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3.4

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4 Vecteurs al´
eatoires discrets
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . .
4.2 Vecteurs al´eatoires . . . . . . . .
4.3 Variables al´eatoires ind´ependantes
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . .

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5 Moments des v. a. discr`
etes
5.1 Esp´erance . . . . . . . . .
5.2 Moments d’ordre r . . . .
5.3 Variance . . . . . . . . . .
5.4 Covariance . . . . . . . . .
5.5 Exercices . . . . . . . . . .

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87
. 87
. 95
. 97
. 103
. 107

6 Loi
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6

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des grands nombres
Deux modes de convergence . . . . . . .
Loi faible des grands nombres . . . . . .
Estimation d’une proportion inconnue . .
Convergence presque sˆ
ure des fr´equences
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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75
76
78
81

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122
125
133

7 Approximation gaussienne
7.1 La courbe en cloche . . . . . . . . . . . . . .
´
7.2 Etude
graphique . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Le th´eor`eme de De Moivre-Laplace . . . . .
7.4 Preuve du th´eor`eme de De Moivre-Laplace .
´
7.4.1 Evaluation
asymptotique de b(k, n, p)
7.4.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . .
7.5 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . .
7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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169
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175
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180
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184
187

8 Variables al´
eatoires r´
eelles
8.1 Sortie du cadre discret . . . . . . . . .
8.2 Notion de variable al´eatoire r´eelle . . .
8.3 Variables `a densit´e . . . . . . . . . . .
8.3.1 Densit´e . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Moments des variables `a densit´e
8.4 Lois `a densit´e classiques . . . . . . . .
8.4.1 Lois uniformes . . . . . . . . . .
8.4.2 Lois exponentielles . . . . . . .
8.4.3 Lois gaussiennes . . . . . . . . .
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii

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