ∈ F

si A, B ∈ F A ∪ B ∈ F et A ∩ B ∈ F



[

Ai ∈ F
(Ai )i∈N ∈ F ⇒

i=1
On dit que F est une σ-alg`ebre.
ex v´erifier que la probabilit´e de Laplace satisfait aux axiomes (1) (2) (3.)
Propri´
et´
es

P (A) + P ((A) = 1
∀A ∈ P(Ω)(ou F)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
Preuve :
• A ∪ A = Ω ⇒ P (A ∪ A) = P (Ω) = 1. A ∩ A = φ ⇒ P (A ∪ A) =
¯
P (A) + P (A).
• A ∪ B = A ∪ (B\A ∩ B) d’o`
u
P (A ∪ B) = P (A ∪ (B\A∩B )) = P (A) + P (B\A ∩ B).
or B = (B\A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
d’o`
u P (B) = P (B\A ∩ B) + P (A ∩ B)
d’o`
u le r´esultat.
•A⊂B
B = A ∪ (B\A)
d’o`
u P (B) = P (A) + P (B\A)
.
| {z }
≥0

2.4

Probabilit´
es conditionnelles.
Notion d’ind´
ependance

Les concepts d’ind´ependance et de probabilit´e conditionnelle sont d´efinis explicitement par Abraham De Moivre (1667 - 1754). On lui doit ´egalement
un ´enonc´e clair et pr´ecis de la formule des probabilit´es compos´ees.
Soit Ω un univers (li´e `a une exp´erience al´eatoire ξ) , P une probabilit´e sur

´
16 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES
P(Ω)(ou F).
Soient A, B deux ´ev`enements, A ⊂ Ω, P (A) > 0 et B ⊂ Ω.

efinition
la probabilit´e conditionnelle de B sous l’hypoth`ese A est d´efinie par
P (A ∩ B)
P (B|A) =
.
P (A)
Signification : P (B|A) exprime la probabilit´e de B quand on sait que A
est d´ej`a r´ealis´e.
On dit couramment probabilit´e de B sachant A.
Exemple : On extrait sans remise 2 cartes d’un jeu de 32. La premi`ere
carte tir´ee est un roi. Quelle est la proba que la 2e carte soit aussi un roi ?
3
P (B|A) = 31
directement.
(on raisonne sur ce qu’il advient une fois la 1ere carte tir´ee.)
4
Si on veut appliquer la d´efinition, c’est plus compliqu´e : P (A) = 32
P (A ∩ B) ? il s’agit de d´efinir l’univers sur lequel est d´efini A ∩ B.
Soit l’experience al´eatoire ξ : tirer 2 cartes sans remise. On a cardΩ = A232 =
32!
= 32 × 31 et card A ∩ B = A42 . Ainsi
30!
4×3
4×3
3
P (A ∩ B) = 32×31
donc P (B|A) = 32×31
× 32
= 31
.
4
Ainsi en g´en´eral on utilise la relation dans le sens P (A∩B) = P (B|A)×P (A)
Propri´
et´
e 1 : Formule des probabilit´es compos´ees
P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A)
P (A ∩ B) = P (A|B) × P (B)

si P (A) > 0
si P (B) > 0

Th´
eor`
eme
Soit A
∈ P(Ω) (ou F), tq P (A) > 0, P ´etant une probabilit´e sur P(Ω)
P(Ω) → [0, 1]
P|A :
est une probabilit´e sur P(Ω)
B → PA (B) = P (B|A)
preuve :
P (Ω ∩ A)
P (A)
=
= 1.
P (A)
P (A)
P ((B1 ∪ B2 ) ∩ A)
P [(B1 ∩ A) ∪ (B2 ∩ A)]
(2) On a PA (B1 ∪ B2 |A) =
=
. Or
P (A)
P (A)
B1 ∩ B2 = φ donc (B1 ∩ A) ∩ (B2 ∩ A) = φ d’o`
u P [(B1 ∩ A) ∪ (B2 ∩ A)] =
P ((B1 ∩ A) P (B2 ∩ A)
P (B1 ∩ A) + P (B2 ∩ A). Ainsi PA (B1 ∪ B2 |A) =
+
=
P (A)
P (A)
(1) On a PA (Ω) = P (Ω|A) =

´ CONDITIONNELLES.NOTION D’INDEPENDANCE17
´
2.4. PROBABILITES
PA (B1 ) + PA (B2 ).
(3) est montr´e de la mˆeme mani`ere.
Exemple :
Soit un jeu de 52. On fait 2 tirages avec remise. Probabilit´e que la premi`ere
carte soit un roi rouge et la 2e un roi noir ?
On a Ω = {(D, R)...}. Soient les ´ev´enements suivants:
A: ”la premi`ere carte est un roi rouge” et
B: la deuxi`eme carte un roi noir”. On a
P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A), Ainsi
2
2
2
2
P (A) =
et P (B|A) = 52
(= P (B)), donc P (A ∩ B) =
×
=
52
52
52
P (A) × P (B).

efinition
P (A) > 0
P (B) > 0
A et B sont ind´ependants si et seulement si
P (B|A) = P (B) ou P (A|B) = P (A)
Soient A, B ∈ P(Ω) (ouF) , avec

Ce qui est le cas dans un tirage avec remise. Le tirage de la premi`ere carte
n’influe pas sur le tirage de la 2e . Ce n’est plus le cas pour les tirages sans
remise.
Caract´
erisation
A et B (P (A) > 0 P (B) > 0) sont ind´ependants si et seulement si
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
Exemple : Soit une urne contenant 10 blanches ,20 rouges et 30 noires. On
tire 2 boules sans remises. Probabilit´e que la premi`ere soit rouge (´ev`enement
A) et la deuxi`eme soit blanche (´ev`enement B) ?
On a P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A). (pas d’ind´ependance)
20
1
On a P (A) =
= et
60
3
10
P (B|A) = . Donc
59
10 1
P (A ∩ B) =
×
59 3

´
18 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES
m
ˆ question avec des tirages avec remises
1 1
1
1 10
= × =
P (A ∩ B) = P (A) × P (B) = ×
3 60
3 6
18
Exemple :
un jeu radiophonique consiste `
a poser 10 questions `
a un candidat qui doit
choisir parmi 2 r´eponses dont une seule est juste. Le candidat perd au bout
de 2 r´eponses fausses.
1) Probabilit´e qu’un candidat qui r´epond au hasard puisse gagner ?
2) Probabilit´e qu’il ait perdu au bout de 5 questions sachant qu’il a perdu ?
1) Soit G ´ev`enement :”le candidat a gagn´e”.
ξ : poser 10 questions pour lesquelles il y a 2 r´eponses. On a
cardΩ = 210 .
card G = nombre de r´eponses toutes justes ou une fausse
= 1 + 10 = 11. Ainsi
P (G) = 211
10
2) Soit A = ”le candidat a perdu au bout de 5 questions”.
P (A ∩ G)
P (A)
On a P (A|G) =
=
et
P (G)
P (G)
P (G) = 1 − P (G) = 1 − 211
10
C41
P (A) =
25


attention !

