1 tracking .pdf



Nom original: 1-tracking.pdfTitre: Microsoft Word - tracking.docAuteur: prigent

Ce document au format PDF 1.3 a été généré par ADOBEPS4.DRV Version 4.50 / Acrobat Distiller 5.0 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 29/06/2013 à 00:52, depuis l'adresse IP 41.224.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1509 fois.
Taille du document: 276 Ko (22 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE SOUS CONTRAINTE
DE VARIANCE DE LA TRACKING-ERROR
P. BERTRAND1, J.L. PRIGENT2, R. SOBOTKA3
Octobre 2000

Classification JEL : G11, G13.
Abstract :In this paper, we study several portfolio optimization programs which take into acount some constraint
on the volatility of the tracking-error.
The volatility of the tracking-error is defined as the standard deviation of the differential rate of return
between a portfolio and its benchmark.
Roll (1992) has studied two optimizations programs under a constraint on the tracking-error’s volatility
: minimization of the volatility of the tracking-error and minimization of the volatility of the tracking-error under
a beta constraint. We recall his results and then propose a characterization of the solutions in terms of
performance ratio such as the Sharpe Ratio and the Information Ratio.
We propose an alternative approach. We consider that investors (or fund’s managers) maximize a
mean-variance criterium under a tracking-error’s volatility constraint. We then take into account both absolute
risk and relative risk. We study the properties of the solutions.
We demonstrate that the set of portfolio’s solutions of our program is the same as the set of portfolio’s
solutions of Roll’s program as soon as the expected rate of return of the portfolio is greater than that of the
minimum variance portfolio.
Résumé :Dans cet article, nous étudions différents programmes d’optimisation de portefeuille qui tiennent
compte d’une contrainte sur la volatilité de la tracking-error.
La volatilité de la tracking-error se définit comme l’écart type du différentiel de taux de rentabilité entre
un portefeuille et son benchmark. C’est une mesure du risque relatif d’un portefeuille par rapport à une
référence.
Roll (1992) a étudié deux programmes d’optimisation sous contrainte de volatilité de la tracking-error :
minimisation de la volatilité de la tracking-error puis minimisation de la volatilité de la tracking-error sous
contrainte de bêta. Après avoir rappelé ses résultats, nous proposons une caractérisation des solutions en termes
de ratio de mesure de performance (ratio de Sharpe et ratio d’information).
Nous proposons une approche alternative qui considère que les individus maximisent un critère
espérance-variance sous contrainte de volatilité de la tracking-error. Nous réintroduisons donc le risque absolu
au côté du risque relatif .
Après avoir étudié les propriétés de ces solutions, nous montrons que l’ensemble des portefeuilles
solutions de notre programme correspond à l’ensemble des solutions du programme de minimisation de la
volatilité de la tracking-error sous contrainte de bêta dès que l’espérance du taux de rentabilité est supérieure à
celle du portefeuille de variance minimale.
____________________________________________
Nous remercions les membres du comité de lecture de la revue pour les remarques qu’ils ont bien voulu nous
adresser et qui ont amélioré la qualité de notre travail. Les erreurs éventuelles qui subsisteraient sont de notre
seule responsabilité.

1

GREQAM et Faculté de Gestion, Université Montpellier 1.
Correspondance : P. Bertrand, GREQAM, 2 rue de la Charité, 13002 Marseille – e-mail :
bertrand@ehess.cnrs-mrs.fr.
2
ThEMA, Université de Cergy.
3
CCF Asset Management Group.

1

Introduction
La gestion active benchmarkée a pour but de battre son benchmark sans «trop»
s’éloigner de l’allocation préconisée par ce dernier. Le gérant actif va donc effectuer des paris
qu’ils soient tactiques (surpondérer une classe d’actif contre une autre) ou de sélection de
valeurs (la surpondération d’un titre contre un autre à l’intérieur d’une classe d’actif) tout en
respectant une contrainte de tracking-error4. Dans un tel contexte, le risque relatif, mesuré par
la tracking-error, se substitue au risque absolu, mesuré par l’écart type du taux de rentabilité.
Dans un premier temps, nous analyserons quelques propriétés intéressantes de
l’optimisation de portefeuille sous contrainte de tracking-error (optimisation relative,
désormais). Nous reprendrons dans cette partie les résultats de Roll (1992). Alors que
l’optimisation absolue (en ce sens que c’est le risque absolu qui est pris en compte) de type
Markowitz permet de dominer le benchmark en obtenant des rendements supérieurs pour un
même risque (ou même un risque plus faible), l’optimisation relative ne permet pas en général
de dominer le benchmark. De plus, l’optimisation relative engendre des portefeuilles
comportant un risque de benchmark timing (i.e., un bêta plus grand que l’unité).
Nous proposons une caractérisation des portefeuilles de la frontière relative au moyen
d’indices de mesure de performance tels que le ratio de Sharpe et le ratio d’information.
Roll (1992) propose de rajouter une contrainte sur le bêta du portefeuille. Après avoir
rappelé ses résultats, nous analysons les propriétés de ces portefeuilles au moyen du ratio
d’information.
Nous proposons un programme d’optimisation alternatif qui contient comme cas
particulier le programme d’optimisation relative. Il s’agit de maximiser le critère «moyennevariance» sous contrainte de variance de la tracking-error. Nous analysons les portefeuilles
solutions de ce programme en terme de ratio d’information.
Finalement, nous étudions les liens qui existent entre ce dernier programme et le
programme de minimisation de la variance de la tracking-error sous contrainte de bêta. Nous
démontrons que l’ensemble des solutions de notre programme d’optimisation est identique à
l’ensemble des solutions du programme de Roll dès que l’espérance du taux de rentabilité est
supérieure à celle du portefeuille de variance minimale.
A ce stade, il est utile de préciser que la composition du portefeuille optimal choisi,
quel que soit le programme d’optimisation utilisé, dépendra fortement du vecteur des taux de
rentabilités anticipés des différents actifs et, dans une moindre mesure, de la matrice des
variance-covariance de ces mêmes taux de rentabilités. Précisons également que le but de cet
article n’est pas de traiter de la sensibilité d’un programme d’optimisation au vecteur des taux
de rentabilités et à la matrice des variance-covariance.

