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ENSAE
DEA MASE
Le pack finance

Cours de 3eme année voie B

Cours ENSAE :

Evaluation d'actifs nanciers et arbitrage
Sélection de portefeuille et valorisation par
équilibre
Cours DEA MASE :

Evaluation d'actifs nanciers
Méthodes de Monte-Carlo en Finance
Méthodes numériques en contrôle et Finance

Notes de cours
2002-2003

La

nance, oui, la nance ...
la star academy

Enrichis-moi ! Enrichis-moi !
Loin de ces satanés cours de stat et de macro
Enrichis-moi ! Enrichis-moi !
Remplis ma tête de produits dérivés, de calcul sto
Enrichis-moi ...
Jean-Jacques

Goldman

Table des matières
I Evaluation d'actifs nanciers et arbitrage

1

1 Quelques modèles élémentaires

2

1.1
1.2
1.3

Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le théorème fondamental de l'arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbitrage et marché incomplêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
5
9

2 Le modèle général dynamique discrêt

12

3 Le modèle binomial

17

4 Le modèle de Harrisson et Kreps

20

4.1
4.2
4.3
4.4

Préférence des agents . . .
Le système de prix . . . .
Prix consistants . . . . . .
Généralisation dynamique

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5 Le modèle de Black et Scholes
5.1
5.2
5.3
5.4

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Modèle continu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une application : la formule de Black et Scholes
Approche par EDP . . . . . . . . . . . . . . . .
Retour sur le modèle binomial . . . . . . . . . .

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20
21
23
23

26

. 26
. 28
. 30
. 31

6 Options américaines

35

II Sélection de portefeuille et valorisation par équilibre

40

Introduction

41

1 Un modèle statique

43

6.1
6.2

1.1
1.2

Une première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le problême de l'arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modèle arbitrage et prix contingent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

35
36

43
44

iv

TABLE DES MATIÈRES

1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

Evaluation des actifs et optimalité . . . . .
Equilibre et marchés complets . . . . . . .
L'agent représentatif . . . . . . . . . . . .
Modèles à . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L'Arbitrage Pricing Theory (APT) . . . .
Autres mesures de risques . . . . . . . . .
1.9.1 La semi-variance . . . . . . . . . .
1.9.2 Autres mesures unidimensionnelles
1.9.3 Que choisir ? . . . . . . . . . . . . .
1.10 Applications à la couverture . . . . . . . .
1.10.1 La surcouverture . . . . . . . . . .
1.10.2 La couverture quadratique moyenne
1.10.3 La dominance stochastique . . . . .

2 Modèles dynamiques discrêts
2.1
2.2
2.3
2.4

Modèle de base et arbitrage . . . .
Optimalité individuelle et équilibre
Modèles à . . . . . . . . . . . . .
Une application . . . . . . . . . . .

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3 Modèles en temps continu
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

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Stratégies en temps continu . . . . . . . . . .
Cas avec un A.R et un A.S.R . . . . . . . . .
Cas avec N actifs risqués . . . . . . . . . . . .
L'ICAPM, le CAPM intertemporel . . . . . .
ICAPM, espaces d'opportunités stochastiques
Marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction aux coùts de transaction . . . . .

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58
58
59
59
59

62

. 62
. 63
. 65
. 65

69

. 69
. 70
. 72
. 73
. 74
. 76
. 76

III Evaluation d'actifs nanciers

78

1 Arbitrage Theory

79

2 Stochastic model of a nancial market

83

IV Méthodes de Monte-Carlo en Finance

93

1 Principe de la méthode de Monte-Carlo

94

1.1
1.2
1.3

Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi du logarithme itéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
95
95

v

TABLE DES MATIÈRES

1.4
1.5

1.6
1.7

Intervalle de con ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
simulation de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Inversion de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Simulation de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Simulation d'une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Méthode de rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de quasi MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de réduction de variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Méthode de l'échantillonage préférentiel (importance sampling)
1.7.2 Méthode des variables de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Méthode des variables antithétiques . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Méthode de strati cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Discrétisation d'équations di érentielles stochastiques
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Approximation en temps discrêt de la solution d'une E.D.S
Convergence du schéma d'Euler . . . . . . . . . . . . . . .
Options à barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Options asiatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Options Look-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Echantillonnage préférentiel pour les E.D.S . . . . . . . . .

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3 Apport du calcul de Malliavin dans les méthodes de Monte-Carlo
3.1

3.2

3.3
3.4

Quelques exemples de problêmes en nance . . . . . . .
3.1.1 Calcul des sensibilités (grecques) . . . . . . . .
3.1.2 Le problême des regressions répétées . . . . . .
Introduction au calcul de Malliavin . . . . . . . . . . .
3.2.1 Présentation intuitive . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Règles du calcul de Malliavin . . . . . . . . . .
3.2.3 Intégrale de Skorohod et Intégration par partie .
Application au calcul des grecques . . . . . . . . . . . .
Application au calcul d'espérance conditionnelle . . . .

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100
100
101
103
104

107

107
111
115
120
122
123

127

127
127
129
130
130
132
134
136
137

V Méthodes numériques en contrôle et nance

140

1 Algorithmes dans les modèles discrêts

141

1.1
1.2
1.3
1.4

Martingales et chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations de Kolmogorov discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le problême du temps d'arrêt optimal et application à l'évaluation d'options
américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques propriétés des matrices stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141
144
149
151

vi

TABLE DES MATIÈRES

2 Contrôle optimal de chaînes de Markov
2.1
2.2
2.3

Chaînes de Markov contrôlées . . . . . . .
Retour sur l'arrêt optimal . . . . . . . . .
Contrôle en horizon in ni . . . . . . . . .
2.3.1 Existence . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Unicité de la solution . . . . . . . .
2.3.3 Interprétation de la solution comme

3 Modèles en temps continus
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

3.6

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
la fonction valeur

Introduction aux processus de di usion . . . .
Calcul d'Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Générateur d'une di usion . . . . . . . . . . .
Equation de Kolmogorov et applications . . .
Conditions aux bornes . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Cas où Xt est arr êtée sur @ O . . . . .
3.5.2 Cas des di usions ré échies . . . . . .
Temps d'arrêt optimal et options américaines

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4 Résolution numérique des équations de Kolmogorov
4.1

4.2

Equations de Kolmogorov elliptiques . . . . . . . . .
4.1.1 Méthodes des di érences nies . . . . . . . . .
4.1.2 Conditions de convergence de l'approximation
4.1.3 Construction d'une approximation vraie . . .
4.1.4 Interprétation probabiliste de l'approximation
Equations de Kolmogorov paraboliques . . . . . . . .
4.2.1 -schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Conditions de stabilité . . . . . . . . . . . . .

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176

176
177
180
181
182
182
183
183

Bibliographie

185

Index

186

Première partie
Evaluation d'actifs nanciers et arbitrage
Elyès jouini

1

Chapitre 1
Quelques modèles élémentaires
1.1 Première approche
Le modèle le plus simple que l'on puisse considérer comporte 2 dates (modélisation dynamique),
2 états du monde (incertain) et deux actifs (arbitrage).
obligation

action

1+r

1

S (> 0)

p
q

S:u u > d
S:d p + q = 1

On veut créer un nouvel actif, quel est son prix ? On considère une option, une option est un
droit d'achat d'un actif donné (sous-jacent) à un prix donné et à une date donnée1 . On considère une option d'achat sur S à la date d'exercice t = 1 au prix d'exercice K . Combien vaut C
le prix de l'option ?
Si K > S:i on n'exerce pas le droit d'achat, en particulier si
monde, on a alors :
Si K S:u
Si K < S:u
Si K S:d
Si K < S:d

C=0
C = S:u K
C=0
C = S:d K

K

S:u quelque soit l'état du

o

) C = (S:u K )+

o

) C = (S:d K )+

Peut-on déterminer le prix d'aujourd'hui d'un actif décrit par sa valeur de demain en fonction
des états du monde ?
On peut reformuler la question ainsi : Existe-t-il un portefeuille constitué d'actions et d'obligation se comportant en t = 1 comme le nouvel actif ? Traduction : Existe-t-il ( ; ) 2 2 tel que

R

1 Le premier marché d'échange d'options fut créé à Chicago en 1973. Cette année là Black et Scholes publient
leur premier article sur l'évaluation d'actifs nanciers dans le Journal of Political Economy de Chicago.

2

CHAPITRE 1.

3

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

si l'état u se réalise on ait S:u + (1+ r ) = Cu et si l'état d se réalise on ait S:d + (1+ r ) = Cd ?
On a :



=

1
Cu Cd
et =
C
S:u S:d
1+r u

S:u

Cu Cd
S:u S:d

Le portefeuille ( ; ) se comporte exactement comme l'option ! On a dupliqué (ou répliqué)
l'action, ( ; ) est le portefeuille de duplication (ou de réplication) de l'option.
En t = 0 ( ; ) vaut S + . On a :


1
1+r d
u (1 + r)
Cu
+ Cd
S + =
1+r
u d
u d
Le principe est que



( ; ) est le même actif que C , donc leur prix sont identiques.

Absence d'opportunité d'arbitrage : Il n'est pas possible de réaliser des gains sans contre-

parties en termes de pertes réelles ou potentielles i.e si un des deux actifs était moins cher
que l'autre, alors que leurs pay-o sont identiques, on vendrait l'un pour acheter l'autre. On
gagnerait de l'argent de manière certaine.

Dans la vie réelle, cette situation ne se produit évidemment pas, les produits dérivés at-

teignent un tel niveau de complexité qu'il est di cile d'évaluer exactement les produits dérivés
par rapport aux produits classiques. Néanmoins, on peut maintenir cette hypothèse d'un point
de vue théorique, en e et si il existe une opportunité d'arbitrage sur le marché qui est identi ée,
il y aura une pression sur les prix (tout le monde achète ce bien) ce qui le rendra moins attractif.
On suppose donc qu'il y a absence d'opportunité d'arbitrage car : S'il y en avait une, quelqu'un
serait passé avant vous et en aurait pro té . C'est la dure loi du marché.
Montrons que : = 1+u r d d 2]0; 1[ C'est à dire, a-t-on d < 1 + r < u ? Oui, sinon on n'acheterait
que des actions ou que des obligations. En e et si on a 1 + r d on emprunte S au taux r et
on achète une action. On est sur de gagner de l'argent une fois que le prêt est remboursé. C'est
donc une opportunité d'arbitrage. De même si u 1 + r on vend des actions pour préter de
l'argent2 , les intérêts du prêt sont plus importants que les gains éventuels de l'action.
On en déduit que le prix d'un actif est égal à l'espérance actualisée de ses gains futurs. Ici on
a:

1
1+r d
[ S:u + (1 )S:d] ) =
1+r
u d
Ainsi, u; d; r; sont liés entre eux. n'est évidemment pas la vraie probabilité de réalisation de
u (i.e p).