Exemple introductif
Un sac contient 5 boules rouges et 15 boules jaunes. Un deuxi`eme sac contient 9 boules rouges.
ξ : On tire au hasard 1 boule du 1er sac et on la remet dans le second sac
sans regarder la couleur. On tire alors une boule du 2e sac. Quelle est la
probabilit´e P que cette boule soit rouge ?
Commentaire :
ξ comporte 2 ´etapes. La deuxi`eme ´etape d´epend de la 1er .
Si on tire une rouge alors P = 10
= 1.
10
9
Si on tire une jaune alors P = 10 .

´ CONDITIONNELLES.NOTION D’INDEPENDANCE19
´
2.4. PROBABILITES
Soit A = ”boule R au 2e tirage”,
B1 : ”1er boule est R” B2 : ”2e boule est J”. On a
B1 ∩ B2 = φ, B1 ∪ B2 = Ω. Ainsi
A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ). D’o`
u
P (A) = P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 )
= P (A|B1 ) × P (B1 ) + P (A ∩ B2 ) × P (B2 )
5
9
+ 10
× 15
= 1 × 20
20
Propri´
et´
e 2 - Formule des probabilit´
es totales
n
[
Soient (Bi )i=1,...n ∈ P(Ω) (ou F), tq
Bi = Ω Bi ∩ Bj = φ i 6= j

P (Bi ) > 0

i=1

Soit A ∈ P(Ω) (ou F), on a
n
X
P (A) =
P (A|Bi ) × P (Bi )
i=1
n
[

n
[

Preuve : A = A ∩
Bi = (A ∩ Bi ), ainsi
i=1
i=1
P
P
P (A) = ni=1 P (A ∩ Bi ) = ni=1 P (A|Bi ) × P (Bi ).
Exemple :
Soit un sac contenant 6 jetons : 5 num´erot´es 1 et 1 num´erot´e 2.
Soient 2 urnes : U1 contenant six boules Blanches et quatre Noires et U2
contenant 8 B et 2 N . L’exp´erience al´eatoire comporte 2 ´etapes. On pioche
au hasard dans le sac, on regarde le num´ero et on pioche dans l’urne correspondante.
Probabilit´e que la boule soit blanche ?
On a U1 ∪ U2 = Ω et U1 ∩ U2 = φ, on a donc
P (B) = P (B ∩ U1 ) + P (B ∩ U2 )
=
P (B|U1 )
× P (U
1 ) + P (B|U
2 )P (U2 )
6
5
8
1
1
2
7
×
+
×
= +
=
=
10 6
10 6
3 15
15
Autre question : sachant que la boule est blanche proba qu’elle provienne
de U1 :
P (B ∩ U1 )
P (B|U1 ) × P (U1 )
P (B|U1 ) × P (U1 )
=
On a P (U1 |B) =
=
=
P (B)
P (B)
P (B|U1 ) × P (U1 ) + P (B|U2 ) × P (U2 )

´
20 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES
5
1
6
×
10 6 = 3 = 5 .
7
7
7
15
15
Th´
eor`
eme de Bayes
Soit {Bi , i = 1, . . . , n}

n
[

Bi = Ω,

i=1

P (Bi ) > 0

Bi ∩ Bj = φ ∀i 6= j,
. On a

Soit A ∈ P(Ω)(ou F),
P (A|Bk ) × P (Bk )
P (Bk |A) = n
X
P (A|Bi ) × P (Bi )
i=1

Preuve : P (Bk |A) =

P (Bk ∩ A)
et on applique la formule des probabilit´es
P (A)

totales.
Exemple :
Une population est constitu´ee de 10 Fran¸cais, 10 Allemands.
7 Fran¸cais sont bruns, 3 blonds,
1 Allemand est brun, 9 blonds.
On rencontre un blond, probabilit´e qu’il soit Allemand ?
Soient les ´ev´enements A = ”il est blond”, B1 = ”Allemand” et B2 =
”Fran¸cais”.
9
On connait P (B1 ) = 1/2, P (B2 ) = 1/2, P (A|B1 ) =
et P (A|B2 ) = 3/10.
10
On demande P (B1 |A).
On a B1 ∪ B2 = Ω et B1 ∩ B2 = φ, on peut donsc appliquer le th´eor`eme de
Bayes:
9
1
×
P (A|B1 ) × P (B1 )
10 2
P (B1 |A) =
=
=
9
1
3
1
P (A|B1 ) × P (B1 ) + P (A|B2 ) × P (B2 )
× +
×
10 2 10 2
3
.
4
Exemple :

´ CONDITIONNELLES.NOTION D’INDEPENDANCE21
´
2.4. PROBABILITES
Une entreprise utilise 3 machines diff´erentes A, B, C pour fabriquer des pi`eces.
40 % sont fabriqu´ees par A, 30 % par B et 30 % par C. La machine A produit 2 % de pi`eces d´efectueuses, B 4 % et C 5 %.
1) On pr´el`eve une pi`ece au hasard. Probabilit´e qu’elle soit d´efectueuse.
2) On pr´el`eve une pi`ece. Elle est d´efectueuse. Probabilit´e qu’elle vienne de
A.
3) On pr´el`eve une pi`ece. Elle est saine. Probabilit´e qu’elle vienne de C.
Soient A : ” ˆetre fabriqu´e par A, B : ”ˆetre fabriqu´e par B,....
D : ”ˆetre d´efectueuse” et D : saine.
On a P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3, et P (C) = 0, 3.
A, B, C sont tels que A ∩ B = φ, A ∩ C = φ, C ∩ B = φ et A ∪ B ∪ C = Ω.
1)En appliquant la formule des probabilit´es totales, on a
P (D) = P (D|A) × P (A) + P (D|B) × P (B) + P (D|C) × P (C) = 0, 02 × 0, 4 +
0, 04 × 0, 3 + 0, 05 × 0, 3.
P (D|A) × P (A)
0, 02 × 0, 4
2)D’apr`es le th´eor`eme de Bayes, P (A|D) =
=
P (D)
P (D)
P (D|C) × P (C)
0, 95 × 0, 3
3) P (C|D) =
=
1 − P (D)
P (D)
Exemple :
Une urne contient 10 B 20 R 30 N .
On tire 3 boules sans remise.
Probabilit´e que les 2 premi`eres soient rouges et la troisi`eme noire ?
Soient les ´ev`enements: A:” la premi`ere boule tir´ee est rouge”, B:”la 2i`eme
est rouge”, on a
20
. Donc
P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A), or P (A) =
= 1/3 et P (B|A) = 19
59
60
19 1
P (A ∩ B) =
× .
59 3
Posons C = A ∩ B.
Soit D:”la troisi`eme est noire”. On a
30
19
P (D ∩ C) = P (D|C) × P (C) =
×
.
58 59 × 3
Exemple :
Soient 2 d´es ; l’un d’eux est pip´e. ils permet d’obtenir 6 dans 50 % des cas ;
l’autre est ´equilibr´e. On lance l’un des deux d´es choisi au hasard. On obtient
6. Quelle est la probabilit´e qu’on ait utilis´e le d´e ´equilibr´e ?