4

Tracking-error peut se traduire par « erreur de poursuite » (du fonds par rapport à son benchmark). Nous
garderons, dans ce qui suit, la terminologie anglo-saxonne.

2

1. Notations
L’univers de gestion considéré se compose de n actifs financiers. Les vecteurs et
matrices intervenant dans l’article seront respectivement de dimension (n × 1) et (n × n) .
Nous adopterons dans ce qui suit les notations suivantes :
b : le vecteur des poids des actifs financiers dans le benchmark tel que t be = 1. Il est fixé de
manière exogène.
α : le vecteur des poids des actifs financiers des portefeuilles solutions des différents
programmes d’optimisation que nous traiterons. C’est en fait ce que nous appellerons
désormais un portefeuille.
x = (α − b) : le vecteur des poids des différences entre les poids du portefeuille et ceux du
benchmark.
R : le vecteur des rendements anticipés des actifs financiers de l’univers d’investissement.
V : la matrice de variance-covariance des actifs financiers de l’univers d’investissement.
RB = tbR : le taux de rentabilité espéré du benchmark.

σ 2B = tbVb : la variance du taux de rentabilité du benchmark.
e : le vecteur unitaire.
t
T : la volatilité de la tracking-error définie par T 2 = (α − b)V (α − b)= t xVx .

2. Minimisation de la variance de la tracking-error sous contrainte
de taux de rentabilité anticipé
Dès qu’un gérant de portefeuille possède une référence de gestion (i.e. un benchmark),
il ne peut plus allouer son portefeuille en utilisant une optimisation de type Markowitz. Il doit
déterminer la composition de son portefeuille en minimisant la variance de la tracking-error
de ce dernier sous contrainte d’espérance du taux de rentabilité.
Dans la plupart des cas, le benchmark n’est pas efficient au sens moyenne-variance
comme le montre l’étude réalisée par Grinold (1992).

2.1. Résolution du programme d’optimisation
Programme d’optimisation, P(1) :

Min (α − b)V (α − b)
t

α

s.c. (α − b) R = G
t

t

(1)

αe = 1

(2)

G représente l’excès de rendement anticipé du portefeuille par rapport au benchmark.

3

La solution de ce problème a été obtenue par Roll (1992). Nous en rappelons la forme
:

α = b + D(q1 − q0 )
avec : D =

(3)

G
,
R1 − R0

q0 et q1 sont les vecteurs des poids de deux portefeuilles spéciaux de la
frontière efficiente : le portefeuille de variance minimale (appelé ici
portefeuille 0) et le portefeuille 1 qui se situe à l’intersection de la droite
passant par l’origine et par le portfeuille 0 et de la frontière efficiente dessinée
dans le plan (espérance, variance). Ces deux portefeuilles sont tels que :
Portefeuille5
0

Moyenne
R0 = B C
R1 = A B

Variance
σ 20 = 1 C
1
σ 12 = A 2
B
6
2
−1
−1
−1
t
t
t
avec A= RV R , B = RV e , C = eV e , d=AC-B .

Proportions
q0 = V −1 e C
q1 = V −1 R B

Par un calcul direct, on obtient pour la variance de la tracking-error et la variance
absolue des portefeuilles solutions de P(1) :
T 2 = D2 (σ 12 − σ 20 )
(4)

σ 2 = σ 2B + T + 2 D( RB R0 − 1)

(5)

2.2. Propriétés des portefeuilles solutions de P(1)
Tout d’abord, on remarque que ces portefeuilles ne sont généralement pas efficients.
Ceci n’a rien d’étonnant puisque la notion de risque retenue dans P(1) est le risque relatif par
rapport au benchmark et non le risque absolu.
Néanmoins, si le benchmark est lui-même efficient, la frontière relative se confond
avec la frontière efficiente7.
Par ailleurs, ces portefeuilles exhibent deux caractéristiques peu désirables dans le cas
où le taux de rentabilité espéré du benchmark est supérieur à celui du portefeuille de variance
minimale :
• Ils ne dominent pas le benchmark. Deux cas sont à distinguer :

5

Ces deux portefeuilles de la frontière efficiente figurent sur les graphiques.
Nous n’adoptons pas les notations standards de la théorie des choix de portefeuille mais celles de Roll (1992).
7
En effet, on sait que toute combinaison convexe de portefeuilles de la frontière efficiente donne un portefeuille
de cette même frontière. Dans le cas où le benchmark est efficient, la relation (3) décrit bien une combinaison
convexe de trois portefeuilles efficients puisque la somme des coeffiecients égale un (1+D-D).
6

4

• RB > R0
Si le benchmark possède un rendement anticipé supérieur à celui du
portefeuille de variance minimale et que G>0, le risque absolu est supérieur à celui du
benchmark comme l’illustre le graphique ci-dessous. Dans le cas où il existe un actif
sans risque, cette propriété est vérifiée dès que le benchmark possède une rentabilité
espérée supérieure à celle de l’actif sans risque.
Clairement dans ce cas qui est sans doute le plus fréquent, le portefeuille
obtenu ne domine pas (au sens moyenne-variance) le benchmark. Il n’en demeure pas
moins vrai que les portefeuilles obtenus ne sont pas dominés par le benchmark, ils sont
non comparables (propriété de préordre partiel).
La situation est représentée sur le graphique suivant8 :
figure 1 :
12,50%
12,00%
11,50%

Moyenne

11,00%
portefeuille 1
10,50%
Frontière efficiente

10,00%

Frontière relative

9,50%
9,00%
8,50%
16,50%

Benchmark : MSFR=0,5 MSGE=0
MSIT=0,5

portefeuille 0 (de variance
minimale)