S= =

Les rendements sont :
2 Si on ne possède pas d'action on gagne quand même de l'argent en vendant à découvert.

CHAPITRE 1.

u

S
On note :

R C =

4

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

pCu +(1 p)Cd
C

R C

p

C

d 1 p
S = pS:u+(1S p)S:d
et R

Cu C

p

Cd C 1 p

pCu + (1 p)Cd
(1 + r)
C
(1 + r) + S (p:u + (1 p)d)
=
(1 + r)
C

S
S
=
RS + 1
(1 + r) (1 + r)
C
C

(1 + r) =

R C


S
RS (1 + r)
C

S @C
=
RS (1 + r)
C @S

(1 + r) =

La notation précédente peut sembler pédante, elle sera pertinente plus loin dans le cours. On
a:

Cu Cd
S (u d)
On note Æ = CS = CCu(u Cdd) . Dans le cas où Cu = (S:u K )+ et Cd = (Sd K )+ on a :
((S:u K )+ (Sd K )+ ) (1 + r)
((S:u K )+ (Sd K )+ ) (1 + r)
Æ=
=
(u d) ( (S:u K )+ + (1 )(S:d K )+ ) ((S:u K )+ (Sd K )+ ) (1 + r) + '(K )
On a Æ 1 car '(K ) = (S:u K )+ ( d) + (Sd K )+ (u) 0 En e et, on a :
=

Sd
'(K ) = K (d u) 0 '(K ) = d(Su

Su
K) 0

'(K ) = 0 0

K

On appelle volatilité l'écart-type des rendements.

E (RC


R C )2



Cu 2
Cd 2
= p
RC + (1 p)
RC
C
C




Cu
Cu
Cd 2
C
= p
p + (1 p)
+ (1 p) d
C
C
C
C

2


Cu Cd
Cu Cd 2
2
2
= p(1 p)
+ (1 p)p
C C
C C

vC2 =



C
C
p u + (1 p) d
C
C

2

CHAPITRE 1.

Ainsi on a :

vC =
De même :



C
p(1 p) u
C

p

vS =

C

Cd
C



p

p(1 p)(u d)

On a alors :
Si

5

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

VC = Æ:vS

est un produit nancier quelconque on a nécessairement :

R C

(1 + r) R S (1 + r)
=
vC
vS

Le prix du risque en terme de rendement est indépendant du risque considéré.

1.2 Le théorème fondamental de l'arbitrage
On reste dans le cadre d'une modélisation à deux périodes.
Le cadre est celui de m états du monde et de n + 1 actifs. On note aij la valeur en t = 1 de
l'actif i si l'état du monde j se réalise. Le nombre d'état du monde est ni, l'hypothèse est
réaliste : en pratique, les prix ne sont pas cotés en continus et ils sont réactualisés au mieux
toutes les secondes. On appelle TIC la variation minimale d'un actif sur le marché (ordre de
grandeur : centime d'euro). Modéliser les prix et les dates en continu est néanmoins possible.

R

P

On a un portefeuille x 2 n+1 où xi représente la quantité d'actif
qi xi
Pi. Il coùte
c'est le prix en t = 0). Il rapporte en t = 1 si l'état j se manifeste
qi aij = (V x)j
0

On note

Soit

M=

x2R

n+1 ;



q0
Vx

Mx =





B
=B
B
@

q0 x
Vx

q0 : : : qn
a01 : : : an1
..
.

..
.

1
C
C
C
A

a0m : : : anm
0
gain a t = 0


B

= q0 x (

..

.
=B
B
t = 1 si j
@ gain a

1
C
C
C
A

..
.
00
Si la quantité gain a t = 1 si j est négative, c'est une perte dans l'état du monde considéré (ici
j ). On fait l'hypothèse suivante jusqu'à la n du cours : V est injective. En pratique, si V n'est
pas injective on peut supprimer les actifs redondants pour obtenir une matrice injective. Le but
de ce cours étant d'évaluer le prix des actifs, si un actif a des paiments qui sont combinaison
linéaire des autres, son prix sera combinaison linéaire du prix des autres actifs.

CHAPITRE 1.

6

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

Opportunité d'arbitrage : dé nition no 1

Il y a opportunité d'arbitrage (OA) si on peut constituer un portefeuille dont le coùt de
constitution est nul et qui permet de gagner de l'argent dans tous les états du monde et
surement dans au moins un des états du monde. Ce qui donne :

9x 2 R n+1 ; (V x)j
L'hypothèse

0

et 9i (V x)i > 0 avec q x = 0

q 0 x = 0 peut-être modifée.

Opportunité d'arbitrage : dé nition no 2

9x 2 R n+1 ; (V x)j

0

et 9i (V x)i > 0 avec q x 0

On a encore :

Opportunité d'arbitrage : dé nition no 3

9x 2 R n+1 ; (V x)j et q0 x 0 avec soit (V x) 6= 0 soit q0 x 6= 0
On a clairement AOA3 ) AOA2 ) AOA1 , on a la réciproque grâce à la
Proposition :

S'il existe un actif (noté actif 0) tel que q0 > 0 et a0j > 0 8j on a l'équivalence entre les trois
propositions précédentes. En particulier, un actif sans risque convient à la dé nition : q0 = 1 et

aoj = 1 + r 8j

Remarque : Dans la littérature on trouve beaucoup de résultats de la forme : s'il existe un
actif sans risque en fait cette condition peut souvent être remplacée par un actif dont tous les
paiments sont strictement positifs. L'intérêt théorique de l'actif sans risque est qu'il ne fasse
jamais défaut. (aoi > 0 8i)

démonstration

ˆAOA1 ) AOA2 montrons par contre-apposition EOA
) EOA1
0 2

Soit x véri ant OA2 , on a V x 0 avec V x 6= 0 et q x 0
0
Si q x = 0 x véri e OA1
Pn
0 0
0
0
0
0
qi xi
Si q x < 0 soit x tel que xi = xi pour i 6= 0, on pose x0 = i=1
ainsi on a q x
q0


Vx

0
j

=
=
=

X
X
X

0

aij xi
aij xi

0

a0j x0 + a0j x0
0

aij + aoj (x0

x0 )

=0

CHAPITRE 1.

7

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

P
0
Il su t de montrer que a0j (x0 x0 ) 0 car
aij xi 0 (par AOA
2)
0
Par hypothèse on a a0j > 0, ilsu t donc d'étudier le signe de x0 x0

0

x0

x0 =

Pn
i=0 qi xi

1
q0

=
Donc

x0

est une

q0

n
X
i=1

x0

!

qi xi + q0 x0 > 0

OA1.

0
On remarquera que toutes les hypothèses n'ont pas été utilisées (a0j > 0 su t). q x < 0 signi e
qu'acheter un tel actif, c'est recevoir de l'argent. On a cherché un moyen pour que l'excédent
d'argent qu'on possède en t = 0 ne puisse pas être transformé en dette à la date t = 1. La
méthode c'est de mettre cet argent à la banque.

ˆAOA2 ) AOA3

0
Soit x une OA3 , x véri e q x 0 et
Soit V x 6= 0 et x est une OA2 .
0
Soit q x 6= 0

On pose
Dès que

x0

0
tel que xi

(V x) 0. Il y a deux possibilités :
0

= xi et i 6= 0 et

a0j 6= 0 on a V x

0

P

qi x0i = 0 V x0 = V x + (x00

0

0 et V x 6= 0

x0 ) B
@

aoj
..
.

aom

1
C
A

Le théorème fondamental de l'arbitrage
Si il y a AOA, il existe des prix d'états3 pj

> 0 tels que

8i qi =

m
X
j =0

pj aij

1
Si
P de plus l'actif 0 est un actif sans risque avec q0 = 1 et a0j = 1 + r > 0 Alors pj = 1+r j avec
j = 1 j > 0. s'interprête alors comme une probabilité à poids strictement positifs et on
a qi = 1+1 r E (~
ai ) où a~i est une variable aléatoire prenant les valeurs ai1 ; : : : ; aim . pj s'interprête
comme le prix de 1 en t = 1 dans l'état j . C'est-à-dire la somme d'argent qu'il faut payer en
t = 0 pour s'assurer d'obtenir 1 en t = 1 si l'état du monde j se réalise. On voit donc que si on
veut 1 dans tous les états du monde en t=1 (ou encore : recevoir 1 en t = 1 quelque soit l'état
du monde) il faut payer 1+1 r
Note : Ce théorème a été démontré dans un cadre dynamique (plus de deux périodes), avec des
variables continues, dans L1 , L2 , etc...
3 ou prix d'Arrow-Debreu

CHAPITRE 1.

démonstration
T

(M )

Im

8

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

Rm+ +10 = f0g d'après AOA3. En e et si y 2

(M )

Im

R

y Mx deux possi-

R

0 et

T m+1
+ alors

bilités soit : q x 0 soit : V x 0
0
C'est une OA3 sauf si q x = 0 et V x = 0 dans ce cas y = 0 T
m+1 , y = Mx avec q 0 x
Le résultat est également vrai sous AOA2 . Soit y 2 Im(M )
+
V x 0 si V x 6= 0 alors OA2 donc V x = 0 or V est injective donc x = 0 et y = 0
On considère désormais :

n

= v 2 R+

m+1 ;

v 0 et

X

o

vj = 1

est un simplexe de R m+1 , Im(M ) = ; d'après ce qui précède.
T

Pour continuer, on a besoin du :

Lemme :

R

Si C et K sont deux convexes de n+1 , l'unPfermé et l'autre
P compact, alors il existe (a0 ; : : : an ) 2
n+1 et b 2 tels que 8(x; y ) 2 C K
aj xj b < aj yj
Attention, une erreur s'est glissée dans l'énoncé du lemme précédent. Sauras-tu la trouver ? 4

R

R

(M ) est un s.e.v de R m+1 donc fermé et convexe.
est fermé ( 1 (f1g) image r eciproque d0 une fonction continue) borné par dé nition et claiIm

rement convexe. On peut donc appliquer le lemme précédent.
P

P

P

Soient a0 : : : am et b tels que
aj yj b < aj vj . Im(M ) est un s.e.v et y 7! aj yj est
une forme linéaire sur
P Im(M ) majorée par b < +1
P. Donc la forme linéaire est nulle. Sinon il
existerait y tel que
aj yj 6= 0 puis 2 tel que aj ( :yj ) > b. On peut ainsi prendre b = 0.