´
22 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES

Soient E : ”le d´e est ´equilibr´e,”
P : ”le d´e est pip´e,”
A : ”obtenir 6”.
1
1
1
1
Les donn´ees sont P (E) = , P (P ) = , P (A|E) = et P (A|P ) = .
2
2
6
2
On a E ∪ P = Ω et E ∩ P = φ. On peut donc appliquer le th´eor`eme de
1 1
×
P (A|E) × P (E)
bayes: P (E|A) =
= 6 2 = 0, 25.
1 1 1
P (A|E) × P (E) + P (A|P ) × P (P )
× +
6 2 4

2.5

Exercices d’application

Exercice 1 :
Dans une entreprise, la probabilit´e qu’un ouvrier A quitte l’entreprise dans
l’ann´ee est 1/5, probabilit´e qu’un cadre B quitte l’entreprise dans l’ann´ee est
1/8 et la probabilit´e que A et B quittent l’entreprise est 1/40.
Calculer la probabilit´e que l’un des deux quitte l’entreprise et que ni l’un ni
l’autre ne quitte l’entreprise.
Exercice 2 :
Dans une population, on a observ´e que pendant 1 mois, 40 % des individus
sont all´es au cin´ema, 25 % au th´eatre et 12,5 % au cin´ema et au th´eatre.
Calculer la probabilit´e que pendant 1 mois un individu
1) aille au cin´ema ou au th´eatre.
2)n’aille pas au cin´ema.
3)n’aille ni au cin´ema ni au th´eatre.
4)aille au cin´ema mais pas au th´eatre.
5) probabilit´e qu’un individu aille au th´eatre sachant qu’il est all´e au cin´ema
6) probabilit´e qu’un individu n’aille pas au cin´ema sachant qu’il n’est pas
all´e au th´eatre.
Exercice 3 :
Une urne contient 5B et 3N
1) 5 tirages sans remises
1-a) Proba d’avoir 3B puis 2N
1-b) Proba d’avoir exactement 3B

2.5. EXERCICES D’APPLICATION
2) 5 tirages avec remise
1-a) Proba d’avoir BBBN N
2-b) Proba d’avoir exactement 3B.

23

´
24 CHAPTER 2. INTRODUCTION AU CALCUL DES PROBABILITES

Chapter 3
Variables al´
eatoires et lois de
probabilit´
es
3.1
3.1.1

Espace probabilis´
e et loi de probabilit´
e

efinition

On a vu qu’une exp´erience al´eatoire ξ d´efinissait un ensemble d’´ev´enements
possibles Ω appel´e univers. Sur P(Ω) on peut d´efinir une application P telle
que ∀A ∈ P(Ω) (ou c alF ) P (A) est la probabilit´e de l’´ev`enement A de se
r´ealiser.


efinition
Soit Ω un univers.
On appelle espace probabilis´e le triplet (Ω, P(Ω) (ou c alF ), P ) P ´etant une probabilit´e sur P(Ω)
P est appel´ee loi de probabilit´e
On note souvent (Ω, P ).
Remarque :
Si ξ est une exp´erience al´eatoire et Ω l’ensemble de ses ´eventualit´es, le statisticien cherche `a donner une loi de probabilit´e P. (Ω, P ) d´ecrira le caract`ere
al´eatoire de l’exp´erience.

3.1.2

Exemples

Exemple 1 : On lance successivement 2 fois une pi`ece : ξ
Ω = {(P, P )(F, F )(P, F )(F, P )} avec P = pile et F = face.
25

´
´
26CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
On d´efinit la probabilit´e suivante:
P : Ω → [0, 1] ∀ω ∈ Ω P (ω) =

1
4

Exemple 2 : Dans une urne contenant 3 Blanches, 4 Rouges, 6 Noires, on
tire une boule et on observe sa couleur:
4
6
3
Ω = {B, R, N }, P (B) = , P (R) = , P (N ) = .
13
13
13
Exemple 3 : Une pi`ece a 2 faces valant respectivement +1 et −1.
ξ : on fait 3 lancers successifs. On a
{(+1, +1, −1)(+1, +1, +1)(+1, −1, +1)(+1, −1, −1)
Ω=
(−1, +1, −1)(−1, +1, +1)(−1, −1, 1)(−1, −1, −1)}
1
P (ω) = 3 ∀ω ∈ Ω. Les ´ev´enements sont ´equiprobables.
2

3.1.3

Lois discr`
etes et lois continues

On rencontrera deux types de lois de probabilit´e :
- Lois discr`etes : P : Ω → [0, 1] o`
u Ω est fini ou ∞ d´enombrable i.e. Ω
est une suite (finie ou ∞) d’ ´ev´enements ´el´ementaires que l’on peut noter
Ω = {ωi i ∈ I} avec I ⊂ N. Soient
pi = P ({ωi }) i ∈ I.
[
X
Soit A un ´ev`enement qq, si A = {ωi } alors P (A) =
pi
i∈J

i∈J

- Lois continues : P : Ω → [0, 1] est continue si tous les ´ev´enements ´el´ementaires
ont une probabilit´e nulle.
d−c
ex : Ω = [a, b] ∀[c, d] ⊂ [a, b] P ([c, d]) =
(loi uniforme)
b−a

3.2
3.2.1

Notion de variable al´
eatoire et loi de probabilit´
e d’une variable al´
eatoire
Exemple introductif

Soient 2 joueurs Albert et Bernard. L’un des deux lance un d´e
1F
si 1 ou 6,
A −→ B
2F
si 2,3 ou 5, B −→ A
si 4,
partie nulle.

´
´ D’UNE VARIABLE ALE
´
3.2. NOTION DE VARIABLE ALEATOIRE
ET LOI DE PROBABILITE
Appelons X le gain d’Albert.
X d´epend du hasard, plus particuli`erement du r´esultat du lancer de d´e. On
dira que X est une variable al´eatoire car elle d´epend du hasard.
Ici ξ = lancer de d´e Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ainsi X d´epend des ´ev´enements
de Ω et peut prendre les valeurs −1, 0, 2.
X(1) = −1, X(6) = −1, X(2) = X(3) = X(5) = 2, X(4) = 0.
Ω→R
ω → X(ω)
X est une application num´erique de {1, 2, 3, 5, 6} dans R.
X:

Le d´e ´etant non truqu´e, les ´ev´enements ´el´ementaires de Ω sont ´equiprobables.
1
Ainsi (Ω, P ) est un espace probabilis´e P ({i}) =
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
6
On demande la probabilit´e qu’Albert a de gagner 2 F. On a
1
P (X = 2) = P [ω tq X(ω) = 2] = P [X −1 (2)] = P ({2, 3, 5}) = ,
2
1
P (X = −1) =
P (X = 0) = 1/6.
3
Ainsi `a chaque valeur de X, on peut associer une probabilit´e. Cette correspondance s’appelle loi de probabilit´e de X repr´esent´ee par le tableau suivant:
valeurs de X
probabilit´e

3.2.2

-1
0
2
1/3 1/6 1/2


efinitions


efinition 1 :
Une variable al´eatoire est une fonction de Ω dans R (Ω, P ) ´etant un
espace probabilis´e.
Rmq :
Si Ω fini ou ∞ d´enombrable aucun pb. Si Ω est non d´enombrable, il faut une
propri´et´e suppl´ementaire : X −1 (] − ∞, x]) ∈ F.
F ´etant une σ alg`ebre (par exemple les intervalles de R).
X est une correspondance entre l’ensemble des ´ev`enements ´el´ementaires et R.

