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Titre: LICENCE 3 2012 Cours de Microéconomie de l’incertain
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CHAPITRE 2

• PREFERENCES ET UTILITE
ESPEREE

1

Introduction
• La théorie économique des choix face à des
alternatives risquées a été développée par
Von Neumann et Morgenstern.
• L’hypothèse de base du modèle est, qu'en
présence de risque, les individus font des
choix basés sur l'utilité espérée ou l'espérance
mathématique des utilités.

2

Intro (suite)
• Von Neumann et Morgenstern (VNM) ont
montré que tout individu obéissant à
quelques principes de rationalité cherche à
maximiser, non pas l’espérance de sa richesse,
mais l’espérance de l’utilité de sa richesse

3

Intro (suite)
• La propriété fondamentale de ce type de
fonction d’utilité est qu’elle est toujours
monotone et croissante
• Très souvent, on pose la restriction de la non
concavité (pour s’intéresser à des individus qui
prennent des risques)
4

Intro (fin)
• Cependant elle peut être concave, convexe ou
linéaire selon que l’individu est risquophobe,
risquophile ou neutre vis-à-vis du risque

5

I. La fonction d’utilité de Von
Neumann et Morgenstern (VNM)
• En 1944, ces auteurs ont proposé une fonction
d’utilité adaptée aux événements probabilisés.
• À chaque situation

correspond

une loi de

probabilité (pas une certitude !) avec son
espérance et sa variance.

6

VNM…
• L’espérance traduit un gain moyen et la
variance indique le risque. Cette incertitude
traduit un choix auquel l’agent économique
( investisseur par exemple) est confronté et ce
choix peut différer selon son niveau de
richesse.
7

VNM…….
• Soit un consommateur qui consomme un bien
qui peut prendre n valeurs, x1 , x2,....xn
avec les probabilités p1 ,p2 , ......pn
respectivement.
La fonction d’utilité de Von Neumann Morgenstern
(VNM) du consommateur u( X ) décrit l’utilité
que le consommateur s’attend à obtenir de la
consommation de x .
8

VNM………….
• Cette fonction VNM est telle que :
• E[u(x)] = p1 u (x1 )+ ...+ pn u (xn)

9

VNM
• La théorie de VNM est axiomatique, c’est-àdire, elle repose sur des axiomes.
• Elle considère que les individus sont en
mesure de classer les loteries et de choisir
celle qui maximise leur utilité

10

Les axiomes
• Axiome de comparabilité
• Soient p et q, deux distributions de probabilité,
p, q  P soit

p  q ; soit

p  q ; soit

p~q

• Cet axiome traduit le fait que deux distributions
de probabilités pourront toujours être
comparables
11

Axiome de transitivité:
• Si on considère 3 loteries p,q et r,
• Si U(p) > U (q) et U(q) > U(r) alors U(p) > U( r)
• Cet axiome traduit une rationalité pure qui
induit la cohérence entre les classements

12

Axiome d’indépendance forte (ou de
substitution)
• Considérons 2 loteries p et q telles que
• U(p) > U (q). Soit r, une autre loterie et α un
nombre compris entre 0 et 1 (différent de 0 et
de 1), alors
• U(αp + (1-α) r) > U(αq + (1-α) r)

13

Signification de l’axiome
d’indépendance
• L’attitude d’un individu face aux deux loteries
ne devra dépendre que de son attitude face à
p et q et non pas de la façon d’obtenir p et q.

14

Axiome archimédien (ou de
continuité)
• En supposant qu’un individu préfère p à q et q
àr
1er aspect :Même si la loterie r est considérée
comme très mauvaise, on peut toujours la
« mélanger » avec la loterie p, avec une
probabilité sur p suffisamment proche de 1
pour préférer ce mélange à q

15

Axiome archimédien (suite)
• 2ème aspect
• On peut toujours mélanger p et r, avec une
probabilité sur p suffisamment proche de 0
pour continuer à préférer q à ce mélange
• Conclusion axiome archimédien
• U(αp + (1-α) r) > U(q ) > U(β p + (1- β) r)

16

Paradoxe de Saint Petersbourg
• Enoncé par Nicolas Bernouilli, ce paradoxe se
résume à la question suivante: pourquoi les
joueurs refusent-ils de miser tout leur argent
même si mathématiquement l'espérance de
gain est infinie à un jeu?