R

En particulier pour v
= (0 : : : 0 ; 1; 0 : : : 0) on a aj > 0 8j De plus :
0
q
x = 0 La forme linéaire est nulle pout tout x, elle est donc nulle,
n
+1
8x 2
(a0 : : : am )

R

d'où :

(a0 : : : am )



On pose pj

q0
V



Vx

= 0 On a ainsi : ai q0 +

= aa0j > 0. On a qi =

P

P

aj aij = 0 8i = 0 : : : n

pj aij

Si l'actif 0 est sans risqueP
on peut appliquer la relation précédente :
pose j = pj (1 + r ), donc
j = 1 et j > 0
Ainsi

1=

P

p

j (1 + r),

on

8i qi = 1+1 r P j aij

p n'est pas unique car on a q = p0 V , il y a unicité si V

est surjective donc V bijective. De plus
toute combinaison convexe de deux solutions est solution, l'ensemble des solutions est donc un
Il fallait préciser que

C

T K = ;, hypothèse fondamentale !

4

CHAPITRE 1.

9

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

cône convexe.
L'arbitrage impose des relations entre les prix des actifs, mais selon la dimension du problême,
plusieurs familles de prix peuvent convenir.

Dé nition :
Si

V

est surjective, on dit que le marché est complet.

Ainsi quelquesoient les paiments futurs que l'on veut, il existe un portefeuille permettant de les
atteindre. On a alors l'unicié des prix d'états et si un actif est sans rique on a aussi l'unicité de
la probabilité risque-neutre.
Soit z = (z1 ; : : : zm ) un nouvel actif, existe-t-il un portefeuille x tel que V x = z ? Si les marchés
sont complets la réponse est par dé nition positive. Sinon, ça dépend de x.
Supposons le marché complet, soit
le prix de z .

x tel que V x = z

pz =
=

X

par

qi xi

X

AOA on doit avoir qx = pz pz

étant



1 X
j aij xi
1+r

1 X X
j xi aij
1+r
1 X
=
j zj ( )
1+r
=

pz

La propriété est donc vraie pour tout actif qui se trouve dans l'image de

V.

1.3 Arbitrage et marché incomplêt
Si les marchés sont incomplets, on pose :

S (z ) = inf fq:x V x z g
S (z ) = sup fq:x V x z g

Puisque les marchés sont incomplets, on ne peut pas tout dupliquer. Si on vend z , on s'engage
à livrer zj . Question : A quel prix peut-on se couvrir au maximum pour zj ? Avec S (z ) on est
sur de se couvrir, on peut livrer zj . Un vendeur acceptera donc tous les prix de la forme q:x
avec V:x z . De plus on clairement :

S ( z ) = Prix demand e par l0acheteur pour se couvrir:
= inf fq:x V x z g
= sup fq:x V x z g
= S (z )

CHAPITRE 1.

10

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

Il s'agit des meileurs prix pour être parfaitement couvert des points de vue de l'acheteur et du
vendeur.

Proposition :

Sous les hypothèses d'existence d'un actif sans risque de rendement r , de V injective, et d'AOA.
On a :

S (z ) S (z )
2. Il existe x et x tems que S (z ) = x etS (z ) = x
3. S (z ) = S (z ) , 9x V:x = z , alors S (z ) = S (z ) est le seul prix d'arbitrage pour z .


4. Si S (z ) < S (z ) tout prix pz 62 S (z ); S (z ) conduit à un arbitrage.


5. Si S (z ) < S (z ) tout prix pz 2 S (z ); S (z ) est compatible avec l'AOA.
Si le vendeur propose pz S (z ), cela va conduire à un arbitrage. L'acheteur va ne va pas
acheter z mais autre chose. N.B : fq:x V x z g n'est pas vide car il existe un actif sans risque.
1.

démonstration :

1., 2. & 3. évident.
4. Si

pz

S (z ) < S (z ), on propose z à pz S (z ). On vend z et on achète x. En t = 0 on gagne
S (z ) 0, en t = 1 on reçoit V (x) z 0. Or S (z ) 6= S (z ) donc x 6= z et deux inégalités,

l'une au moins est stricte. C'est une opportunité d'arbitrage.


xz pz + qx 0
2]S (z); S (z)[, si il y avait OA on aurait x2 ; x 2 R
xz z + V x 0
On a x2 =
6 0 sinon
il
y
aurait
possibilité
d'
OA
avec
les
actifs
de
départs.
8


x z
< V
x2
Si x2 > 0 on a :
On pose y = xx2
x p
: q
z
x2
V y z ) qy S (z ) donc pz S (z ) ce qui est impossible.
n+1

5. Si pz

Idem si

et xz z + V x 6= 0

x2 < 0

Proposition :

Sous les mêmes hypothèses que précédement. On a :

Si S (z ) 6= S (z )
Si S (z ) = S (z )



Dans tous les cas :

Si S (z ) = S (z )









1 0
1
E (z ) avec
V = q et j > 0 8j
S (z ); S (z ) =
1+r
1+r




1
1 0
S (z ); S (z ) =
E (z ) avec
V = q et j > 0 8j
1+r
1+r




1
1 0
S (z ); S (z ) =
E (z ) avec
V = q et j 0 8j
1+r
1+r


CHAPITRE 1.

11

QUELQUES MODÈLES ÉLÉMENTAIRES

démonstration :



Si on prend pz dans S (z ); S (z ) , il y AOAPdans le marché constitué
de z et des actifs
P
1
1
Il existe donc tel que j > 0 et qj = 1+r
aij j , pz = 1+r zj j donc :

pz 2



1
1 0
E (z ) avec
V = q et j 0 8j
1+r
1+r

Réciproquement :
0
Si pz = 1+1 r E (z ) avec V = (1 + r )q avec j > 0
Supposons que l'on ait un arbitrage avec z et les actifs


xz pz + qx 0
xz z + V x 0 et xz z + V x 6= 0

0 : : : m.



0 : : : m. On a alors :


) xxzz ppz +zqx+ >qx0 0

Ce qui est impossible. Donc :




pz 2 S (z ); S (z ) si z est non duplicable:


pz 2 S (z ); S (z ) si z est duplicable:
On démontre la suite par passage à l'adhérence.

Proposition :
On a :

S (z1 + z2 ) S (z1 ) + S (z2 )
S ( z ) = :S (z ) 0
Cela coùte moins cher de se protéger pour un ensemble d'actifs qu'individuellement pour chaque
actif. La présence de corrélation entre les actifs fait que la varaince totale peut être peut être
plus faible que la somme des variances des actifs.

Chapitre 2
Le modèle général dynamique discrêt
On a

m + 1 actifs, notés i = 0 : : : m et T + 1 dates, notées t = 0 : : : T .
1
0

2

31

3

32
33

t l'ensemble des n÷uds de la date t.

t
ft+1 t+1 !
!
t
t+1
Cette fonction donne le prédécesseur de t+1 . f est surjective. Si l'état du monde i est le même
que j (i 6= j ) on les distingue car leurs passés ne sont pas identiques. Ainsi si les prix et les
On note

paiments sont identiques, les portefeuilles ne sont pas necessairement constitués de la même
manière.1
Un autre point de vue serait de considérer l'arbre à partir des états terminaux.
= f!1 ; : : : !N g,
on considère de plus (Pt )t=1:::T un ensemble de partition de
tel que P0 = f
g, PT =
ff!1g; : : : f!N gg et véri ant la propriété : 8 At 2 Pt+1 9At 2 Pt ; At+1 At
Pour démontrer l'équivalence entre ces deux propriétés, il su t de construire un arbre dans
lequel les n÷uds At de la date t sont les éléments de Pt véri ant At+1 At .
On a par exemple :

P0 = f!1; !2; !3; !4g ; P1 = ff!1; !2g; f!3; !4gg ; P2 = ff!1g; f!2g; f!3g; f!4gg

1 Cela peut être pertinent dans le cas d'option

path dependent dont le paiment dépend des valeurs prises par

le sous jacent dans le passé.

12

CHAPITRE 2.

LE MODÈLE GÉNÉRAL DYNAMIQUE DISCRÊT

13

Ainsi au fur et à mesure que l'on avavnce dans le temps, on a de plus en plus d'information sur
la trajectoire suivie. f!i g étant une branche complète et non un n÷ud.
Un arbre est également dé nissable par une famille de tribu
suivantes :
1.
2.
3.

(Ft )t=0:::T ayant les propriétés

F0 = f;;
g
FT = P (
)
Ft Ft+1 , on a une ltration.

Il su t de considérer les tribus engendrées par Pt pour construire Ft et réciproquement, chaque
Ft est engendrée par une unique partition Pt.
Soit l'arbre avec les n÷uds t à la date t et soient les actifs i = 0 : : : m tels que le prix de i en
t 2 t est égal à q i ( t ). L'actif 0 est un actif localement sans risque, c-à-d pour tout 2 t ,
t < T il existe r > 1 tel que q 0 ( ) = (1+ r )q 0 ( ) 8 2 f 1 ( ). est un successeur immédiat
de . En clair, si on connaît q 0 ( ) on connait q 0 ( ) en t + 1 et c'est tout.

Dé nition :
Une stratégie est un ensemble = f t g avec t : t
de portefeuille à chaque n÷ud.
Une stratégie auto nancée est une stratégie telle que

! R m+1

une stratégie est un choix

8 2 t+1 8 2 f ( ) ( ):q( ) = ( ):q( )
On arrive avec un portefeuille constitué en , il vaut ( ):q ( ) car les prix des actifs ont variés.
Avec cela on achète ( ) au prix ( ):q ( ). On a donc [ ( ) ( )]:q ( ) = 0. [ ( ) ( )]
représente la variation de portefeuille. Les achats compensent exactement les ventes.