efinition 2 :

´
´
28CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
Soit X une v.a d´efinie sur l’espace probabilis´e (Ω, P ). On appelle
loi de probabilit´e de X, la probabilit´e PX d´efinie sur l’ensemble des intervalles I
de R tq ∀I ⊂ R
Px (I) = P {ω tq X(ω) ∈ I}

3.2.3

Exemples

Exemple 1. On lance successivement 2 fois une pi`ece de monnaie. Soit la
variable al´eatoire X repr´esentant le nombre de faces obtenues apr`es ces 2
lancements.
1) donner les valeurs de X
2) d´efinir la loi de probabilit´e de X
Solution : Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )} ´ev`enements ´equiprobables
X:


(P, P )
(P, F )
(F, P )
(F, F )

→R
→0
→1
→1
→2

X(Ω) = {0, 1, 2}
Valeurs de X 0 1 2
1
1
1
PX
4
2
4

Exemple 2. Dans une urne, il y a des boules blanches et rouges. Les blanches
sont en proportion p et les rouges en proportion q = 1 − p.
ξ : on tire une boule. Ω = {B, R}, p(B) = p, p(R) = q.
X : nb de rouges obtenues. Donner la loi de probabilit´e de X.
On a Px (0) = P (X = 0) = P (B) = p et Px (1) = P (X = 1) = P (R) = q.
ev ´el´ementaires
Valeurs de X
probabilit´es

B
0
p

R
1
q

Remarque :
On peut faire une analogie entre variable al´eatoire (v.a) et variable statistique. La notion de probabilit´e pour les v.a remplace celle de fr´equence
relative pour les variables statistiques.

´
`
3.3. VARIABLES ALEATOIRES
DISCRETES

3.2.4

29

Fonction de r´
epartition d’une loi de probabilit´
e
d’une v.a


efinition.
soit X une v.a d´efinie sur (Ω, P ) on appelle fonction de r´epartition de X la fonction F
de R dans R d´efinie par F (x) = P (X ≤ x).
Propri´
et´
es.
(1) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
∀b ≥ a.
(2) F est croissante
(3) F (x) ∈ [0, 1] ∀x ∈ R,
lim F (x) = 1,
X→+∞

lim F (x) = 0.

x→−∞

La fonction de r´epartition permet de calculer toutes les probabilit´es relatives
aux intervalles.

3.3

Variables al´
eatoires discr`
etes

On peut faire une analogie entre les variables statistiques et les variables
al´eatoires discr`etes (v.a.d).

3.3.1

Rappel de statistique descriptive univari´
ee

Ω : population
M = ensemble de classes Ci i = 1, . . . k
x : Ω → M variable statistique
classes
C1
C2 . . .
Ck
fr´equences relatives
f1
f2
fk
fr´equences relatives cumul´ees F1 = f1 F2 = f1 + f2 Fk = 1

3.3.2


efinitions d’une v.a.d. et de sa loi de probabilit´
e


efinition 1.
une variable X est discr`ete si l’ensemble de ses valeurs est fini ou ∞ d´enombrable.
Analogie :

v. stat
v. al´eatoire discr`etre
classe de modalit´e
valeurs de X
Ci
xi

´
´
30CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES

efinition 2.
La loi de probabilit´e de X est d´efinie par
1) les valeurs de X : xi i ∈ I,
2) les probabilit´es des valeurs de X
pi = P (X = xi ).
Souvent on dresse le tableau :
valeurs de X
x1 x2
proba P (X = xi ) p1 p2
Analogie :

3.3.3

...
...

xn
pn

v. al´eatoire discr`etre
v. statistique
fr´equence relative
pi = p(X = xi )
fi
de Ci

Fonction de r´
epartition

X : Ω → {x1 , . . . , xn }
La fonction de r´epartition F (F (x) = P (X ≤ x)) v´erifie:
x ∈] − ∞, x1 [ F (x) = P (φ) = 0,
x ∈ [x1 , x2 [
F (x) = P (X ≤ x) = F (x1 ) = P (X = x1 ) = p1 ,
x ∈ [xi , xi+1 [ F (x) = p1 + p2 + . . . + pi ,
x ≥ xn
F (x) = 1.
X
F (x) =
pi
i tq
xi ≤x

Propri´
et´
e

pi = F (xi ) − F (xi−1 )

Ainsi si on connait la loi de probabilit´e de X on d´eduit sa fonction de
r´epartition et inversement.

Analogie :

v. statistique v. al´eatoire discr`etre
fr´equences
fonction
relatives
de r´epartition
cumul´ees

´
`
3.3. VARIABLES ALEATOIRES
DISCRETES

3.3.4

31

Exemples

• Exemple 1 : ξ : on jette 2 d´es. Soit X la v.a. qui repr´esente la somme des
points obtenus par les 2 d´es.
1) donner la loi de probabilit´e de X.
2) donner la fonction de r´epartition de X.
• Exemple 2 : on lance une pi`ece de monnaie un certain nombre de fois. Soit
X le nombre de jets n´ecessaires pour obtenir pile pour la 1ere fois
1) quelles valeurs prend X ?
2) quelle est la loi de probabilit´e de X ?
3) fonction de r´epartition
1)L’univers est d´efini de la mani`ere suivante: Ω = {suite infinie (un )n∈N un =
P ou F }, et on a
X(Ω) = N∗
2) valeurs de X 1 2 . . . k
1 1
1
proba
... k
2
2 2
2
3) x < 1
F (x) = 0,
1≤x<2
F (x) = 1/2,
1
1
2≤x<3
F (x) = + 2 = 3/4,
2 2
k
k
k ≤ x < k + 1 F (x) = 21 + 212 + 213 + . . . + 21k = 12 1−(1/2)
= 1 − 21k = 2 2−1
k .
1−1/2
• Exemple 3 : D’un sac contenant n jetons, num´erot´es de 1 `
a n
on tire successivement au hasard sans remise 3 jetons.
soit X le num´ero du 3e jeton obtenu.
D´eterminer la loi de proba de X et sa fonction de r´epartition.

n ≥ 3,

Ω = {triplet}.
X(Ω) = {1, . . . , n}.
P (X = k) = P ({triplet tq 3e num´ero est k})
A2
1
=
.
= n−1
A3n
n
X1
E(x)
F (x) =
=
.
n
n
k≤x
• Exemple 4 : On place un hamster dans une cage. Il se trouve face `
a 5

´
´
32CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
portillons dont un seul lui permet de sortir. A chaque essai infructueux, il
re¸coit une d´echarge ´electrique et on le replace `
a l’endroit initial.
1) En supposant que le hamster choisisse de fa¸con ´equiprobable entre les
5 solutions `a chaque nouvel essai, d´eterminer la probabilit´e des ´ev´enements
suivants :
le hamster sort au 1er essai, au 3e , au 7e .
2) Le hamster m´emorise maintenant les essais infructueux et choisit de fa¸con
´equiprobable entre les portillons qu’il n’a pas encore essay´es.
Soit X le nb d’essais effectu´es pour sortir.
Quelles valeurs prend X ? D´eterminer sa loi de probabilit´e
Solution succinte :
1)P (1er essai) = 1/5, P (3e essai) =
1
= 0, 0524;
5
2) X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}