17

Saint-Petersbourg
• Il ne s'agit pas d'un problème purement
mathématique

mais

d'un

paradoxe

du

comportement des êtres humains face aux
événements d'une variable aléatoire dont la
valeur est probablement petite, mais dont
l’espérance est infinie.
18

Saint-Petersbourg
• Dans

cette

situation,

la

théorie

des

probabilités dicte une décision qu'aucun
acteur raisonnable ne prendrait.
• D’où l’idée de « paradoxe »

19

Exemple
• Soit le jeu suivant : on lance en l'air une pièce
de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2
francs au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on
relance la pièce.
• Si face apparaît, la banque paie 4 francs, et on
arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face
apparaît, la banque paie 8 francs au joueur, et
ainsi de suite.
20

Paradoxe de Saint Petersbourg (suite)
• Donc, si face apparaît pour la première fois au
n-ième lancer, la banque paie 2n francs au
joueur. Quelle est la mise initiale pour que le
jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la
banque ni le joueur ne soient avantagés par ce
jeu ?
21

Solution
• Il faut calculer le gain moyen du joueur au
cours d'une partie : ça doit-être la mise initiale

(ce que l’agent doit donner pour participer au
jeu) pour que le jeu soit équitable.

22

Solution (suite)
• Si face apparaît dès le premier lancer, on
gagne 2 francs. La probabilité pour que cela
arrive est ½, ce qui donne une espérance pour
ce coup de 1/2× 2=1.

23

Solution (suite)
• Si face apparaît pour la première fois au 2e
lancer, ce qui se produit avec une probabilité
de ½×½=1/4, le gain est de 4 francs, ce qui fait
une espérance de gain de 1 franc pour ce
coup.

24

Solution (suite)
• Plus généralement, si face apparaît pour la
première fois au n-ième lancer, ce qui se
produit avec une probabilité de (½)n, le gain
est de 2n francs, d'où une espérance de 1 franc
pour ce coup.

25

solution
• Maintenant, l'espérance totale s'obtient en
sommant l'espérance de tous les cas possibles.
On somme une infinité de termes qui valent tous
1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc
miser une infinité de francs pour que le jeu soit
équitable, ce qui est bien sûr impossible.
26

Synthèse (Saint Petersbourg)
• Quelle que soit la mise initiale, la valeur de
l’espérance mathématique de gain est
positive, et même infinie.
• Donc tout individu devrait toujours accepter
de miser n’importe quel montant. Or on sait
que si la mise initiale est élevée, un individu
risquophobe refusera; d’où le paradoxe

27

2. Paradoxe d’ALLAIS
• Maurice Félix Charles Allais (1911-2010) est le
seul économiste français ayant reçu le « prix

Nobel » d'économie (1988)

28

Enoncé du problème
• Il est demandé aux personnes interrogées,
dans un premier temps, de choisir entre les
deux loteries A et B suivantes :
• A : [10 000 F (100 %)]
• B : [15 000 F (90 %) ; 0 F (10 %)]
• En règle générale, une majorité de personnes
préfèrent la loterie A, qui procure un gain
certain, même si l'espérance de la loterie B est
supérieure : 13 500 F.
29

suite
• Dans un second temps, il leur est demandé de
choisir entre les loteries C et D suivantes :
• C : [10 000 F (10 %) ; 0 F (90 %)]
• D : [15 000 F (9 %) ; 0 F (91 %)]

30

suite
• En règle générale, les mêmes personnes qui
préfèrent A à B préfèrent aussi la loterie D à la
loterie C, parce que D procure un gain
significativement plus important que C pour
une probabilité de perte à peine plus forte.

31

Paradoxe d’Allais
• Si A est préféré à B, alors C devrait être préféré
à D, ce qui n’est pas le cas en pratique, d’où le
paradoxe

32

II. Fonctions d’utilité de Markowitz
• L’utilisation de fonctions d’utilité générales
s’avère souvent complexe et ne conduit pas à des
solutions analytiques.
• C’est pourquoi Markowitz a simplifié le problème
du choix de l’investisseur dans l’incertain afin de
le résoudre de manière simple et explicite
33

Markowitz
• Son idée consiste à mesurer le risque affectant
une richesse W (ou la valeur globale d’un
portefeuille) par la variance de celle-ci notée
(W)

34

Markowitz
• L’investisseur qui obéit au critère E-V
maximise donc une fonction
• où f est une fonction croissante de E et
décroissante de
.
• à variance
donnée, il prend la décision
qui conduit à l’espérance maximale de
richesse, et, à espérance E(W ) donnée, il
minimise la variance
.
35

Markowitz
• L’investisseur est alors présumé prendre ses décisions
en fonction seulement de deux paramètres :
• 1) l’espérance de sa richesse, E(W), qu’il souhaite la
plus grande possible,
• 2) sa variance

, qu’il désire la plus faible possible.