Arbitrage :

C'est une stratégie auto- nancée telle que (0):q (0) 0 avec :
( ):q ( ) 0 8 2 t (date terminale) et 9 2 T : ( ):q ( ) > 0

Théorème :

Il y a AOA ssi 8 t 2 t
un actif sans risque.

t<T

ssi il y a

AOA dans le marché dé ni par t et f 1 ( t ) contenant

q 0 ( t )
q i ( t )

(1 + r t )q 0 ( t )
q i ( 1 )

:::
q i ( k )

CHAPITRE 2.

14

LE MODÈLE GÉNÉRAL DYNAMIQUE DISCRÊT

démonstration :
Soit une

OA entre t 2 t et f 1 ( t ). On a :
( )q ( ) 0 et



( ):q ( ) 0 8 2 f 1 ( t )
( ):q ( ) > 0 pour un 2 f 1 ( t )

On peut supposer grâce à l'existence d'un actif sans risque que
stratégie dé nie sur l'arbre tout entier par :

( t ):q ( t ) = 0.

Soit

la

8r < t

= 0

8 t 2 t

avec 8 t 6= ( t ) = 0
et ( t ) = ( t )

8r > t

On note r = t + k (k > 0)
Si pour r 2 r fo
: : : of ( ) 6= t alors ( r ) = 0
| {z } r
k fois

Si fo
:
:
:
of
(

)
=
6

0 ( r ) = (q 0)(:q () ) = fo : : : of ( r )
t
| {z } r
k fois
i ( r ) = 0 pour i > 0
On ach ete de l0actif sans risque et on ne fait plus rien

La stratégie est auto nancée. De plus on a :

( ):q ( )
( T ):q ( T ) =
>0
q 0 ( )
Il y a donc un arbitrage.
RECIPROQUEMENT
Soit une OA sur tout l'arbre. On a :

( T ):q ( T ) > 0

(0):q (0) 0, ainsi que 8 T

2 T ( T ):q( T ) 0 et

1 2 T 1 on a : ( T 1 ):q ( T 1 ) 0 et si il existe T 1 tel que
( T 1 ):q ( T 1 ) > 0 alors on se ramène à l'intervalle [0; T 1].
Si pout tout T

2 T 1 tel que ( T 1 ):q( T 1) < 0. On a ( T 1):q( T 1 ) < 0 et
1
( T 1 ):q ( T ) 0. Ainsi pour tout T 2 f 1 ( T 1 ) il y a un arbitrage entre et ses succes-

Si il existe T
seurs.

Si pour tout T

1 2 T 1 tel que ( T 1 ):q ( T 1 ) = 0. On pose T 1 = f ( ). On a alors :
( T 1 ):q ( T 1 ) = 0
( T 1 ):q ( T 1 ) 0 8 T 2 f 1 ( T 1 )
( T 1 ):q ( T ) > 0 avec T 2 f 1 ( T 1 )

CHAPITRE 2.

LE MODÈLE GÉNÉRAL DYNAMIQUE DISCRÊT

Il y a donc un arbitrage

15



Supposons qu'il y ait AOA
t et f 1 ( t ) pour tout t . Il existe
S sur
S l'arbre, on a alors AOA entre

donc pour tout 2 0 : : : m+1 une probabilité ( ) 2f 1 ( ) telle que > 0 8 2 f 1 ( ).
On a alors :
X

q(i ) =

Ainsi :

q 0 ( )
1
= 0
1 + r q ( )

De même :

On pose q~i
Soit T

1
q i
1 + r 2f 1 ( ) ( )

i

= qq0 , on a q~i ( ) =

i
X
q ( )
q ( )
=

q 0 ( ) 2f 1 ( ) q 0 ( )

P

i
2f 1 ( ) q~ ( )

2 T , soient T 1 : : : 0 dé nies par T

k

= f (k) ( T ). On pose :

( T ) = 10 21 : : : TT 1
On a clairement :
X
T 2 T

( T ) =
=
=

X

X

( T 1 ) TT 1

T 1 2 T 1 T 2f 1 ( T 1 )
0
1
X
X
( T 1 ) @
TT 1 A
T 1 2 T 1
T 2f 1 ( T 1 )
X
( T 1 )
T 1 2 T 1

= :::
= 1

Ainsi (:) dé nie une probabilité positive sur
alors ( t+1 j t ) = 0
Si f ( t+1 ) = t on a :

( t+1 j t ) =
( t+1 j t ) =

P

T . On peut alors dé nir les . Si f ( t+1 ) 6= t

1
t+1 t+2
T
f T t 1 ( T )= t+1 0 : : : t t+1 : : : T1
P
t+1
T
1
t
f T t ( T )= t 0 : : : t 1 t : : : T1
P
T
10 : : : tt+1 f T t 1 ( T )= t+1 tt+2
+1 : : : T1
P
10 : : : tt 1 f T t ( T )= t tt+1 : : : TT1

CHAPITRE 2.

LE MODÈLE GÉNÉRAL DYNAMIQUE DISCRÊT

16

P
P
T
Or f T t ( T )= t tt+1 : : : TT = f T t 1 ( T )= t+1 tt+2
+1 : : : T1 = 1 d'après le calcul qui pré1
cède car on somme toutes les probabilités qui découlent d'un même n÷ud . D'où :

( t+1 j t ) =
De ce résultat, on a :

q~i ( ) =

X
2f ( )

10 : : : tt+1
= tt+1
10 : : : tt 1


q~i ( ) = E q~ti+1 j t+1



Ainsi :

8t8 t q~( t )

=
q~( t ) =
Si s > t q~t =
=

E [~q ( t+1 )j t ]
E [~qt+1 jt]
E [: : : E [E [~qs js 1] j s 2 ] : : : jt]
E [~qs jt]

Théorème :

Il y a AOA si et seulement si il existe une probabilité telle que q~ est une martingale.
De plus, le processus de richesse assoçiée à toute stratégie auto nancée est également une
martingale une fois actualisée.

démonstration :
Soit

~ t = t :q~t
une stratégie auto nancée. Wt = t :qt , W
h

~ t+1 jt
E W

i

=
=
=
=

E [ t+1 :q~t+1 jt]
E [ t :q~t+1 jt] (condition d0 auto nancement)
t :E [~qt+1 jt]
~t
t :q~t = W

~0 0
une stratégie auto nancée
avec T :q~T 0 et T q~T 6= 0 On a alors W
h
i
~ 0 = E W
~ 0 j0 > 0 Car W
~ 0 6= 0, de plus les probabilités sont toutes strictement
q0 0 = W0 = W

Soit

positives.

Chapitre 3
Le modèle binomial
On applique les résultats du chapitre précédent.

S

b

t=0

u2

u

u

1

1

d

d

b

t=1

d2
b
t=2

Il existe des probabilités de transitions telles que cet arbre ait une propriété de martingale.

1 0
S:u + (1 0 )S:d
1+r

1 1 2
S =
1 S:u + (1 11 )S:ud
1+r

1 1
S =
2 S:ud + (1 12 )S:d2
1+r

S =

etc : : : on a alors :

1 0
:u + (1 0 ):d
1+r

1 1
1 =
2 :u + (1 12 ):d
1+r

1 =

17

CHAPITRE 3.

18

LE MODÈLE BINOMIAL

etc : : : d0 o u :
1+r d
= 0 = 11 = 12 = : : : =
u d
0
Par AOA, on a 0 < < 1 donc d < 1 + r < u pour un strike de K le prix d'une option en
T = 2 est :
i
1 h 2
2 K + 2 (1 ) (S:u K )+ 1 2 : S:d2 K +
C=

S:u
(1 + r)2
en

T =n

n

1 X
C=
Cnk k (1 )n k S:uk :dn k K +
n
(1 + r) k=0
Avec la notation (x)+ = max(x; 0), pour s'en débarasser comme on a u > d on pose =
inf fj 2 N S:uj dn j K > 0g on a alors :
n
1 X
Cnk k (1 )n
C=
n
(1 + r) k=

On peut aisément déterminer

k

S:uk :dn

k





S:uj :dn j

K>0

)
)
)

u

j

= S:dn > K
d


u
K
j: ln
> ln
d
S:dn
&
'

K
ln S:d
n

=
u
ln d

Que se passe-t-il lorsque l'on cherche à rendre le modèle continu ?
situation où n ! +1. On a :

1 + r = e ) (1 + rn )n = e :T

T

est xé et on étudie la

) 1 + rn = e :Tn

On suppose que le rendement logarithmique moyen est connu
h

K

i

h

E ln SST0

i

= T , ainsi que

V ar ln SST0 = 2 T
Or ln SST0 = j: ln un + (n j ): ln dn avec E (j ) = np et V ar (j ) = np(1 p) Donc :










u
S
E ln T = T n p ln n + ln dn
S0
dn




ST
un 2
2
V ar ln
= T np(1 p) ln
S0
dn



CHAPITRE 3.

19

LE MODÈLE BINOMIAL

On a un systême de deux équations à trois inconnues

(p; un; dn), on peut poser p = 12 d'où :

"

r #

"

r #

T
T
un = exp +
n
n
T
dn = exp
n



T
n

Chapitre 4
Le modèle de Harrisson et Kreps
4.1 Préférence des agents
Soit (
; F ; P) un espace probabilisé. On considère un modèle à deux périodes. t = 0 et
t = T Il peut y en avoir d'autres, mais pour l'instant qu'aux dates initiales et nales. Soit
X = 2 (
; F ; P).
Un agent possède des préférences
sur sur R X où est une relation d'ordre totale. On

0 0
0 0
0 0
L

note

(r; x) (r ; x ) , (r; x) (r ; x ) & (r; x) (r ; x )

(r; :) représente la consommation en t = 0 et (:; x) représente la consommation en t = T .
On fait en n les hypothèses :
n 0

8(r; x)
8(r; x)

n 0

0

0

0

0

o

0

(r ; x ) =(r ; x ) (r; x)
o

0

(r ; x ) =(r ; x ) (r; x)

P

P

et

n 0

est convexe:

0

0

o

0

(r ; x ) =(r ; x ) (r; x)

sont ferm es

On note X + = fx = (X 0) & (x > 0) > 0g : dans un modèle discrêt, au moins un des états
du monde possède une probabilité positive.