3.4
3.4.1

4 4 1
× × = 0, 128, P (7e ) = (4/5)6 ×
5 5 5

valeurs de X 1
2
3
4
5
proba
0, 2 0, 2 02 0, 2 0, 2

Variables al´
eatoires continues (v.a.c)

efinition - Fonction de r´
epartition


efinition :
La v.a X est continue si et seulement si ses valeurs constituent un ou plusieurs intervalles
La fonction de r´epartition est d´efinie par

F (x) = P (X ≤ x)


efinition :
Si F est continue et d´erivable alors X est absolument continue.
Rmq dans beaucoup d’ouvrage on parle de continuit´e `a la place d’absolue
continuit´e
Propri´
et´
es

´
3.4. VARIABLES ALEATOIRES
CONTINUES (V.A.C)
(1) F est croissante,
(2) lim F (x) = 1
x→+∞

lim F (x) = 0

x→−∞

si

33

X(Ω) = R

(3) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a)
(4) si X est abs cont Alors ∀x P (X = x) = 0.
preuve de (4) :
0 ≤ P (X = x) ≤ P (x − u ≤ X < x + v) = F (x + v) − F (x − u)
= (F (x + v) − F (x)) + (F (x) − F (x − u))
∀u, v
|
{z
} |
{z
}

3.4.2

↓v→0

↓u→0

0

0

.

Fonction densit´
e


efinition 1
P (a ≤ X < b)
F (b) − F (a)
=
b−a
b−a
Ainsi on en d´eduit naturellement la notion de densit´e de probabilit´e en 1
point.
La densit´e moyenne de proba sur [a, b] de X v.a.c. f (a, b) =


efinitions 2
F (x + ∆x) − F (x)
∆x→0
∆x

(i) La densit´e de probabilit´e en 1 point f (x) = lim

(ii) Si X est abs continue f (x) = F 0 (x) est appel´ee fonction densit´e
Z x
Cons´
equences
∀x ∈ R F (x) =
f (y)dy
−∞
Z b
P (a ≤ X ≤ b) =
f (y)dy.
a

Propri´
et´
e de f
(1) f ≥ 0
Z +∞
(2)
f (x)dx = 1
−∞

Remarque
(2) est souvent utilis´e pour montrer qu’une fonction est effectivement une
densit´e.

´
´
34CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES

3.4.3

Exemples

Exercice 1
Soit X la v.a. donn´ee par sa fonction densit´e

x<0
 0
1
x ∈ [0, 1]
f (x) =
(Loi uniform´ement r´epartie sur [0, 1])

0
x>1
1) donner le graphe de f
2) donner la fonction de r´epartition et son graphe. Calculer P (0, 25 ≤ X <
0, 5).
Exercice 2
On suppose que la dur´ee de vie d’un individu est une v.a. continue dont la
densit´e de probabilit´e est

k t2 (100 − t)2 t ∈ [0, 100]
f (t) =
0
sinon
1) D´eterminer k pour que f soit la fonction densit´e d’une v.a
2) Calculer la probabilit´e pour qu’un individu meurt entre 60 et 70 ans.

3.5
3.5.1

Caract´
eristiques d’une variable al´
eatoire
Introduction

Pour une variable statistique donn´ee par le tableau
classes fr´equences relatives
C1
f1
..
..
.
.
Cn
fn
on avait d´efini des grandeurs caract´erisant la v. statistique comme la moyenne,
la variance, l’´ecart type.

´
´
3.5. CARACTERISTIQUES
D’UNE VARIABLE ALEATOIRE

35


n
X

x
=
fi xi
moyenne


i=1

n
X

V (x) =
fi x2i − x2
variance
Rappels
i=1
n

X


=
fi (xi − x)2

i=1

σ(x) = pV (x)
´ecart type
On va faire de mˆeme pour les variables al´eatoires.

3.5.2

Esp´
erance

• Cas des variables discr`etes
Soit X une v.a. d´efinie sur (Ω, P ) tq X(Ω) = {xi , i ∈ I},
L’esp´erance de X est d´efinie par
X
E(X) =
pi xi .

pi = P (X = xi )

i∈I

(analogie avec les variables statistiques)
• Cas des variables absolument continues
X : (Ω, P ) → R de fonction densit´e f d´efinie sur R
Z +∞
E(X) =
xf (x) dx.
−∞
Z b
Si f est d´efinie sur [a, b] E(X) =
xf (x)dx.
a

Exercice 1
Dans une urne, on a des boules blanches en proportion p et des noires en
B→0
proportion q = 1 − p. Soit X :
N →1
Calculer E(X).
sol :

valeurs de X 0 1
proba
p q

Exercice 2

E(X) = q

´
´
36CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
Lancers successifs de 2 pi`eces de monnaie. X : nb de faces obtenues.
Calculer E(X)
X:

0
1
proba
4
Exercice 3
Lancer de 2 d´es.
Calculer E(X)
sol :

E(X) =

1
1
2

2
1
4

E(X) =

1
1
+2× =1
2
4

X = somme des 2 d´es.

2
6
12 20 30 42 40
30 20 12
252
+
+
+
+
+
+
+1+
+
+
=
=7
36 36 36 36 36 36 36
36 36 36
36

Exercice 4
On jette un d´e : X : pt du d´e
1
1
proba
6

X

2
1
6

3
1
6

4
1
6

5
1
6

6
1
6

21
1
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
|
{z
}6
6
6×7
2

Exercice 5
Un joueur tire au hasard une carte parmi 52. Il gagne 200 F si la carte est
un coeur et perd 100 F sinon. Soit G : Ω → R le gain du joueur.
1) d´efinir la loi de probabilit´e de G
2) calculer son esp´erance
Ω = {52 cartes}
Valeur de G
proba

200 -100
1
3
4
4

E(G) =

200 300
100

=−
= −25
4
4
4

Exercice 6
Deux joueurs A et B lancent chacun une pi`ece.
Si les 2 pi`eces tombent sur pile A gagne g sinon B gagne 2 F.
Un jeu est ´equitable si et seulement si l’esp´erance du gain de chaque joueur
est nulle. Que doit valoir g pour que le jeu soit ´equitable ?
sol : Ω = {(P, P )(F, F )(P, F )(F, P )}

´
´
3.5. CARACTERISTIQUES
D’UNE VARIABLE ALEATOIRE

GA : gain de A

-2
3
4

g
GB
2
1
3
proba
proba
4
4
6 g
6 g
E(GA ) = − + ,
E(GB ) = − . Ainsi
4 4
4 4
E(GA ) = E(GB ) = 0 si et seulement si g = 6.

37

−g
1
4

Exercice 7



0
x

−x + 2
1) repr´esentation de f et v´erifier que f est une fonction
2) calculer F , la fonction de r´epartition.
3) calculer E(X).