17,50%

18,50%

19,50%

20,50%

21,50%

22,50%

23,50%

Ecart type absolu

• RB < R0
Inversement, si le benchmark possède une rentabilité espérée inférieure au
portefeuille de variance minimale, le portefeuille obtenu par optimisation relative aura
un risque absolu inférieur au benchmark pour des niveaux faibles de tracking.
En effet, lorsque D, ou de façon équivalente G, est petit (on ne s’éloigne pas
trop du benchmark), un développement limité au premier ordre du risque absolu au
voisinage du benchmark donne :

σ 2 = σ 2B + 2 D( RB R0 − 1)

(6)

Le risque absolu du portefeuille est donc inférieur à celui du benchmark. Dans
ce cas, un gérant de portefeuille utilisant l’optimisation relative obtiendra
effectivement un portefeuille dominant le benchmark.
8

Nous avons utilisé des données Morgan Stanley, MSCI, sur les indices actions dividendes réinvestis des
marchés français (MSFR), allemand (MSGE) et italien (MSIT). La matrice V et le vecteur R sont simplement
estimés sur l’historique.

5

L’allure de la frontière relative dans ce deuxième cas est donc la suivante : un
premier segment de courbe qui donne des portefeuilles moins risqués que le
benchmark à tracking faible, puis des portefeuilles de nouveau plus risqués lorsque la
tracking augmente.
11,50%
11,00%
portefeuille 1

Moyenne

10,50%

10,00%

9,50%
9,00%

Frontière efficiente
portefeuille 0 (de variance
minimale)

Frontière relative
Benchmark : MSFR=0,7
MSGE=0,3 MSIT=0

8,50%

8,00%
16,50%

17,00%

17,50%

18,00%

18,50%

19,00%

19,50%

20,00%

Ecart type absolu

• Ils ont un bêta par rapport au benchmark supérieur à un.
La deuxième propriété embarrassante des portefeuilles solutions de
l’optimisation relative est l’obtention de portefeuilles de bêta supérieurs à 1.
On obtient le bêta du portefeuille par rapport au benchmark par :
σ2 
β = 1 + D 20  ( RB R0 − 1)
σ B 

(7)

Ainsi un gérant de portefeuille qui utiliserait cette méthode d’optimisation dans
la situation où le benchmark a un rendement espéré supérieur au rendement du
portefeuille de variance minimale, se verrait surexposé en risque systématique, sans
nécessairement désirer faire du benchmark-timing.
En outre, les portefeuilles qui dominent le benchmark au sens moyennevariance et qui sont donc sur la frontière absolue présentent tous des bêta inférieurs à
l’unité.
Ceci constitue une des propriétés les plus embarrassantes de l’optimisation
relative.

6

2.3. Mesures de performance9
La gestion moderne de portefeuille est évaluée au moyen de certaines mesures de
performance qui cherchent à juger un portefeuille d’actifs sur la base d’un compromis
rendement/risque.
Rappelons que le ratio de Sharpe est une des mesures de performance traditionnelles.
Il se définit par :
R −r
RS = P
où RP et σ P désignent respectivement la rentabilité réalisée et le

σP

risque du portefeuille géré sur une période de référence, r est le taux sans risque sur la même
période de référence.
Remarquons préalablement que les portefeuilles de la frontière efficiente en présence
d’un actif sans risque ont tous le même ratio de Sharpe10. En effet :

(Cr
RS = ( R − r ).
P

2

− 2 Br + A)

12

RP − r

= (Cr 2 − 2 Br + A)

12

= cste, si RP ≥ r

Il apparaît clairement que les portefeuilles solutions de P(1) ne peuvent être évalués au
moyen du ratio de Sharpe puisque la notion de risque pertinente n’est plus le risque absolu
mesuré par l’écart type mais le risque relatif au benchmark mesuré par l’écart type de la
tracking-error. Le ratio d’information (ex-ante) devrait constituer une mesure de performance
plus adéquate dans cette situation.
• Résultat 1 :
Tous les portefeuilles solutions de P(1), excepté le benchmark lui-même, ont un Ratio
d’information identique.
preuve :

RP − RB
.
T
Par ailleurs, en utilisant l’expression de T dans (4), on obtient :

Le ratio d’information est défini par : RI =

RI =

R1 − R0

= cste
σ 12 − σ 20
Le ratio d’information est le même pour tous les portefeuilles solutions de P(1)
puisqu’il ne dépend que des caractéristiques des portefeuilles 0 et 1 de la frontière efficiente
et donc, que de la distribution jointe des actifs composant l’univers de gestion. ¦
Non seulement, le ratio d’information est identique pour tous les portefeuilles d’une
frontière relative associée à un benchmark donné, mais il est identique pour tous les
9

Pour une présentation des différentes mesures de performance, on se reportera à l’article de Gallais-Hamono,
G. et Grandin, P (1999).
10
Il s’agira ici d’un ratio de Sharpe ex-ante puisque calculé à partir des anticipations sur les deux premiers
moments de la distribution des taux de rentabilités des actifs financiers considérés.

7

portefeuilles des différentes frontières relatives associées à un quelconque benchmark. Il est
donc totalement indépendant du benchmark.
Le ratio d’information apparaît donc comme le critère de mesure de performance
adapté à une gestion benchmarkée sous contrainte de tracking-error.

3. Minimisation de la variance de la tracking-error sous contrainte
de taux de rentabilité espéré et de bêta
Roll (1992) propose un programme d’optimisation alternatif dans lequel il rajoute une
contrainte sur le bêta du portefeuille. Il est alors possible d’obtenir un ensemble de
portefeuilles de tracking-error minimale pour un bêta donné quelconque. L’intérêt de ce
programme réside dans la possibilité d’obtenir des portefeuilles de bêta inférieur à un. Le bêta
est calculé par rapport au benchmark et non au portefeuille de marché.