8(r; x) 8r0 > 0 et 8x 2 X + on a :
0

0

(r + r ; x) > (r; x) et (r; x + x ) > (r; x)
Il y a stricte monotonie des préférences. Cela s'interprête en terme de fonction d'utilité.
0

(r; x) (r ; x

0

Alors
1.

,

Z




u (r; x(! )) dQ(! )

véri e les propriétés précédentes si :

u concave et strictement croissante.

20

Z

0




0



u r ; x (! )

Q(! )

d

CHAPITRE 4.

2.

Q P

21

et ddPQ est borné.

3. Il existe

A > 0 tel que u(r; x) Ax2 .

Proposition :
Comme

LE MODÈLE DE HARRISSON ET KREPS

X 2 L2 et comme

dQ
dP

est borné,

u est intégrable.

Note : On peut obtenir des résultats similaires en mmodi ant les hypothèses.

4.2 Le système de prix
Soit M un s.e.v de X , soit 2 L(M; R )
(m)

est le prix en t = 0 pour avoir m (en terme d'unité de consommation) à la date T .
Question : Soit x 2 X M comment étendre pour avoir le prix de x ? Par exmple, connaitre
le prix d'un actif qui n'appartienne pas au marché, ou encore qui ne soit pas réplicable par le
marché.

Dé nition :

(M; ) est viable si et seulement si il existe (r ; m ) et tels que r + (m ) 0 et


(r ; m ) (r; m) pour tout couple (r; m) tel que r + (m) 0.
Viabilité :

Un agent cherche un élément maximal, au sens de , dans son ensemble de budget de ce qu'il
pourra acheter dans l'ensemble de consommation pour t = 0, r , et celui pour t = T , (m) donc
dans l'ensemble f+ (m) 0g
(M; ) est donc viable si il existe au moins un agent capable de maximiser ses préférences sous
contrainte de budget.

Dé nition :

Equilibre : Si est un système de prix d'équilibre sur M alors (M; ) est viable.
Un systême de prix d'équilibre est un systême de prix sur lequel chaque agent peut maximiser
ses préférences sous contrainte de budget, en particulier un agent peut le faire, donc (M; ) est
viable.
Si

(M; ) est viable, soit 0 tel que (r; x) (r0 ; x0 ) , (r + r ; x + x ) (r0 + r ; x0 + m .

0
0
Le meilleur élément pour la relation est (0; 0). On a alors (0; 0) (r; m) pour tout (r; m) tel
que r + (m) 0. est donc un systême de prix d'équilibre dans l'économie peuplée d'agent
( 0 ; 0) avec 0 leur relation de préférence et 0 leur allocation initiale de ressource.


= f!1 ; !2 g X = R 2
M = Vect ((1; 2); (1; 1)) X = M

CHAPITRE 4.





22

LE MODÈLE DE HARRISSON ET KREPS





1
1
2 =1 1 =1

r+
(m
) 0 soit (r ; m ) maximal pour dans fr + (m) 0g
01 = 1 (r ; m ) + k(0; 1) 2 fr + (m) 0g et on a : (r + m + k) > (r + m ) Il n'y a
donc pas de maximum au sens de car on peut toujours rajouter de (0; 1).
Théorème :

(M; ) est viable si et seulement si il existe
> 0) telle que jM =

2 L(X ) avec (x) > 0 pour x 2 X + (i.e on note

Il existe une autre probabilité telle que (à un c÷ cient d'actualisation près)
actualisée sur M des paiements futurs.

soit l'espérance

démonstration :

0 0
existe, on considère telle que (r; x) (r ; x ) , (r + (x) r + (x))
satisfait les hypothèses de départ et si r + (m) 0, on a : r + (m) 0
(0; 0) (r; m), il su t de poser (r ; m ) = (0; 0)

Si

= 0 + (0) soit

RECIPROQUE
Soit (M; ) viable.

G = f(r; x)t:q (r; x) > 0g
H = f(r; m) r + (m) 0g
(0; 0) 2 H et est viable. Donc (0; 0) est le meilleur élément de H .
G et H sont convexes. G \ H = ; et G est ouvert. Il existe alors 2 L(R ; X ) tel que (r; x) 0
sur G avec 0 sur H et 6= 0.
0 0
0 0
Donc il existe (r ; x ) 2 H tel que (r ; x ) 6= 0. On a (1; 0) > (0; 0) donc par continuité on a :
0
0
(1 r ; x ) > (0; 0) pour su sament petit. Donc (1 r0 ; x0 ) 2 G.
(1; 0) (r0 ; x0 ) > 0. On peut donc supposer1 que (1; 0) = 1. On peut de plus écrire
(r; x) = f (x) + g (r) or (1; 0) = 1 donc g (1) = 1 donc g (x) = x. Ainsi (r; x) = r + (x) avec
2 L(X ).

Donc

Soit
Soit

x 2 X + , (0; x) > (0; 0) donc ( ; x) > (0; 0) pour petit, d'où ( ; x) = (x) 0
(x) > 0 et on a > 0, il reste à montrer jM =

Soit

m2M

tel que

Donc (m) =
Donc jM =

( (m); m) et ( (m); m) sont dans H . Donc :

(m) 8m 2 M

( (m); m) = (m)
(m) 0
( (m); m) = (m) + (m) 0



1 On renormalise en posant :

(x; y) = ((1x;y;0))

CHAPITRE 4.

23

LE MODÈLE DE HARRISSON ET KREPS

4.3 Prix consistants
Dé nition :

R

0
0
0
0
0 0
Soit (M; ) viable et m 62 M soit M = M m . Soit telle que (m )
0
0 0
est consistant avec (M; ) pour m si (M ; ) est viable.

= p et j0M = . p

Proposition :

Si (M; ) est viable,
alors pour tout x, il y a un prix consistant et l'ensemble des prix consistants
est, pour un x :
(x); > 0 et jM =

démonstration :

Montrons que tout prix consistant est de la forme (x).
Soit p un prix consistant.
(M 0 ; 0 ) viable avec 0 (m0 ) = p et j0M = . Donc il existe
0
0
jM = jM = car M M
0

jM = et (m ) = p donc p 2



(x) tel que

> 0; jM =



tel que

0

jM 0 = , ainsi



Proposition :

(M; ) est viable, le prix de x est d terminée par arbitrage (i.e unicité de prix consistant) si
(x) : > 0 et jM = est un singleton. Dans ce cas (x) est appelée valeur d'arbitrage
de x.
Si


Question : Quand a-t-on

(x) valeur d'arbitrage de x ?

M^ = fx 2 X le prix de x est d etermin ee par arbitrage:g alors si X est de dimension nie
^
M = M (c.f supra : le marché doit être complêt).
Soit
Si

X

est quelconque

M

M^ .

Corrollaire :

Si (M; ) est viable, le prix de x est déterminée par arbitrage (i.e unicité du prix consistant)
si
(x) : > 0 et jM = est un singlrton. Dans ce cas, l'unique valeur (x) est appelée
valeur d'arbitrage de x.

4.4 Généralisation dynamique
Soit [0; T ], (Ft )t2 une ltration avec FT = F et F0 = f;
g
On pose Z (t) = (Z0 (t); : : : ; ZK (t)) avec t 2 , Z0 (t) est le prix de l'actif 0, ZK (t) le prix de
l'actif K
Z (t) est Ft mesurable pour tout t ssi Z est (Ft ) adapté. Z (t; ! ) = 1 pour tout (t; ! ) et

CHAPITRE 4.

24

LE MODÈLE DE HARRISSON ET KREPS

E (Zk (t)) < +1 pour tout t.
Le marché est dé ni par

f(
; F; P); (Ft ); ; Z g

Stratégie simple :









(t; ! =) 2 R K +1
K (t; ! ) est la quantité de l'actif k détenue à la date t et dans l'état du monde ! .
(t) est Ft mesurable.
K (t)Zk (t) 2 X 8t; 8k
Il existe N et 0 = t0 < : : : < tN = T tels que tn 2 et (t; ! ) soit constant sur sur [tn 1 ; tn [.
On note W (t) = (t):Z (t) t 2 [0; T ] le processus de richesse associé à la stratégie.
Condition d'auto nancement : 8n; (tn 1 ):Z (tn ) = (tn ):Z (tn )

Free lunch : C'est une stratégie auto nancée qui a un coùt négatif et qui véri e à t = T

(T ):Z (T ) 2 X + (Rappel : X + = fx 2 L2 = P(x 0) = 1 et P(x > 0) > 0g) (arbitrage)

Duplication : x 2 X est duplicable si x = (T ):Z (T ) avec auto nancée alors (0):Z (0) est
le prix implicite de x.

S'il y a absence de free lunch, le prix est parfaitement dé ni et est le seul prix admissible pour x.
Soit M = fx 2 X x
une forme linéaire.

est duplicableg, (m) = (0):Z (0) avec m 2 M et (T ):Z (T ) = m. est

Le marché est viable s'il n'y a pas de free lunch et si
arbitrage de prix p si c'est le cas dans (M; )

(M; ) est viable. x 2 X est évalué par

Théorème : (de traduction)

Si le marché n'admet pas de free lunch alors il existe une correspondance biunivoque entre
pour lesquelles
les formes linéaires
> 0 telles que jM = et les probabilités
h
i
dP 2 < +1 Cette corres (Zk (u)jFt) = Zk (t) pour u t k 2 f0; : : : ; K g et telles que
dP

E

P

E

pondance est donée par (B ) = (1?B ) et (x) = (x)

E

P

P

démonstration :

Soit p véri ant les conditions du théorême. Soit = ddPP et (x) = E ( (x)
On a

2 L2 (
; F; P) donc

Soient

m2M

et

est continue.

> 0 car P P

donc

>0

tels que m = (T ):Z (T ) Soient t0 ; : : : ; tN la suite d'échange de . On a :
E (tn):Z (tn)jFtn 1 = E (tn 1) :Z (tn)jFtn 1
= (tn 1 ):E Z (tn )jFtn 1
= (tn 1 ):Z (tn 1 )

CHAPITRE 4.