Soit X d´efinie par sa fonction densit´e f (x) =

si x < 0 x > 2
si x ∈ [0, 1[
si x ∈ [1, 2]
densit´e.

sol :
2×1
base × hauteur
1) • Aire triangle =
=
=1
(calcul g´eom´etrique)
2
2
Z +∞
Z 1
Z 2

f (x)dx =
x dx +
−x + 2 dx
−∞
0
1
2 1
2
x
2
=
+ −x2 + 2x
2 0
1
= 1/2 + −2 + 4 + 1/2 − 2 = 1
(calcul analytique)

=0
x<0



2

x

 =
x ∈ [0, 1[
2 2
2) F (x)
x


= − + 2x − 1
x ∈ [1, 2[



2

=1
x>2
Z +∞
Z 1
Z 2
2
3) E(X) =
x f (x) dx =
x dx +
x(−x + 2)dx
−∞
0
1

3 1

2
8
x
x3
2
=
+ − 3 +x
= 1/3 + − + 4 − [−1/3 + 1] = 1
3 0
3
1

Propri´
et´
es de l’esp´
erance Soit a, b ∈ R,

X : Ω → R,

Y :Ω→R

´
´
38CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
E(aX + b) = a E(X) + b
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(X − Y ) = E(X) − E(Y )
E(X.Y ) = E(X).E(Y ) si X et Y sont ind´ependantes (d´efinition au chapitre 4)

3.5.3

Variances

• Cas des variables discr`etes Soit X une v;a;d telle que
X(Ω) = {xi i ∈ I} et P (X = xi ) = pi .
X
X
V (X) =
pi x2i − E(X)2 =
pi (xi − E(X))2
(analogie avec les v.
i∈I

i∈I

statistiques)
• Cas des variables absolument continues de fonction densit´e f : R → R
Z +∞
Z +∞
2
V (X) =
(x − E(X)) f (x)dx =
x2 f (x)dx − E(X)2 .
−∞

−∞

Pour toutes les variables al´eatoires, on peut d´efinir
V (X) = E[(x − E(X))2 ] = E(X 2 ) − E(X)2 .

efinition :
on appelle ´ecart type de X, not´e σ(X), la quantit´e:
σ(X) =

p

V (X)

Exercice 1
Soit X la v.a. discr`ete d´efinie par
xi
pi
−2 1/8
−1 1/4
0 1/5
1 1/8
2 3/10
sol : E(X) =

Calculer E(X) et V (X)

9
' 0, 225
40

´
´
3.5. CARACTERISTIQUES
D’UNE VARIABLE ALEATOIRE
83
V (X) =

40



9
40

2

39

3239
' 2, 02
1600

=

Exercice 2
Une entreprise de la r´egion estime que la demande concernant l’un des articles qu’elle produit est une v.a. continue X dont la densit´e de probabilit´e est
f (x) = 0
x<0
= 3x + 2
x ∈ [0, 1/3[
=x
x ∈ [1/3, 2/3]
= −3x + 3
x ∈ [2/3, 1[
=0
x≥1
1) repr´esentation de f .
2) fonction de r´epartition de f .
3) P [200 < X < 600].
4) E(X), V (X).
Propri´et´e de la variance
V (aX + b) = a2 V (X)
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) si X et Y sont ind´ependantes
V (X − Y ) = V (X) + V (Y ) si X et Y sont ind´ependantes
On verra plus tard la d´efinition math´ematique de l’ind´ependance de 2 v.a.
mais on peut la d´efinir intuitivement. 2 v.a. sont ind´ependantes si elles n’ont
aucune liaison entre elles.
Ex : on lance 2 d´es X : n◦ du 1er d´e Y = n◦ du 2e . Elles sont ind´ependantes.

3.5.4

Moments


efinition
On appelle moments centr´es d’ordre k de X: mk = E(X k )
X
• v.a. discr`etes mk =
pi xki , si X(Ω) = {xi i ∈ I}
i∈I

Z

+∞

• v.a. continues mk =
−∞

Propri´
et´
e

xk f (x)dx

´
´
40CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES

V (X) = m2 − m21

efinition
on appelle moments centr´es en E(X) d’ordre k de X: Mk = E(X − E(X))k
(V (X) = M2 )

3.5.5


ediane et Mode


efinition
Soit X une v.a. On appelle m´ediane de X, not´ee Me , le r´eel (ou l’intervalle)abscisse
1
de l’intersection entre y = et y = F (x).
2
Exemple
0
x<0



0
x>2
f (x) =
x
[0, 1[



2 − x [1, 2[
Z x
Si x < 0, F (x) =
f (t)dt = 0.
−∞
2 x
Z x
t
x2
= .
Si x ∈ [0, 1[, F (x) =
tdt =
2 0
2
0

x
Z x
t2
Si x ∈ [1, 2[, F (x) = 1/2 +
(2 − t)dt = 1/2 + 2t −
= 1/2 + 2x −
2 1
1
x2
x2
− 2 + 1/2 = −1 + 2x − .
2
2
On a Me = 1.

efinition
Soit X une v.a. On appelle mode de X la valeur x0 telle que
(i) si X est discr`ete P (X = x) ≤ P (X = x0 ) ∀x
(ii) si X est continue f (x) ≤ f (x0 )
∀x
Rmq : une v.a. peut avoir plusieurs modes.

´
´
3.5. CARACTERISTIQUES
D’UNE VARIABLE ALEATOIRE

3.5.6

41

Fonction d’une variable al´
eatoire

Soit X une v.a. et Y = ϕ(X),

ϕ ´etant une fonction de R dans R.

• Cas d’une variable discr`ete Soit X une v.a.d telle que
X(Ω) = {x1 , . . . , xn },
pi = P (X = xi ).
Y = ϕ(X) est d´efinie sur le mˆeme univers Ω et Y (Ω) = {ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xn )}
L’´evaluation de la distribution Y ne pr´esente pas de difficult´es majeures. On
calcule la probabilit´e des ´ev`enements.
P (Y = yk ) = P ({ω ∈ Ω tq Y (ω) = yk }) = P (ω ∈ Ω tq ϕ(X(ω)) = yk )
Par contre on peut calculer E(Y ) et V (Y ) sans la distribution de probabilit´e
de Y :
E(Y ) =
V (Y ) =

n
X
i=1
n
X

pi ϕ(xi )
fi ϕ2 (xi ) − E(Y )2

i=1

Exemple :
Soit X une v.a. prenant chacune des valeurs 0,1,2,3,4,5 avec la mˆeme prob1
abilit´e
6
Soient Y = 2X + 1 et Z = X 2
1) Calculer E(Y ), V (Y ) puis E(Z), V (Z).
2) Donner la loi de probabilit´e de Y puis de Z.
sol :
1
1) E(Y ) = [1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11] = 6
6
1
70
35
V (Y ) = [1 + 9 + 25 + 49 + 81 + 121] − 62 =
=
6
6
2
1
55
E(Z) = [1 + 4 + 9 + 16 + 25] =
6
6
1
55
979 552
2849
V (Z) = [1 + 16 + 81 + 256 + 625] − 2 =
− 2 =
= 79, 14
6
6
6
6
36
Valeurs de Y 1 3 5 7 9 11
2)
1 1 1 1 1 1
probas
6 6 6 6 6 6