3.1. Résolution du programme d’optimisation
Programme d’optimisation, P(2) :

Min (α − b)V (α − b)
t

α

s.c. (α − b) R = G
t

(8)

αe = 1
αVb

σ 2B

(9)

t
t

(10)

La solution de ce programme est :

α * = b + νb + V −1 (γR + δe)
Les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes (8), (9) et (10) (ν, γ et δ) sont
donnés par :

γ =

δ=

(

)

G 1 − Cσ 2B − σ 2B (β − 1)( B − CRB )

( A − BRB )(1 − Cσ 2B ) − ( B − CRB )( RB − Bσ 2B )
σ 2B (β − 1)( A − BRB ) − G( RB − Bσ 2B )

( A − BRB )(1 − Cσ 2B ) − ( B − CRB )( RB − Bσ 2B )

ν = −γB − δC

8

Roll (1992) montre qu’en réarrangeant les termes, la solution de P(2) s’exprime sous
la forme d’une combinaison convexe du portefeuille 0, du portefeuille 1 et du benchmark :

α * −b = γ q + γ q + γ b
1 1

avec

1

γ
γ

G(σ − σ

0 0
2
0

B

2
B

2
B

1

=

2
B*

2
B

0

B

0

2
B

0

1

B

0

B

) + σ ( β − 1)( R − R )
,
( R − R )(σ − σ )
G( R / B − σ ) + σ ( β − 1)( R − R )
=
,
( R − R )(σ − σ )

γ =

2
B

B

2
B

1

2
B*

G(σ 20 − RB / B ) + σ 2B ( β − 1)( R1 − R0 )

( R1 − R0 )(σ 2B − σ 2B* )

et

γ +γ +γ
1

0

B

= 0.

σ 2B* est le portefeuille de la frontière efficiente tel que G=0, donc de même taux de rentabilité
espéré que le benchmark.

3.2. Propriétés des solutions du programme P(2)
Nous avons illustré la situation pour trois valeurs différentes du bêta dans le graphique
ci-dessous. Nous nommerons dans ce qui suit les courbes ainsi obtenues des frontières bêta.

11,500%

11,000%

10,500%

moyenne

10,000%

9,500%

Frontière efficiente

9,000%

Benchmark : MSFR=0,5 MSGE=0
MSIT=0,5
Frontière relative
beta=1,03
beta=0,95

8,500%

beta=1
8,000%
16,50%

17,50%

18,50%

19,50%

20,50%

21,50%

22,50%

23,50%

écart type

On constate qu’il est alors possible d’obtenir pour une valeur donnée de bêta (par
exemple : β < 1 ), des portefeuilles qui dominent au sens moyenne-variance les portefeuilles

9

de la frontière relative : pour un niveau donné du taux de rendement anticipé, un portefeuille
de la frontière bêta avec β < 1 a une plus faible volatilité que le portefeuille correspondant de
la frontière relative. Néanmoins, pour un niveau donné du taux de rendement anticipé, ces
portefeuilles exhiberont nécessairement une variance de la tracking-error supérieure à celle
des portefeuilles de la frontière relative.
Surtout, ce programme permet d’obtenir des portefeuilles ne contenant pas
systématiquement un risque de benchmark-timing.
Remarquons néanmoins que pour des β ≠ 1 , la frontière des portefeuilles ne passe pas
par le benchmark. Cette propriété est naturelle mais constitue certainement un frein à
l’utilisation pratique de ce critère de choix.

3.3. Mesure de performance
Du point de vue du ratio d’information, les propriétés des portefeuilles des frontières
bêta, dépendent de la valeur de bêta retenue.
• Résultat 2 :
• Tous les portefeuilles solutions de P(2) avec β = 1 , excepté le benchmark luimême, ont un Ratio d’information identique en valeur absolue.
preuve :
G 1 − Cσ 2B − σ 2B (β − 1)( B − CRB )
γ (G ) =
( A − BRB ) 1 − Cσ 2B − ( B − CRB ) RB − Bσ 2B

(

)

)

est homogène de degré 1 en G

( A − BRB )(1 − Cσ 2B ) − ( B − CRB )( RB − Bσ 2B )

est homogène de degré 1 en G

(

)

(

car β = 1 .

δ (G ) =

σ 2B (β − 1)( A − BRB ) − G( RB − Bσ 2B )

car β = 1

ν ( G) = −γ ( G). B − δ ( G). C est donc homogène de degré 1 en G.
En reprenant l’expression de la variance de la tracking-error, prise au point optimal
α * = b + ν b + V −1 (γR + δ e ) , on vérifie facilement que celle-ci est homogène de degré 1 en
G2.
On a donc T = ± coefficient × G .
Le ratio d’information en valeur absolue est donc bien constant :
R − RB
G
RI = P
=
.
T
± coefficient × G
Il est positif si le portefeuille est caractérisé par un excès de rentabilité positif
(portefeuille dominant), et négatif dans le cas contraire (portefeuille dominé). ¦

10

Exemple :
volatilité
19,93%
19,55%
19,22%
18,93%
18,69%
18,50%
18,35%
18,26%
18,21%
18,22%
18,28%
18,39%
18,55%
18,76%
19,02%
19,33%
19,67%

R
8,500%
8,620%
8,740%
8,860%
8,980%
9,100%
9,220%
9,340%
9,460%
9,580%
9,700%
9,820%
9,940%
10,060%
10,180%
10,300%
10,420%

T
8,09%
7,118%
6,15%
5,18%
4,21%
3,24%
2,26%
1,29%
0,32%
0,65%
1,62%
2,59%
3,56%
4,53%
5,50%
6,47%
7,44%

Somme
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%

MSFR
105,7%
99,04%
92,4%
85,7%
79,0%
72,3%
65,6%
58,9%
52,2%
45,5%
38,9%
32,2%
25,5%
18,8%
12,1%
5,4%
-1,3%

POIDS
MSGE
-26,9%
-23,65%
-20,4%
-17,2%
-14,0%
-10,7%
-7,5%
-4,3%
-1,1%
2,1%
5,4%
8,6%
11,8%
15,0%
18,3%
21,5%
24,7%

MSIT
21,1%
24,61%
28,1%
31,5%
35,0%
38,5%
41,9%
45,4%
48,8%
52,3%
55,8%
59,2%
62,7%
66,2%
69,6%
73,1%
76,5%

bêta
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000

RI
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
-12,363%
12,363%
12,363%
12,363%
12,363%
12,363%
12,363%
12,363%
12,363%