P

(tn ):Z (tn ) est une martingale pour
( (T ):Z (T )jF0) = (0):Z (0) qui est le prix implicite de m. (m) = (m) = (m) et jM =

Ainsi

E

25

LE MODÈLE DE HARRISSON ET KREPS

RECIPROQUEMENT
Soit > 0 et jM =
Soit dé nie par (B ) = (1?B ). Si (B )
dire (B ) = 0. Si > 0 alors 1?B 2 X + et

P
P

P
P

P

E

= 0 alors 1?B = 0 dans X et (1?B ) = 0 c'est à
(1?B ) > 0 soit P (B ) > 0. Donc P P .

P

E

Comme
est continue, il existe (théorme
de Riesz) 2 L2 (
; F; ) tel que (x) = ( x)
d
P

D'où (B ) = ( 1? B ) et dP = On a 1?
2 M (actif sans risque) et (1?
) = 1 d'où
(1?
) = 1 ) (
) = 1, ainsi est une probabilité.

P

Pour

P

E

P

k = 0 il est évident que Zk (t) est une P

martingale.

k > 0, soient
8 t et u dans avec t u et B 2 Ft
< Zk (t; ! ) si s 2 [t; u[ et ! 2 B
Soit 0 (s; ! ) =
Zk (u; ! ) Zk (u; ! ) si s u et ! 2 B
:
0 sinon

1 si s 2 [t; u[ et ! 2 B
Soit K (s; ! ) =
0 sinon
(T ):Z (T ) = (Zk (u) Zk (t)) :1?B
(0):Z (0) = 0
Soit

((Zk (u) Zk (t)) :1?B ) = 0
(Zk (u):1?B ) = (Zk (t):1?B )

D'où

E

E

Soit (Zk (u)1?B ) = (Zk (t)1?B )
Donc (Zk (u)jFt ) = Zk (t)

E

8B 2 Ft

Corrollaire :
1. Le marché est viable ssi il existe au moins une martingale mesure équivalente.

E

^ (x est évalué par arbitrage) ssi (x) ne dépend pas du
2. Si le marché est viable, x 2 M
choix de la martingale mesure équivalente.
3. Le marché est viable et tout est évalué par arbitrage ssi il existe une unique martingalemesure.

démonstration :

(T ):Z (T ) 2 X + car P P On a P ( (T ):Z (T ) 0) = 1 et P ( (T ):Z (T ) > 0) > 0 Or, on a :
(0):Z (0) = E ( (T ):Z (T )) > 0

Il existe une martingale mesure équivalente implique qu'il n'y a pas de free lunch.



Chapitre 5
Le modèle de Black et Scholes
5.1 Modèle continu
On note = [0; T ], Y = (Y (t))t2 un processus de di usion de dimension
pour k = 1 : : : K et Z0 (t) = 1

W (t) est un mouvement brownien de dimension K
(x; y ) :
(x; y ) :

et

RKK [0; T ] ! RKK K
R [0; T ] ! R

K , Zk (t) = Yk (t)

Ft = F fW (s); 0 s tg

continues
On suppose de plus que det (x; y ) 6= 0 8x; t. Soit (x; t) l'unique solution de (x; t): (x; t) +
(x; t) = 0
Soit

Y

le processus adapté à

Ft dé ni par :

Yk (t) = Yk (0) +

k Z t
X
i=0 0

Soit :

Y (t) = Y (0) +
Ou encore :

Z t

0

k;j (Y (s); s)dWj (s) +

(Y (s); s)dW (s) +

Z t

0

Z t

0

k (Y (s); s)ds

(Y (s); s)ds

dY = dW + dt

Proposition :
Pour

0 t T la tribu est engendrée par fZ (s); 0 s tg

On note en n pour tout
Soit à présent

( 1 ; : : : ; n , 2 = 12 + : : : + n2
R

Y le processus dé ni par : Y (t) = 0t (Y (s); s)dW
26

CHAPITRE 5.

27

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

Théorème :

Il existe au moins une martingale mesure équivalente ssi :
RT

2
0h dt < +1
RT
2. E exp 0 dW
1.

3.

i

1 R T 2 dt
2 0

Y est une Ft martingale.

< +1


La martingale mesure équivalente est alors unique dé nie par ddPP
et Z est distribué par rapport à comme Z par rapport à

P

P

= exp

R

0 dW

Le marché est viable ssi (1), (2) et (3) sont véri és, dans ce cas tout élément
par arbitrage et on a :
avec



1 R T 2 dt
2 0

T

x de X

est évalué

^ (x) = E ( f (Z )) = E (f (Z ))

x = f (Z )

démonstration :

l'ensemble des processus de dimension K tels que :
1. k (t; ! ) est mesurable en (t; ! ) pour tout k
2. est adapté à gFt g
RT
3. 0 2 (t)dt < +1

Soit

On dit que

P P

R

est non-anticipatif. De plus l'intégrale 0T (s)dW (s) est dé nie pour tout 2

P

P

Soit avec d = d alors est positive et de carré intégrable. Le processus
une martingale strictement positive avec ( jFT ) = et ( ( jFt )) = ( ) = 1

E

E E

E

E ( jFt ) est

E ( jFt ) est de carré intégrable.
RT
D'après le théorème de Kunita-Wakanabe, il existe 2 avec 0 E ( 2 (t)dt < +1 tel que
E ( jFt ) = 1 + R0t (s)dW (s) On en déduit que est presque surement continue en t (à ! xé)
et E ( jFt ) est bornée inférieurement par 1 pour presque tout ! .
De plus, d'après l'inégalité de Jensen, il est clair que

On pose :

k (t) =

k (t)
E ( jFt)

On a alors, par le lemne d'Itô :

ln( t ) =

Z t

0

s dWs

Z

1 t 2
ds
2 0 s

CHAPITRE 5.

Donc :

= exp

Z T

0

Lt = exp

Rt

0 s dWs



Z

1 T 2
(s)ds
2 0

phi(s)dW (s)

On rappelle le théorème de Girsanov :
Soit ( t ) un processus adapté tel que :
RT
0 s2 ds < +1



28

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

1 R t 2 ds soit une martingale.
2 0 s

Alors sous la probabilité de densité
mouvement brownien.

Lt

(par rapport à

P), le processus Wt + R0t sds est un

P

Rt

Supposons à présent que est une mesure martingale et soit : W (t) = W (t)
0 sds.
D'après le théorème de Girsanov, W est un mouvement brownien standard relativement à
avec d = d et on a :

P

P

P

dYt = t dWt + ( t + t t )dt
Rt
Si est borné 0 s dWs est une martingale. Comme Y est également une martingale, on en
déduit que t + t t = 0 c'est à dire : =
Si n'est pas borné, soit Z le temps d'arrêt correspondant à la première date telle que
Yk (t) = b pour au moins un k. Soit Y b le processus arrêté. En appliquant le raisonnement
précédent, on a : (t) = (Y (t); t) pour 0 t on a fait alors b ! +1, on a ! T
On a donc montré que

dP = dP est une mesure martingale si et seulement si :
= exp



Z T

0

s dWs



Z

1 T 2
ds
2 0 s

L'ensemble des mesures martingales est donc non vide si et seulement si est bien dé nie et de
carrré intégrable. Ce sont les conditions (1.) et (2.). Sous , on a dYt = t dWt or dYt = t dWt .
On en déduit que Yt est distribué relativement à comme Yt relativement à . Ainsi, est
une mesure martingale si Y est une martingale sous ou encore si Y est une martingale sous
. On a alors :
P
P


P

P

E

P

P

P

(f (Z )) = E (f (Z ))

5.2 Une application : la formule de Black et Scholes
L'actif sans risque suit le processus :

dSt = St dt + St dWt

P

CHAPITRE 5.

Soit :

K )+ On a :

dSt = St dWt et soit : f (St ) = (St
(c) =
=
=

E
E
E

P

(f (St ))
(f (St ))

P
(St K )+
P

Or :



= S0 exp





ST = S0 exp
D'où :

"



"



E

(c) =

Or on a :

p

p

S0 exp T g

1 2
T
2



On a alors :

(c) =

Z

+1

d2
Z d2



K 0

p

S0 exp T g




1 2
T
2

S0 exp T g



1 2
T + WT
2

1 2
T
2

S0 exp WT

E

=



1 1
1
2
dSt +
2 St dt
2


St
2
St
1 2
dt + dWt
=
2
1 2 t + Wt et
2

d ln St =
Ainsi on a : St

29

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

p

K



+ #

K

+ #

,g

1 2
T
2






avec g

2 T

2

S0

p ln K

T



g2

; N (0; 1)
= d2

2

g
e 2
p
dg
K
2

Z

g2

d2 e 2
1 2 e 2
p dg
=
S0 exp T g
T p dg K
2
2
1
1 2

g2
Z d2
p
1 2 e 2
=
S0 exp T g
T p dg K (d2 )
2
2
1
p
On pose : h = g + T dans la premi ere int egrale
= S0 (d1 ) K (d2 )

p

d1 = d2 + T ,
~
K = e rt K . On alors

avec

si on a un taux d'intérêt r , on pose :

E

(c) =



S~T

K~

+

S~ = e rt St , R~ t = e rt Rt = 1

et

CHAPITRE 5.

On a alors :

(c) = S0 (d~1 ) K~ (d~2 )

avec

et

d~2 = d~1

30

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

1 2 T ln K~
~
d1 = 2 p S0
T

p

T

5.3 Approche par EDP
On dispose de trois actifs :
Un actif risqué : dSt = Sdt + SdW
Un actif sans risque : dBt = r:Bdt
Une option : Ct = (St K )+
On recherche un portefeuille de duplication, c'est à dire un couple (at ; bt ) tel que aT ST + bT BT =
CT qui soit auto nancé, i.e Vt = at St + bt Bt ou encore : dVt = at dSt + bt dBt . La variation de
valeur n'est due qu'aux variations de prix. Par AOA on a Ct = Vt 8t Donc :

dCt = (a St + brBt )dt + a St dWt
On cherche C de la forme : C (t; St ) On applique le lemne d'Itô en vue d'établir une équation
di érentielle aux dérivées partielles (EDP).

dC =
Donc en identi ant :



@C
1
@2C
@C
dt + dS + 2 S 2 2 dt
@t
@S
2
@S

a =
a S + brB =

@C
@S
@C
@t

1 2 2 @ 2 C ( )
+ S @C
@S + 2 S @S 2
On considère ( ), a = @C
@S , or Ct = at St + bt Bt par auto nancement donc :

rCt = rS
On peut donc réécrire

On a :

@C
+ rbt Bt
@S

( ) sous la forme :
8
1 2 2 @2C
@C
< @C
@t + 2 S @S 2 + rS @S
( )
:
C (T; S ) = (S K )+

rC = 0


@C 1 2 2 @ 2 C
@C
@C
+ S + S
dt + S dW
dC =
2
@t
@S 2
@S
@S
= Cdt + CdW


CHAPITRE 5.