´
´
42CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES
• Cas d’une variable continue
Soit X une v.a.c. de fonction densit´e f
Soit ϕ une fonction de R dans R telle que Y = ϕ(X) soit ´egalement une v.a.c.
Dans les applications rencontr´ees, on a
Z +∞
E(Y ) =
ϕ(x) f (x)dx
−∞
Z +∞
V (Y ) =
ϕ2 (x) f (x)dx − E(Y )2
−∞

Rmq : si on pose Y = ϕ(X) avec X v.a., Y n’est pas forc´ement une v.a.
Exemple :
Soit X
une v.a. telle que
1/2 sur [−1, 1]
f (x) =
0
ailleurs
2
Soit Y = X
1) Calculer E(Y ) et V (Y )
2) Quelle est la fonction densit´e de Y ? Retrouver E(Y ) et V (Y ).
sol :

3 1
x
1 1
1
1 2
x dx =
= + =
1) E(Y ) =
6 −1 6 6
3
−1 2
5 1
Z 1
1
1
x
1
1 1
V (Y ) =
x4 dx − 2 =
− = −
2
3
10 −1 9
5 9
−1
Z

1

2) Calculons la fonction de r´epartition de Y .
G(y) = P (Y ≤ y)
= P (X 2 ≤ y).
Pour y < 0
G(y) = 0.


Pour y > 0
G(y) = P (− y ≤ X ≤ y)
, avec F la fonction


= P (X ≤ y) − P (X ≤ − y)


= F ( y) − F (− y)
de r´epartition de X.

si x < −1

 0
1+x
on a
F (x) =
si x ∈ [−1, 1] Ainsi,

 2
1
si x > 1
Pour y < 1, G(y) = 0.

´
´
3.5. CARACTERISTIQUES
D’UNE VARIABLE ALEATOIRE

43


Pour y ∈ [0, 1], G(y) = y.
Pour y > 1, G(y) = 0. La fonction densit´e de Y , g(y) = G0 (y) est donc
Ainsi g(y) = 0 pour y < 0 et y > 1,
1
g(y) = √ pour 0 ≤ y ≤ 1
2 y


1/2 y y ∈ [0, 1]
g(y) =
0
sinon
Z
Z 1
1 1
1
1 1 1/2
1 3/2
On a E(Y ) =
y √ dy =
y dy =
4 /3/2 0 = ,
2 y
2 0
2
3
0
Z 1
Z 1
1
1
1
1
y 3/2 dy −
V (Y ) =
42 √ dy − 2 =
2 y
3
2 0
9
0
1 2 5/2 1 1
1 1
= × (4 )0 − = − .
2 5
9
5 9

´
´
44CHAPTER 3. VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITES

Chapter 4
Lois discr`
etes usuelles
4.1

Introduction

On a un ph´enom`ene al´eatoire que l’on veut comprendre. Ce ph´enom`ene
al´eatoire est `a priori complexe et on ne peut calculer directement les probabilit´es de ses ´eventualit´es.
ex : comprendre la d´epense annuelle des m´enages fran¸cais pour les loisirs;
par exemple, on veut calculer la probabilit´e qu’ils d´epensent 5 000 F par an.
On dispose donc d’une population pour laquelle le mod`ele est destin´e, d’un
individu et d’un caract`ere ´etudi´e (repr´esent´e par une variable al´eatoire X).
Que fait-on ?
1 - Pour avoir une premi`ere id´ee du ph´enom`ene repr´esent´e par une variable al´eatoire X, on peut faire plusieurs observations de X.
ex : X = d´epense annuelle pour les loisirs d’un m´enage (variable al´eatoire
attach´ee `a un individu). On demande `a un certain nombre de m´enages ses
d´epenses annuelles en loisirs. On a donc la valeur de Xi , Xi ´etant la d´epense
annuelle pour le m´enage i.
Cette suite d’observation d´ebouche sur la d´efinition d’une variable statistique
x souvent d´ecrite de la mani`ere suivante :
valeurs de x
xi

fr´equences
ni
45

46

`
CHAPTER 4. LOIS DISCRETES
USUELLES

On ´etudie cette variable statistique `a l’aide des techniques des statistiques
descriptives (1ere ann´ee).
2 - Il y a quelques lois de probabilit´e ou lois th´eoriques qui d´ecrivent assez bien un grand nombre de ph´enom`enes al´eatoires. On veut repr´esenter le
ph´enom`ene al´eatoire par une loi de probabilit´e th´eorique. Cette mod´elisation
est ´evidemment plus riche que la repr´esentation par une variable statistique
: ici on peut calculer la probabilit´e de tout ´ev`enement associ´e au ph´enom`ene
al´eatoire. Dans ce chapitre, nous allons fournir un catalogue de lois de probabilit´e discr`etes (description, ´etude) souvent utiles en pratique.
Le statisticien plus chevron´e construira ses propres mod`eles th´eoriques.
3 - Apr`es le choix d’un mod`ele th´eorique se pose la question suivante : peut-on
quantifier l’approximation du ph´enom`ene al´eatoire par le mod`ele th´eorique.

4.2

Sch´
ema de Bernouilli

Toute ´epreuve n’ayant que 2 r´esultats possibles peut-ˆetre consid´er´ee comme
une situation d’alternative.
En d’autres termes, les 2 r´esultats possibles sont compl´ementaires l’un de
l’autre.
Il s’agit d’une situation fr´equente dans la pratique d`es que l’on cherche `a
mettre en ´evidence un caract`ere particulier au sein d’une population :
tout individu de cette population peut ˆetre d´ecrit selon une alternative : soit
il pr´esente ce caract`ere, soit il ne le pr´esente pas.
Exemple : Etude de l’impact d’une campagne publicitaire pour un nouveau
produit.
Q1 : Est-ce que l’individu poss´edait ce produit auparavant ?
Q2 : L’individu a-t-il ´et´e touch´e par la campagne ?
Q3 : La campagne a-t-elle induit l’achat ?
Souvent les r´esultats possibles sont des objets qualitatifs. Pour les quantifier, il faut leur trouver un codage.

´
4.3. LE SHEMA
BINOMIAL

47

On d´efinit ainsi une v.a. X dites de Bernouilli (savant suisse 1654-1705) par
0
1
1−p p

efinition
On r´ealise une exp´erience al´eatoire qui a 2 r´esultats possibles : le succ`es S, de probabilit´e. p,
et l’Echec
E de probabilit´e. 1 − p. La v.a

1 si succ`es est une v.a. de Bernouilli
X:
0 si ´echec

Mode
Si p > q, le mode est1;
sip < q, le mode est0


ediane
p > q ⇒ q < 1/2 Me = 1
p < q ⇒ q > 1/2 Me = 0

Propri´
et´
e
E(X) = p
V (X) = p(1 − p)
Remarque :
La v.a. de Bernouilli est une v.a. indicatrice : elle indique la r´ealisation
´eventuelle de l’´ev´enement de probabilit´e p. Le sh´ema de Bernouilli est le
plus simple des mod`eles probabilistes.