Tous les portefeuilles solutions de P(2) avec β ≠ 1 , différent par le Ratio d’information. Ce
dernier augmente indéfiniment lorsque l’on se déplace vers la droite de la courbe bêta.
Exemples :

β >1 :
volatilité
21,84%
21,40%
20,99%
20,62%
20,29%
20,01%
19,76%
19,56%
19,41%
19,31%
19,25%
19,24%
19,28%
19,37%
19,51%
19,70%
19,93%

R
8,500%
8,620%
8,740%
8,860%
8,980%
9,100%
9,220%
9,340%
9,460%
9,580%
9,700%
9,820%
9,940%
10,060%
10,180%
10,300%
10,420%

T
10,60%
9,654%
8,72%
7,78%
6,86%
5,96%
5,08%
4,24%
3,47%
2,83%
2,41%
2,35%
2,67%
3,26%
4,00%
4,82%
5,69%

Somme
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%

MSFR
123,3%
116,57%
109,9%
103,2%
96,5%
89,8%
83,1%
76,4%
69,8%
63,1%
56,4%
49,7%
43,0%
36,3%
29,6%
23,0%
16,3%

POIDS
MSGE
-47,9%
-44,68%
-41,5%
-38,2%
-35,0%
-31,8%
-28,6%
-25,3%
-22,1%
-18,9%
-15,7%
-12,4%
-9,2%
-6,0%
-2,8%
0,5%
3,7%

MSIT
24,7%
28,11%
31,6%
35,0%
38,5%
42,0%
45,4%
48,9%
52,4%
55,8%
59,3%
62,7%
66,2%
69,7%
73,1%
76,6%
80,1%

bêta
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050
1,050

RI
-9,435%
-9,115%
-8,720%
-8,222%
-7,576%
-6,711%
-5,511%
-3,773%
-1,152%
2,830%
8,291%
13,607%
16,482%
17,194%
17,015%
16,601%
16,174%

β <1 :

11

volatilité
18,38%
18,10%
17,86%
17,68%
17,54%
17,46%
17,43%
17,46%
17,54%
17,67%
17,86%
18,09%
18,37%
18,70%
19,08%
19,49%
19,95%

R
8,500%
8,620%
8,740%
8,860%
8,980%
9,100%
9,220%
9,340%
9,460%
9,580%
9,700%
9,820%
9,940%
10,060%
10,180%
10,300%
10,420%

T
6,28%
5,395%
4,54%
3,74%
3,04%
2,53%
2,33%
2,52%
3,02%
3,72%
4,52%
5,37%
6,26%
7,17%
8,09%
9,03%
9,97%

Somme
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%

MSFR
88,2%
81,51%
74,8%
68,1%
61,4%
54,8%
48,1%
41,4%
34,7%
28,0%
21,3%
14,6%
7,9%
1,3%
-5,4%
-12,1%
-18,8%

POIDS
MSGE
-5,8%
-2,61%
0,6%
3,8%
7,1%
10,3%
13,5%
16,7%
20,0%
23,2%
26,4%
29,6%
32,9%
36,1%
39,3%
42,5%
45,8%

MSIT
17,6%
21,10%
24,6%
28,0%
31,5%
35,0%
38,4%
41,9%
45,3%
48,8%
52,3%
55,7%
59,2%
62,7%
66,1%
69,6%
73,0%

bêta
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950
0,950

RI
-15,913%
-16,313%
-16,746%
-17,120%
-17,108%
-15,829%
-12,030%
-6,358%
-1,324%
2,152%
4,430%
5,959%
7,030%
7,811%
8,402%
8,862%
9,229%

Cette caractéristique des portefeuilles d’une même frontière bêta est peu désirable. En
effet, si l’on se fixe un niveau de risque systématique et que l’on choisit son portefeuille en
fonction de son Ratio d’information ex-ante, on devrait retenir le portefeuille de variance
infinie.

4. Maximisation du critère « moyenne-variance » sous contrainte de
variance de la tracking-error
Il nous a semblé naturel de considérer alternativement un gérant qui maximiserait le
critère moyenne-variance sous contrainte de tracking-error.
Cette démarche consiste à réintroduire dans le programme d’optimisation l’aversion
pour le risque absolu du portefeuille au côté du risque relatif (la variance de la tracking-error).
4.1. Résolution du programme d’optimisation
Programme d’optimisation, P(3) :

φ

Max t αR − .t αVα
α
2
t
s.c. (α − b)V (α − b) = T 2
t

αe = 1

(1)'
(2)'

φ se définit comme le taux marginal de substitution entre l’espérance de rendement du
portefeuille et son risque. Nous le qualifierons un peu abusivement par la suite, d’aversion
pour la variance et d’aversion pour le risque.
Remarquons que G est implicite dans le choix de T 2 .
Le Lagrangien de ce problème s’écrit :

12

(

) (

φ
t


L(α , λ , µ ) =  t αR − .t αVα  + λ T 2 − (α − b)V (α − b) + µ 1− t αe


2
Les conditions du premier ordre s’écrivent :
∂ L (α , λ , µ )
= 0 ⇔ R − φ V α − λ V (α − b ) − µ e = 0
∂α

)
(3)'

∂ L (α , λ , µ )
= 0 ⇔ (1)'
∂λ
∂ L (α , λ , µ )
= 0 ⇔ ( 2 )'
∂µ

De (3)’, on obtient :
 −φb 
1
α ** = b + 
V −1 ( R − µe)
+
φ + λ φ + λ
En substituant la valeur de α **dans (2)’, il vient :
b−φ
µ=
C
(1)’ devient alors :
2
 2 2
B−φ
 B −φ 
2
2
X  φ σ B − 2φRB + A +
(2φ − 2 B) + 
 =T