On a

= CS @C
@S

31

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

l'élasticité du prix de

C

par rapport au prix de

S (d1 )

=
S (d1 ) Ke rT (d2 )

S . Ainsi :

1

L'option est toujours plus volatile que le sous jacent. De même :
@C + S @C + 1 2 S 2 @ 2 C
rC
@t
@S
2
@S 2

r =
=

S @C
@S

C

= ( r)


rS @C
@S

C

Les excès de rendements sont donc dans les mêmes proportions que le rapport entre la volatilité
de l'actif dérivé et celui du sous jacent.
On résout ( ). On pose s = ln S ce qui peut faire disparaitre les termes
ensuite e rt C pour gérer rC et @C
@t .
On pose

D(S; t) = er(T t) C ( ln S + t; (T

( ) se réécrit alors :

8
< @D
@t
:

=

S @C
@S

et

2

S 2 @@SC2

On pose

t)) avec ; ; bien choisis (...)
@2D
@x2

D(t; x) = h(x)

On s'est ramené à l'étude de l'équation de la chaleur. On sait la résoudre numériquement soit
par Monte-Carlo (c.f. partie IV ), soit par la méthode des éléments nis (c.f. partie V ).

5.4 Retour sur le modèle binomial
Nous allons montrer qu'on peut passer du modèle binomial au modèle continu par passage à la
limite.
On a :

"

r #

"

r #

T
T
un = exp +
n
n

T
T
dn = exp

n
n
Durant les n périodes, l'actif croît j fois et décrît n j fois. A
prix sachant j est : E [Sn jj ] = S0 ujn dnn j . Ou encore :
S
u
ln n = J ln n + n ln dn
S0
dn

la date n, l'espérance de son

CHAPITRE 5.

Avec

J

h

32

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

;iB(n; 12 ) une variable aléatoire de loi binomiale. On note n n = E

V ar ln SSn0

ln SSn0

i

et

n n2 =

. On a alors :

On veut connaitre : (1+1rn )n E

1
E
(1 + rn )n

h

"

S
ln n
S0

K



+ #

n n = T
n n2 = 2 T
+
K

ln SSn0

1
=
E
(1 + rn )n

"

1 u
B (n; ) ln n + n ln dn
2 dn
i

n
X
1
1
=
Cni
n
(1 + rn ) i=0
2

n i

S0 uin dnn

i


K +

3
K
n
6 S:dn 7
7
6
6 ln ud n 7
n
2

Donc en posant : n =

1

1
2

K

+ #

ln



1 + rn dn
on a :
un dn




n
X
n j n j 1 n n
j
j
= S0 Cn un
dn
1 + rn
1 + rn
j = n


1
un n
Car : dn
=1
1 + rn
1 + rn
Et : n =

Calculons maintenant la limite de

Pn
j j
j = n Cn n (1

n )n

j

n
K X
C j j (1 n )n
(1 + rn)nj = n n n

j.

n )n j = 1 P(Yn < n ) avec Yn la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli n . On a ensuite :
Pn
j j
j = n Cn n (1

P(Yn < n) = P
De plus, on a :

3
K
n
6 S:dn 7
6
7
6 ln ud n 7
n
2

n =

Yn n n
p
<
n n (1 n )

ln

n n n
p
n n (1 n )



p

ln(K=S ) T + nT
q
=
+ o(1)
2 Tn
p
ln(K=S ) T p
1
p
n + o( n)
= n+
2
2 T

!

j

CHAPITRE 5.

On a en outre :

1
1 + rn dn 1
=
2
un dn
2
2 + 2rn dn un
=
2(un dn )
q i
q i
h
h
T
T
T
T
n
2(e ) exp n + n exp n Tn
q i
q i
=

h
h
2 exp Tn + Tn exp Tn Tn

n

Pour

n ! +1 on a e n

T

n

33

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

! 1 ainsi que un ! 1 et dn ! 1. On linéarise à l'ordre o


q





q



1 :

n

Tn + Tn + 12 2 Tn
Tn Tn + 12 2 Tn + o( n1 )
2 Tn
1
q
q
=


2
T
T
1
T
T
T
1
T
2
2
2 n + n + 2 n ) ( n n + 2 n + o( n1 )
2 T 2 T 2



n

qn
4 Tn


p
2 pTn

1 2

2



Contrairement aux apparences, le developpement limité est correct.
ln(K=S ) p( 12 2 )
En n p n n n !
n n (1 n )

T

On montre maintenant que

Yn =

Pn
i=1 Xi;n avec

Yn n n converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
pn
n (1 n )

des variables binomiales de probabilité n indépendantes. On utilise
ensuite la convergence de la fonction caractéristique.

E

"

Xi;n

Car les variables aléatoires
Ainsi en notant

pX i;nn(1 nn)

#

"

X

= E exp it p 1;n n
n (1 n )



t2
1 n
= 1
+o
2n
n
2
! exp t2
sont centrées et de variance 1 .

Y n n
exp it p n
n n (1 n )

#!n

n

la fonction de répartition de la loi normale, on a :
n
1 2 !
X
ln(
K=S
)

p 2
Cnj nj (1 n )n j ! 1

T
j = n
!
ln(S=K ) + 12 2
p
!
T

CHAPITRE 5.

34

LE MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES

Par un raisonnement analogue, on montre que :
n
X
j = n

Cnj ujn



n
1 + rn

j

dnn

j



1 n
1 + rn

n j

!
ln(S=K ) + + 21 2
p
!
T

n un dans les calculs précédents
Il su t de remplacer n par 1+
rn

En n

1
(1+rn )n

!e

T

On a alors :

1
E
(1 + rn )n

"

S
ln n
S0

K

+ #

!
ln(S=K ) + + 21 2
p
! S0
Ke
T

T ln(S=K ) +
p
T

1 2 !
2

Chapitre 6
Options américaines
6.1 Une première approche
K )+ pro t si l'option est exercée en t = n
la valeur de l'option en t = N (date nale).
Si on vend en t = N 1, on encaisse UN 1 et on doit pouvoir fournir ZN 1 si l'option
exercée immédiatement et ZN si elle est exercée en t = N . Il est alors naturel de prendre :
Zn = (Sn
UN = ZN



h

UN 1 = max ZN 1 ; SN0 1 E Z~N jFN 1

est

i

avec Z~N = ZS N0 . Si on exerce maintenant, on recoit ZN 1 , si on exerce plus tard, on recoit le
N
paiement d'une option européenne. De proche en proche, on a :




U
Un 1 = max Zn 1 ; Sn0 1E n0 jFn 1
Sn
Posons



U~n = USnn0

Proposition :

P

P

La suite U~n est une surmartingale. C'est la plus petite surmartingale majorant

(Z~n).

démonstration :


h

U~n 1 = max Z~n 1 ; E U~n jFn 1
h

i

U~n 1 Z~n 1 et U~n 1 E U~n jFn 1 Ainsi (U~n ) est
Soit (T~n ) une surmartingale majorant (Z~n ).
Soit

On a T~N

U~N = Z~N et si T~n U~n alors :


T~n 1 E T~n jFn 1



35



i

une sur martingale majorant

E U~njFn

1



(Z~n).

CHAPITRE 6.

Comme on a T~n

36

OPTIONS AMÉRICAINES

1 Z~n 1 alors T~n 1 U~n 1



La valeur actualisée de l'option américaine ne dé nit pas nécessairement une martingale sous
. Le prix est décroissant en moyenne, contrairement aux options européennes.

P

6.2 Le problême de l'arrêt optimal
Soit un temps d'arrêt. Soit (Xn )n2N un processus. On note
pour tout ! 2
et pour tout n 2 on ait Xn (! ) = X (!)^n

N

Proposition :

(X

n)n2N

le processus tel que

(Xn ) est un processus adapté si et seulement si (Xn ) est adaptée. Si de plus, (Xn ) est une
martingale (resp une surmartingale), alors (Xn ) l'est également (une surmartingale).
Soit

(Zn )i=1:::N un processus adapté, on pose :
(

UN = ZN
i
h
Un+1
0
Un = max Zn ; SnE Sn+1 Fn Pour n 2 [1; N

1]

(Un ) est l'enveloppe de Snell de (Zn).
Proposition :

0 = inf fn 0jU~n = Z~n g est un temps d'arrêt et (Un^ 0 ) est une martingale.
démonstration :
\

\

\

f 0 = kg = fU0 > Z0g : : : fUk 1 > Zk 1g fUk = Zk g
P
kg 2 Fk C'est bien un temps d'arrêt. On a U~n^ 0 = U~0 + nj=1 j U~j

Donc f 0 =
avec
j = 1?j 0
~n = U~0 + Pnj=1 j U~j on arrête en 0 donc on multiplie par 1 si on est en dessous de
Soit : U
0 par 0 sinon.


0 = 1?fn+1 g U~n+1 U~n
Soit U~n +1
0

~n
On a par dé nition, U



0
U~n +1
puis :

h





= max Z~n ; E U~n+1 Fn





et

U~n = 1?fn+1 0 g U~n+1


i

h

fn + 1 0 g, U~n > Z~n d'où :

E

h



U~n+1 Fn
h



i

U~n Fn = 1?fn+1 0 g E U~n+1 E U~n+1 Fn
~n est une martingale.
car fn + 1 0 g = fn 0 gC 2 Fn d'où U

E

0
U~n +1

i i

n

F

CHAPITRE 6.