4.3

Le sh´
ema Binomial

C’est une succession d’´epreuves de Bernouilli (n) ind´ependantes.

efinition :

`
CHAPTER 4. LOIS DISCRETES
USUELLES

48

On r´ealise n fois successivement et d’une mani`ere ind´ependante une exp´erience al´eatoire
qui a 2 r´esultats possibles, S (succ`es) de probabilit´e p et E (´echec) de probabilit´e 1 − p
X = nombre de succ`es obtenus est une v.a. binomiale de param`etre n et p.
Notation B(n, p).
Remarque :
On peut ´egalement la d´efinir comme une somme de v.a. de Bernouilli.
A chaque ´epreuve i, on associe la v.a. de Bernouilli Xi
X=

n
X

Xi .

i=1

X ∼ B(n, p)
Loi de probabilit´
e
X(Ω) = {0, . . . , n}
P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k
∀k ∈ X(Ω)
n : nb d’´epreuves,
k : nb de S (succ`es),
p : probabilit´e du succ`es.
Propri´
et´
es

E(X) = np

V (X) = np(1 − p)
Propri´
et´
e
Si X1 ∼ B(n1 , p)
et X2 ∼ B(n2 , p)
ind´ependantes, alors
X1 + X2 ∼ B(n1 + n2 , p)
Preuve : somme de v.a Benouilli.
Il y a des tables pour ´eviter de calculer les probabilit´es d’ ´ev´enements li´es `a
la loi binomiale. On peut ´egalement, dans certains cas, approximer B(n, p)
par une autre loi.
Exercice :
Une machine `a embouteiller peut tomber en panne. La probabilit´e d’une
panne `a chaque emploi est de 0,01. La machine doit ˆetre utilis´ee 100 fois.

´
4.3. LE SHEMA
BINOMIAL

49

Soit X= nb de pannes obtenues apr`es 100 utilisations.
1) Quelle est la loi de X ?
Calculer P (X = 0), P (X = 1) et P (X ≥ 4).
2) On estime le coˆ
ut d’une r´eparation `
a 500 F. Soit la v.a
Y repr´esentant la d´epense pour les r´eparations apr`es 100 utilisations.
Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ) V (Y ).
Solution :
0
1) X ∼ B(100, 0, 01) ; P (X = 0) = C100
(0, 01)0 0, 99100 = 0, 366
1
P (X = 1) = C100
0, 01 0, 9999 = 100 × 0, 01 × 0, 9999 = 0, 377
P (X ≥ 4) = 1 − (. . .) = 0, 061
2) Y = 500X
E(Y ) = 500 E(X) = 500 × 100 × 0, 01 = 500
V (Y ) = 5002 V (X) = 5002 0, 99 = 247500
Exercice :
Dans une p´epini`ere 95% des scions (jeunes arbres greff´es) sont suppos´es sans
virus. Par commodit´e les scions sont rang´es par paquets de 2. Un paquet est
dit sain si les 2 scions le sont.
1) Proba d’avoir un paquet sain ?
2) X = nb de paquets sains sur un lot de 10
Quelle est la loi de X ?
3) Un lot de 10 est accept´e par l’acheteur si 9 au moins des paquets sont
sains. Proba qu’un lot soit accept´e ?
Solution :
1) p = 0, 95 × 0, 95 = 0, 9025
2) X ∼ B(10, p)
3) P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10)
= 0, 7361
Remarque
Le sch´ema binomial correspond au processus de tirage d’un ´echantillon al´eatoire
avec remise :
N1 : nb d’individus ayant la propri´et´e S
N2 : nb d’individus n’ayant pas la propri´et´e S
N = N1 + N2 : nb total d’individus
On fait n tirages avec remise
Soit X = nb d’individus ayant la propri´et´e S

`
CHAPTER 4. LOIS DISCRETES
USUELLES

50
X ∼ B(n, p) avec p =

N1
N

Propri´
et´
e
Calcul en chaine des probalit´es de la loi binomiale:
si X ∼ B(n, p) alors
(n − k + 1)p
P (X = k − 1)
k(1 − p)
n−k+1 p
P (X = k)
=
P (X = k − 1)
k
1−p

P (X = k) =
Preuve :

4.4

Le sch´
ema hyperg´
eom´
etrique

Exemple : En pratique lorsque l’on tire un ´echantillon de taille n parmi une
population de taille N , le bon sens veut que l’on ne prenne pas 2 fois le
mˆeme individu. Cela signifie que le tirage se fait sans remise. Les v.a de
Bernouilli associ´ees aux diff´erents ´el´ements de l’´echantillon et indicatrices de
la pr´esence ou absence d’un caract`ere donn´e, sont alors d´ependantes. Le
sch´ema binomiale n’est plus adapt´e.
Le sch´ema hyperg´eom´etrique est une succession d’´epreuves de Bernouilli non
ind´ependantes.

efinition Si dans une population de taille N , on a 2 types de populations:
N1
N1 individus type 1 en proportion p =
N
N2 individus type 2 : N2 .
On fait n tirages sans remise dans la population et la v.a
X = nb individus de type 1 dans l’´echantillon.
X ob´eit au sch´ema hyperg´eom´etrique H(N, n, p)
X
X=
Xi , avec Xi v.a de Bernouilli non ind´ependantes.
i

Loi de probabilit´
e

´
´
´
4.4. LE SCHEMA
HYPERGEOM
ETRIQUE

51

Si X ∼ H(N, n, p), alors

Les valeurs de X sont les entiers compris entre 0 et n si
P (X = k) =

CNk 1 × CNn−k
2
.
CNn

n < N2
et
n < N1

(d´enombrement classique)

Propri´
et´
es
E(X) = np
V (X) = np(1 − p)

N −n
N −1

Th´
eor`
eme :
Quand N → +∞ avec n, p fixes
La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) tend vers la loi binomiale B(n, p)
Que signifie une loi qui tend vers une autre loi ?
d’application)
Dans la pratique, on utilise l’approximation d`es que

(cf chap.

condition

n
< 0, 1
N

preuve : en cours magistral.
Exemple 1
A un guichet SNCF se pr´esentent 2 femmes et 3 hommes. On choisit au
hasard 2 personnes 6= pour une enquˆete.
Soit X = nb de femmes.
a) Probabilit´e de choisir une femme au moins.
b) Calculer E(X) et σ(X).


2
a) X ∼ H 5, 2,
.
5
C21 C31 C22 C30
7
P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) =
+
=
= 0, 7.
2
2
C5
C5
10
3
4
b) E(X) = np = 2 × = = 0, 8,
5
5
N −n
2 3 3
9
V (X) = npq
=2× × × =
= 0, 36,
N −1
5 5 4
25
σ(X) = 0, 6.


Aperçu du document 1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 1/57
 
1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 2/57
1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 3/57
1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 4/57
1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 5/57
1-ProbabilitesElementaires.pdf - page 6/57
 




Télécharger le fichier (PDF)


1-ProbabilitesElementaires.pdf (PDF, 296 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


1 probabiliteselementaires
probas
cours1 prob et stoch sma s6
map432 poly
3 probabiliteselementaires
cmd060902

Sur le même sujet..