• Il s’agit du critère espérance-variance (E-V ).

36

Application du critère E-V à la finance
• Pour un investisseur obéissant au critère
espérance-variance, il suffit de comprendre
comment se comportent l’espérance et la
variance du portefeuille en fonction de
caractéristiques de rentabilité et de risque des
titres le constituant
37

Critère E-V à la finance
• Markowitz définit comme efficients (ou
efficaces) les portefeuilles caractérisés par une
espérance de rentabilité maximum à variance
de rentabilité donnée (ou par une variance
minimum à espérance de rentabilité donnée)

38

Comportement de type Markowitz
• Lorsqu’il y a un actif de rendement certain et
de risque nul dans le portefeuille, l’individu
aura un comportement de type Markowitz
c’est-à-dire qu’il sera risquophobe

et

insatiable

39

Exercice d’application
• On considère les loteries suivantes:
0,2
0,1
0,5
0,125
• p = 0,3 , q = 0,1 , r = 0,8 , s = 0,625 ,
0,5
0,2
t = 0,625
0,175

0,4

0,1

0,25

1) Si on suppose que l’individu préfère p à q
et s à t, est-ce que ses préférences
vérifient l’axiome d’indépendance?
40

Exo d’application (suite)
2)On change les loteries qui deviennent:
0,3
0,1
0,3
0,05
p = 0,3 , q = 0,1 , r = 0,75 , s = 0,3 ,
0,4
0,8
0,4
0,2
0,65
t = 0,25
0,1

• Les préférences vérifient-elles toujours
l’axiome d’indépendance?
41

Corrigé
• Il faut chercher α Є ]0,1[ tel qu’en composant
(ou en mélangeant) p avec r et q avec r, la
préférence entre p et q soit conservée.
• On fait la même chose en composant s et r
puis t et r.
• Si on trouve le même α, on dit que l’axiome
d’indépendance est vérifié

42

Corrigé (suite)
• L’axiome d’indépendance stipule que le choix
entre deux loteries p et q ne doit dépendre
que de ces deux loteries et non d’une
troisième loterie. C’est pourquoi même en
faisant un mélange, on doit garder le même
ordre de préférence
• P >q → αp+(1- α)r > αq+(1- α)r

43

Corrigé…..
• Il faut mélanger p et r et l’approcher par s
• Puis mélanger q et r et l’approcher par t
• Puisque s est préféré à t alors il doit exister un
α qui remplit cette condition

44

1) On mélange p et r et on l’approche par s

𝛼

0,2
0,1
0,125
0,3 + (1-α) 0,8 = 0,625
0,5
0,1
0,25
0,2α + 0,1 1 − α = 0,125
0,3α + 0,8 1 − α = 0,625
0,5α + 0,1 1 − α = 0,25

On trouve 𝛼

= 0,25 pour les 2 premières équations
et 𝛼 = 0,375 pour la dernière

45

On mélange q et r et on l’approche
par t
𝛼

0,1
0,2
0,5
0,1 + (1-α) 0,8 = 0,625
0,1
0,175
0,4
0,5α + 0,1 1 − α = 0,2
0,1α + 0,8 1 − α = 0,625
0,4α + 0,1 1 − α = 0,175

On trouve 𝛼

= 0,25

46

2) On mélange p et r et on l’approche par s
0,3
0,3
0,05
𝛼 0,3 + (1-α) 0,75 = 0,3
0,4
0,4
0,2
0,3α + 0,05 1 − α = 0,3
0,3α + 0,75 1 − α = 0,3
0,4α + 0,2 1 − α = 0,4
On trouve 𝛼 = 1

47

On mélange q et r et on l’approche
par t
𝛼

0,1
0,05
0,65
0,1 + (1-α) 0,75 = 0,25
0,8
0,2
0,1
0,1α + 0,05 1 − α = 0,65
0,1α + 0,75 1 − α = 0,25
0,8α + 0,2 1 − α = 0,1

On ne trouve pas le même 𝛼
L’axiome d’indépendance n’est pas vérifié

48

Exemple sur les critères de
Markowitz
Critère 1
 E (ai )  E (a j ) et  (ai )   (a j )

ai  a j si 
ou bien
 E (a )  E (a ) et  (a )   (a )
i
j
i
j

49

Limite du critère 1
• Il ne prend pas en considération le fait qu’un
fort écart-type puisse être compensé par une
forte espérance .

50



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