C
C


1
avec : X =
φ+λ

(

)

Après quelques réarrangements, on obtient pour X 2 :
X =

T2

2

φ 2 (σ 2B − σ 20 ) + 2φ ( R0 − RB ) +

D
C

On peut montrer simplement que le dénominateur du membre de droite de l’équation
ci-dessus est toujours positif (voir annexe). Par conséquent :
X =±

T
P(φ )

(

)

, avec P(φ ) = φ 2 σ 2B − σ 20 + 2φ ( R0 − RB ) +

D
,
C

13

X =−

On peut montrer que si

T
P(φ )

, la fonction objectif du programme

d’optimisation n’est pas maximale (voir annexe). En fait, on obtient des portefeuilles dominés
T
par ceux obtenus lorsque X = +
.
P(φ )
On obtient finalement :

1

−1
α * * = b + φ + λ − φ b + V ( R − µ e )


D
φ 2 σ 2B − σ 20 + 2 φ ( R 0 − R B ) +

C
λ = −φ +
T

B−φ

µ = C



(

(

)

)

4.2. Propriétés des solutions de P(3)
Lorsque l’on a donné une valeur à l’aversion à la variance, φ , on obtient pour toutes
valeurs de la variance de la tracking-error un portefeuille solution de P(3).
L’ensemble de ces portefeuilles forme une courbe dont on a donné ci-dessous une
représentation graphique pour certaines valeurs de φ .
11,500%

11,000%

Moyenne

10,500%

10,000%

Frontière efficiente
9,500%

phi = 2,5
phi = 0
phi =+ infini

9,000%

Frontière relative
Benchmark : MSFR=0,5 MSGE=0 MSIT=0,5
8,500%
16,50%

17,50%

18,50%

19,50%

20,50%

21,50%

22,50%

23,50%

24,50%

Ecart type

Lorsque l’aversion à la variance augmente, les courbes se déplacent vers la gauche du
graphique (vers des portefeuilles de moindre risque absolu). Lorsque l’aversion à la variance
14

est forte, on sera amené à choisir des portefeuilles de risque absolu inférieur à celui du
benchmark. Dans le cas où l’aversion à la variance serait infinie, on serait amené à choisir le
portefeuille de variance minimale de la frontière efficiente si l’on s’accorde une volatilité de
la tracking-error suffisante.
Par ailleurs, pour certaines valeurs de φ (par exemple, φ = 2.5 ), on peut obtenir des
portefeuilles qui dominent le benchmark.
Remarquons également que ces courbes étant construites pour un φ donné en vaisant
varier T, elles passent toujours par le benchmark ( T = 0 ).

• Résultat 3 :
L’ensemble de solutions de P(3) est identique à l’ensemble de solutions de P(1) si et
seulement si φ = 0 .
Preuve : Si φ = 0 , P(3) est le dual de P(1) ¦
Donc la frontière relative s’obtient naturellement comme le cas spécial où un individu
maximisant le critère moyenne-variance sous contrainte de tracking-error serait neutre au
risque absolu.
A l’opposé, lorsqu’un individu est neutre au risque relatif (i.e., cet individu résoudrait
P(3) sans contrainte sur la tracking-error (1)’), on retrouve la frontière efficiente.
Dans le cas général, la résolution du programme P(3) permet de tenir compte de
l’importance relative que l’individu accorde au risque absolu et au risque relatif.
Demeure néanmoins, dans le cadre d’une application pratique, le problème du choix
de l’aversion à la variance. On pourrait suggérer de retenir le niveau d’aversion pour lequel la
courbe solution de P(3) est tangente à la frontière efficiente en un portefeuille de même risque
absolu que le benchmark. En quelque sorte, on choisit un niveau d’aversion à la variance
implicite au benchmark. On obtient alors une courbe sur laquelle il est possible de choisir un
portefeuille selon la volatilité de la tracking-error désirée. Cette situation est illustrée sur le
graphique suivant :

15

11,500%

11,000%

Moyenne

10,500%

10,000%

Frontière efficiente
9,500%

Phi = 2,414501834
Frontière relative

9,000%

Benchmark : MSFR=0,5 MSGE=0 MSIT=0,5
8,500%
16,50%

17,50%

18,50%

19,50%

20,50%

21,50%

22,50%

23,50%

Ecart type

Le niveau d’aversion à la variance pour lequel la courbe solution de P(3) est tangente
à la frontière efficiente est : φ = 2,4145 . La courbe correspondante est tracée sur le graphique
ci-dessus.
Si le gérant choisit un niveau de volatilité de la tracking-error de 1,05 %, il obtient le
portefeuille solution de P(3) dont les caractéristiques sont :
sig

E

T

somme

MSFR

MSGE

MSIT

RI

bêta

18,08%

9,570%

1,0500%

100,0%

42,98%

5,60%

51,42%

6,7141%

0,991

Ce portefeuille domine le benchmark au sens moyenne-variance et possède un bêta
inférieur à 1.
A titre de comparaison, nous donnons le portefeuille de la frontière relative de même
volatilité de la tracking-error.
sig

E

18,52%

9,680%

T

somme

MSFR

MSGE

1,05%

100,00%

45,45%

-1,74%

MSIT
56,29%

RI
17,20%

bêta
1,016

Ce portefeuille possède par contre un ratio d’information supérieur à celui du
portefeuille précédent.