37

OPTIONS AMÉRICAINES

Corrollaire :

0

véri e



h

i



h

U~0 = E Z~ 0 F0 = sup E Z~ F0


i

Si on veut exercer une option américaine, on l'exerce en un temps d'arrêt, quel est le meilleur
temps d'arrêt ? Ainsi une option américaine est une option européenne exercée en . Ainsi le
meilleur est en 0 . Autant la vendre le plus tôt possible. Si Z~n est le gain cumulé après n
parties d'un jeu, 0 est la manière optimale d'arrêter pour maximiser le gain moyen.

démonstration :

U~0 = U~0 h0 i
= E U~N 0 F0
=
Si



est un temps d'arrêt quelconque

U

U~0 U~0 0

i

est une surmartingale. Donc :
h



i

E
h i
E U~ F0
h i
E Z~ F0

U~0

Ainsi :



h

E U~ 0 F0
i
h
~
E Z 0 F0

=

U~N 0 F0

pour tout temps d'arrêt . Plus généralement, on montre que

U~n = sup

2 n;N

E

h



i

h



Z~ Fn = E Z~ n Fn

i

avec n;N un temps d'arrêt à valeur dans fn; : : : N g et n un temps d'arrêt tel que : n = inf fj
njUj = Zj g

Dé nition :

On appelle temps d'arrêt optimal tout temps d'arrêt tel que :

E
En particulier

Théorème :



h



i

h



Z~ F0 = sup E Z~ F0

i



0 est un temps d'arrêt optimal.

est optimal si et seulement si

Z~ = U~

et



U~ ^n



est une martingale. Il est clair que

0 est le

CHAPITRE 6.

38

OPTIONS AMÉRICAINES

plus petit temps d'arrêt optimal.

démonstration :
h i
h i


~
~
~
~
Si (U ^n ) est une martingale et si Z = U , alors : U0 = E U F0 = E Z~ F0

RECIPROQUEMENT
Si est optimal,

Or

E

(surmartingale). Donc
et comme
Ainsi

U~ Z~

on a



h

U~0 = E Z~ F0

E

h



U~ F0



h

i

i

U~ = Z~

h

U~0 E U~ ^n F0

D'où

E



h



U~ ^n F0 = E

Or :

h





i

i

E [ tildeU j F0]

h

E

h



U~ Fn

h



i

h



i

U~ ^n E U~ Fn

(surmartingale), d'où :

U~ ^n est bien une martingale.

i

i

i

U~0

U~0 = E U~ F0

h



h

E U~ F0

U~0 F0 = E Z~ F0

et

et

i

U~ ^n = E U~ Fn

i



F0

i



Théorème : (décomposition de Doob)

~ ) peut s'écrire de façon unique de la forme :
Toute surmartingale (U
une martingale et (A~n ) est un processus prévisible, nul en 0.
démonstration :

U~0 = M~ 0 et A~0 = 0
M~ n+1 M~ n = U~n+1 h E [ tildeU
in j Fn ]
A~n+1 A~n = U~n E U~n+1 Fn
A~n+1 est donc Fn -mesurable. M~ n+1 est une martingale.
On raisonne par récurrence.



U~ = M~ n

A~n

ou

M~ n

est

CHAPITRE 6.

39

OPTIONS AMÉRICAINES

Proposition :

Le plus grand temps d'arrêt optimal est donné par :

MAX =



N
si A~N = 0
inf fn t:q A~n+1 6= 0g si A~n+1 6= 0

démonstration :

~
~n = M~ n A~n et Aj = 0 pour j MAX .
MAX est un temps
On a U
d'arrêt car An est prévisible.

~ MAX ^n = M~ MAX ^n , ainsi U~ MAX est une martingale. De plus :
On en déduit : U

U~ MAX =
=
Or

E

h



j =0
N
X1
j =0

~j + 1?f MAX =N g U~N
1?f MAX =j g U
1?f MAX =j g max



h



Z~j ; E U~j +1 Fj

i

+ 1?f MAX =N g Z~N

i

U~j +1 Fj = M~ j A~j +1 et sur f MAX = j g on a A~j = 0 et A~j +1 > 0 d'où M~ j = U~j , ainsi :

E
Or

N
X1

h



h

U~j = E U~j +1 Fj



i

U~j +1 Fj = M~ j

i

donc



h



Z~j > U~j = E U~j + Fj

U~ MAX =

N
X1
j =0

h



Aj +1 < U~j = max Z~j ; E U~j +1 Fj
i

i

Donc :

1?f MAX =j g Z~j + 1?f MAX =N g Z~N

~ MAX = Z~ MAX et MAX est optimal.
Donc U
Montrons que MAX est maximal. Si > MAX et

E (U~ ) = E (M~ )

P( > MAX ) > 0 alors :
E (A~ = E (U~0 ) E (A~ ) < E (U0 )

car A~ > 0 par construction de MAX . Ainsi aucun temps d'arrêt ne peut être quelquepart plus
grand que MAX . C'est le plus grand parmi les temps d'arrêt optimaux.

Deuxième partie
Sélection de portefeuille et
valorisation par équilibre
Pierre-François koehl

40

Introduction
On peut distinguer deux activités principales dans le domaine bancaire :

Taux

Client

Banque

Action

Autres
Banques

achat de risque
Crédit

DESK : échange de risques
clairement identi és
On considère par exemple une entreprise exportatrice. Elle est payée en dollard, comment se
couvre-t-elle contre le risque de change ? Mais aussi de taux (si elle a des emprunts en cours) ?
De sinistre naturel ? etc...
Elle vend ses risques à une banque qui va les décomposer en sous risques échangeables sur les
marchés nanciers. Ces marchés sont purs car entièrement liquides. Leurs évolutions sont donc
entièrement paramétrables, on peut ensuite essayer d'anticiper leurs dynamiques, puis pricer
(valoriser en Français) les produits dérivés. Cependant certains risques ne sont pas vendables
sur les DESK (e.g le décès inopiné du PDG).
Néanmoins de nouveaux marchés peuvent se créer si il y a une demande su sante d'échange de
risques dans un domaine particulier. Par exemple, le marché de la température s'est créé il y a
une quinzaine d'année quand des producteurs d'électricité américains ont cherché à se couvrir
contre les hivers doux qui leur faisaient perdre de l'argent à cause de la con guration technique
de leurs centrales d'énergie. Aujourd'hui il existe un marché de la température qui fonctionne
de manière analogue à celui des taux, mais il existe aussi un marché du climat ...
41

42

Ainsi si on connait la dynamique d'un risque connu, les produits dérivés sont couvrables et
valorisables par absence d'opportunité d'arbitrage. Dans ce cours on va chercher à couvrir les
risques dont on connait les pay-o naux.

Chapitre 1
Un modèle statique
1.1 Modèle arbitrage et prix contingent
Le modèle sous-jacent est celui de l'équilibre général. Il est robuste d'un point de vue axiomatique, mais il n'est pas implémentable. On s'en sert d'un point de vue heuristique. On fera les
hypothèses suivantes :
1. Le modèle est dynamique à deux périodes. On est en
2.
3.
4.
5.

t = 0 et il y a :

S états du monde possibles en t = 1.
N titres caractérisés par leurs dividendes à la date 1.
D la matrice des dividendes (N S ) selon les états du monde en t=1. D = (dij ) est le
dividende que l'on touche à la date 1, si on possède le titre i et que l'état j se réalise.
q0 2 R N le vecteur des prix à la date 0. D est exogène, on cherche à valoriser les actifs,
i.e connaître q0 et ensuite à couvrir les risques.

R

On note 2 N un portefeuille. i est la quantité de titre i détenu par le possesseur du
portefeuille. La quantité de titre peut-être négative : On peut vendre à découvert à condition
d'emprunter les titres à quelqu'un et en portant la position1
Une opportunité d'arbitrage est un portefeuille tel que :
q < 0 et D0 a toutes ses composantes positives. Le portefeuille rapporte de l'argent
dans tous les états du monde.
q 0 et D0 a toutes ses composantes positives dont une est non nulle. En ne payant
rien, on est sur de gagner de l'argent.
On appelle prix contingent un vecteur 2 S , atoutes ses composantes strictement positives
et q = D . On a :
X

R

qi =

j

dij

j

1 Les chambres d'emprunts de titres sont apparues vers 1970 aux Etats-Unis et vers 1985 en France. On
peut emprunter un titre contre un dépôt de garantie. Aujourd'hui les préteurs de titres sont essentiellement les
assureurs et les dépositaires

43

CHAPITRE 1.

44

UN MODÈLE STATIQUE

j s'interprête comme le prix à payer aujourd'hui pour recevoir 1 en
et 0 dans toutes les autres situations.

t = 1 si l'état j

se réalise

Théorème :

Il y a absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) si et seulement si il existe un vecteur de prix
contingent .
La démonstration de ce théorême est dans le cours d'Evaluation d'Actif Financier et Arbitrage.
De plus il faut remarquer qu'il n'y a pas necessairement un unique vecteur . En n le résultat
est à peu près vrai en continu.

Exemple :

Pendant un moment le Franc était une monnaie bimétallique, elle était indexée simultanément
sur l'or et l'argent, avec une parité xe. Il existait bien évidemment des marchés indépendants
d'or et d'argent. Il y avait donc des possibilités d'arbitrage : quand le cours de l'or diminuait
par rapport à celui de l'argent, on échangeait à la Banque de France de l'or contre du Franc,
puis du Franc contre de l'argent. On vendait ensuite l'argent pour acheter de l'or.

1.2 Probabilité risque neutre
On note ^j

=

P j . On a
j

X

P

avec

^j = 1 et :

8i qi =

X

j

X

dij ^j

j est le prix à payer aujourd'hui pour recevoir 1 dans tous les états du monde. i.e

r le taux sans risque. On a encore :

qi =

P

j

= 1+1 r

1
E (d )
1+r ^ i

Le titre i est l'espérance sous probabilité risque neutre du vecteur des dividendes actualisés
au taux sans risque. Si c'était la vraie probabilité de réalisation de l'évenement et si on était
risque au neutre, on ne demanderait pas de prime de risque.
Contrairement aux assureurs qui xent d'abord la prime de risque (ce qui peut entrainer des
phénomênes de surenchère), les nanciers estiment d'abord la probabilité risque neutre (par un
processus de di usion généralement) pour ensuite xer la prime de risque.

1.3 Evaluation des actifs et optimalité

R

R

Un agent économique est caractérisé par une fonction d'utilité U : S ! strictement croissante et par une dotation initiale e 2 S+ . On considère X (e) l'ensemble des consommations
atteignables par l'agent :
n
o
0
N

R

X (e) = e + D 2 = q: = 0 2 R


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