4.3. Mesure de performance
• Résultat 4 :
Les portefeuilles solutions de P(3) (à l’exception du benchmark) pour un φ donné
quelconque ont un ratio d’information identique.
preuve :
Pour un niveau d’aversion à la variance fixé, φ ’, les portefeuilles solutions sont
donnés par :
16

T
−φ ' b + V −1 ( R − µe)
P(φ ' )
L’excès de rendement du portefeuille au delà du rendement du benchmark est donc
homogène en T.
La volatilité de la tracking-error est par définition égale à T le long de ces courbes.
Le ratio d’information est donc constant pour un niveau d’aversion à la variance fixé,
φ’¦

α −b =

(

)

Exemple :
sig
18,21%
18,140%
18,08%
18,04%
18,01%
18,00%
18,00%
18,01%
18,04%
18,08%
18,14%
18,21%
18,29%
18,39%
18,50%
18,62%
18,75%

E
9,500%
9,534%
9,570%
9,604%
9,638%
9,671%
9,705%
9,738%
9,772%
9,805%
9,839%
9,873%
9,906%
9,940%
9,973%
10,007%
10,040%

T
0,000%
0,5000%
1,0500%
1,5500%
2,0500%
2,5500%
3,0500%
3,5500%
4,0500%
4,5500%
5,0500%
5,5500%
6,0500%
6,5500%
7,0500%
7,5500%
8,0500%

somme
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%

MSFR
50,00%
46,659%
42,98%
39,64%
36,30%
32,96%
29,62%
26,28%
22,94%
19,60%
16,26%
12,92%
9,57%
6,23%
2,89%
-0,45%
-3,79%

MSGE
0,00%
2,67%
5,60%
8,27%
10,93%
13,60%
16,26%
18,93%
21,60%
24,26%
26,93%
29,60%
32,26%
34,93%
37,60%
40,26%
42,93%

MSIT
50,00%
50,67%
51,42%
52,09%
52,77%
53,44%
54,12%
54,79%
55,46%
56,14%
56,81%
57,49%
58,16%
58,84%
59,51%
60,19%
60,86%

RI
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%
6,7141%

bêta
1,000
0,996
0,991
0,987
0,983
0,979
0,974
0,970
0,966
0,962
0,958
0,953
0,949
0,945
0,941
0,937
0,932

5. Relation entre P(3) et P(2)
A ce stade, il nous a semblé opportun de comparer les solutions du programme P(2)
paramétrées par (G, β ) à celles du programme P(3) paramétrées par (φ , T ) .
On peut conjecturer que pour chaque portefeuille solution de P(2), correspondant à un
couple (G, β ) , il existe un unique couple (φ , T ) tel que le portefeuille solution de P(3)
correspondant lui soit identique. Nous verrons que cette conjecture n’est vraie que pour les
seuls portefeuilles efficients.
Nous allons procéder en deux étapes. Tout d’abord, nous établirons les conditions sous
lesquelles les ensembles de solutions des deux programmes coïncideraient. Ces conditions
n’étant pas remplies, nous distinguerons ces deux ensembles de solutions.
Dans cette première étape, il est nécessaire de réintroduire comme solutions de P(3),
les portefeuilles dominés puisqu’ils sont pris en compte dans les solutions de P(2). Rappelons
T
qu’ils s’obtiennent lorsque X = −
.
P(φ )
• Programme P(3) de paramètres (φ , T )
La composition des portefeuilles solutions de P(3) est donnée par :

17

α ** = b +

1 
B − φ 
−1 
µe  avec φ + λ = ±
 −φb + V  R −


φ+λ
C

P(φ )
T

• Programme P(2) de paramètres (G, β )
La composition des portefeuilles solutions de P(2) est donnée par :
α * = b + νb + V −1 (γR + δe)
On peut tout d’abord s’intéresser aux conditions sous lesquelles les solutions des programmes
d’optimisation P(2) et P(3) seraient identiques.
Pour ce faire, il est possible d’effectuer l’identification suivante des solutions:

−φ
ν =
φ+λ


1
γ =
φ+λ


(φ − B) / C
δ =
φ+λ

Posons Y = φ + λ .
On a une bijection de R * × R dans lui-même :

δ

φ = B + C
γ
(γ , δ ) → (Y , φ ) avec 
Y = 1 γ

Donc, les deux programmes seraient équivalents si le paramètre φ pouvait prendre des
valeurs négatives.
Du fait de la condition de positivité sur le paramètre d’aversion à la variance et sur la
volatilité de la tracking-error, l’équivalence entre les ensembles de solutions des deux
programmes ne tient pas.
Dans cette seconde partie, nous allons donc caractériser ces deux ensembles par leur
«courbe enveloppe».
• Programme P(2) :
Une solution de ce programme s’écrit comme une combinaison convexe des
deux portefeuilles de la frontière efficiente (0 et 1) et du benchmark. Il est toujours
possible de choisir β et G tels que le poids du benchmark, b, dans le portefeuille
solution soit nul. Ce portefeuille solution appartient donc à la frontière efficiente qui
constitue donc la «courbe enveloppe» de l’ensemble de solution de P(2). Il ne peut en
être autrement puisqu’il n’est pas possible de former des portefeuilles, pour une
18

espérance du taux de rentabilité donnée, dont la variance du taux de rentabilité soit
inférieure à celle du portefeuille correspondant de la frontière efficiente.
Par conséquent, en faisant varier continûment β et G, l’ensemble des
portefeuilles solutions de P(2) est représenté, dans le plan (espérance, écart type), par
le domaine délimité par la frontière efficiente.
• Programme P(3) :
La solution de P(3) s’écrit :

φT 
T
α ** = b 1 −
+
P( φ ) 
P( φ )


 −1
 B − φ  −1 
V e
V R − 


C 

Réécrivons α comme une combinaison linéaire du benchmark, b et des
portefeuilles 1 et 0 :

T( B − φ)
φT 
TB
. q1 −
. q0
α ** = b 1 −
+

P(φ ) 
P(φ )
P(φ )

En choisissant l’aversion au risque absolu, φ , et la tracking-error, T, de sorte
φT
que
= 1 , on obtient :
P (φ )
**

α ** =

B

φ

. q1 −

(B − φ) .q
φ

0

=

B

φ

. ( q1 − q0 ) + q0

Dans ce cas, α s’exprime donc bien comme une combinaison convexe des
deux portefeuilles 0 et 1 de la frontière efficiente et appartient donc lui-même à cette
frontière. Néanmoins, toute la frontière efficiente ne peut être atteinte du fait de la
contrainte de positivité qui pèse sur φ .
**

**
Le taux de rentabilité espéré du portefeuille α s’écrit :
B
R = t α * *. R = . ( R1 − R0 ) + R0

φ

Sachant que φ > 0 , on a R > R0 =

B
C

B
.
C
Ce cas est le seul intéressant puisqu’il correspond aux portefeuilles efficients de la
frontière des portefeuilles de variance minimale.
Donc, la "courbe enveloppe" de P(3) est bien la frontière efficiente pour R > R0 =

B
= R0 , le portefeuille α ** n’appartient pas à la frontière efficiente.
C
Le graphique ci-dessous illustre la situation.
Pour R <

19

12,000%

11,000%

10,000%

"Courbe enveloppe" P(2)
Frontière efficiente
MVP
Benchmark
"Courbe enveloppe" P(3)

9,000%

8,000%

7,000%

6,000%
16,0000%

17,0000%

18,0000%

19,0000%

20,0000%

21,0000%

22,0000%

23,0000%

6. Conclusion
Dès que la performance réalisée par un gérant de portefeuille est comparée à une
référence (benchmark), ce dernier se doit de prendre en compte cette contrainte dans son
processus d’allocation d’actifs.
La seule prise en compte du risque relatif mesurée par la variance de la tracking-error
génère des portefeuilles aux propriétés surprenantes. En effet, les portefeuilles obtenus par
minimisation de la variance de la tracking-error ne dominent pas le benchmark (dès que
RB > R0 ), en ce sens que s’ils ont une rentabilité espérée supérieure, ils ont un risque absolu
supérieur. Ils ont de plus un bêta supérieur à l’unité.
Roll (92) remédie à ces inconvénients en ajoutant une contrainte sur le bêta du
portefeuille. Pour chaque niveau de bêta, la courbe solution s’obtient en faisant varier l’excès
de taux de rentabilité espéré, G. Les portefeuilles le long de ces courbes exhibent la propriété
indésirable de différer par leur ratio d’information.
Nous proposons un programme d’optimisation dans lequel un gérant maximiserait le
critère moyenne-variance sous contrainte de tracking-error. Cela revient à réintroduire
l’aversion pour le risque absolu au côté du risque relatif (la variance de la tracking-error).
Pour chaque niveau d’aversion à la variance, la courbe solution s’obtient en faisant varier la
tracking-error. Les portefeuilles le long de ces courbes ont des Ratios d’information
identiques.
B
Lorsque R > R0 = , nous avons montré que pour chaque portefeuille solution de
C
P(2), correspondant à un couple (G, β ) , il existe un unique couple (φ , T ) tel que le
portefeuille solution de P(3) correspondant lui soit identique. Autrement dit, les ensembles de
solutions des deux programmes d’optimisation coïncident.

20

BIBLIOGRAPHIE

(1)

Gallais-Hamono, G. et Grandin, P., « Les mesures de performances », Banque &
Marchés, n° 42, sept-oct 1999.
(2)
Grinold, RC, « Are Benchmark Portfolios Efficient ? », Journal of Portfolio
Management, Vol 19, p 34-40.
(3)
Markowitz, H.M., « Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investment »,
New York : John Wiley & Sons, 1959.
(4)
Roll, R., « A Mean/Variance Analysis of Tracking Error », The Journal of Portfolio
Management, Summer 1992.
(5)
Sharpe, W., « The Sharpe Ratio », The Journal of Portfolio Management, 1994.

21

ANNEXE


(

)

Etude du signe de P(φ ) = φ 2 σ 2B − σ 20 + 2φ ( R0 − RB ) +

D
:
C

Le discriminant réduit de cette équation du second degré en φ s’écrit :

(

∆' = ( R0 − RB ) − σ 2B − σ 20
2

) CD

(

∆' < 0 ⇔ ( R0 − RB ) < σ 2B − σ 20
2

) CD

σ 2B ( R0 − RB )


≥1
σ 20
DC
2

(1)

En se rappelant que l’équation de la frontière de portefeuilles peut s’écrire :

σ 2B ( R0 − RB )

=1
σ 20
DC
2

Donc, le benchmark étant par définition un portefeuille réalisable, l’inégalité (1) est toujours vraie.

(

)

En conclusion, P(φ ) est du signe de σ 2B − σ 20 ≥ 0 .


Rejet de la solution X = −

T
P(φ )

la valeur de la fonction objectif de P(3) est :
t

φ
φt
φt
t
αR − .t αVα = (α − b) R − . (α − b)V (α − b) − . (2 t αVb − bVb)+ t bR
2
2
2
φ
φt
t
= (α − b) R − .t T 2 − . ( 2(α − b)Vb + bVb) + t bR
2
2
t
φ
φ
t
= (α − b) R − .t T 2 − . (2(α − b)Vb + σ 2B ) + RB
2
2

Intéressons-nous à la partie qui dépend de α :

t

(α − b) R −φ t (α − b)Vb

 1 
B − φ 
−1 
e
 −φb + V  R −

C  
φ + λ

On sait que α ** − b = 
On obtient :
t

 1 
B − φ 
−1 
e [ R − φVb]
 −φb + V  R −

C  
φ + λ

(α − b) R −φ t (α − b)Vb = 

 1 
=
 P(φ )
φ + λ
Par conséquent, on atteint le maximum de la fonction objectif pour φ + λ > 0 . On retient donc la
solution : λ = −φ +

P(φ )
T

.

22


1-tracking.pdf - page 1/22
 
1-tracking.pdf - page 2/22
1-tracking.pdf - page 3/22
1-tracking.pdf - page 4/22
1-tracking.pdf - page 5/22
1-tracking.pdf - page 6/22
 




Télécharger le fichier (PDF)


1-tracking.pdf (PDF, 276 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


1 tracking
dynamic strategic asset allocation 2017
poncet portfolio perf longinbook
theoriemoderneduportefeuille
portefeuil 2013 optimal selon markowitz janv inclu 1
livrene versionfinale

Sur le même sujet..