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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Systèmes logiques combinatoires
– exercices –
Exercice n°1

fonction logique

Considérons la fonction booléenne :

(

)

( )

y = a + b + a.b .c

1 - Représenter y par un tableau de Karnaugh.
2 - Simplifier l’expression par la méthode de Karnaugh.
3 - Donner l’équation de y en prenant le regroupement des cases à 0 dans le
tableau.
4 - Complémenter y (pour retrouver y) en appliquant les théorèmes de De Morgan
(on obtient une forme normale en ∏ ).
5 - Donner le schéma à réseau à contacts.
6 - A partir des formes canoniques en  et



, et en utilisant les propriétés de

transformation, donner les logigrammes en utilisant exclusivement des opérateurs
NAND pour l’un et NOR pour l’autre.
Exercice n°2

circuit électrique

On donne le schéma à réseau de contacts suivant :
a

b

b
y
R

x
y

x

x

1 - Déterminer la fonction R = f ( a, b, x, y ) .
2 - Ce schéma est un sous-ensemble de l’automatisme d’une machine conçue il y a
plusieurs années. On désire en reconstruire un exemplaire utilisant une technologie
électronique faisant appel exclusivement à des opérateurs NAND. En donner le
logigramme.
Exercice n°3

probabilité d’erreur

Une chaîne d’énergie (CE) informe de son état une chaîne d’information (CI) sous
forme d’un ensemble de 7 bits : b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0, chacun signifiant, par exemple,
qu’un contact est actionné ou non, qu’un mouvement est terminé etc. Comme il y a
une grande distance, dans un milieu parasité, entre la CE et la CI, on décide
d’intercaler une chaîne relation (CR) assurant la transmission.

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Celle-ci transmettra un 8e bit redondant, dit « bit de parité », car il sera positionné à 0
ou 1 afin que le nombre total de bits à 1 (y compris celui de parité) soit toujours pair
ou nul.

Chaîne
d’information

7 bits

8 bits
Récepteur

7 bits
Emetteur

Chaîne
d’énergie

Longue distance en milieu parasité

∅K
Chaîne Relation

A la réception, un circuit combinatoire délivrera un signal ∅K = 1 si le nombre total
de bits à 1 est pair et 0 dans le cas contraire.
1 - Si la probabilité qu’un bit soit mal transmis (0 au lieu de 1 et réciproquement) vaut
p et en supposant qu’il s’agisse d’événements indépendants (hypothèse
audacieuse !) quelle est la probabilité pour qu’un état erroné soit transmis à la CI
sans que le signal ∅K passe à 0 ?
2 - Déterminer la fonction b7 = f (b6 , b5 ,..., b0 ) . Cette fonction doit être réalisée par
l’émetteur. A l’arrivée, le récepteur doit élaborer une fonction booléenne
∅K = g (b7 , b6 , b5 ,..., b0 ) . Déterminer cette fonction g.
8

7

g

∅K

b7

récepteur

Exercice n°4

7

b7

f

émetteur

fonction logique

Soit la fonction : z(a,b,c )=∑(0,1,2,5) .
1 - En donner sa forme algébrique.
2 - La complémenter en utilisant le théorème de De Morgan et en donner sa forme
numérique ∏ (...) .
3 - La complémenter directement à partir de la forme numérique
(comparer avec 2 -)
4 - Donner la forme en Σ de z .
Exercice n°5

∑ (...) → ∏ (...)

logigramme

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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1 - Exprimer l’opérateur ET dans la base {OU, NON} avec un logigramme.
2 - Exprimer l’opérateur OU dans la base {ET, NON} avec un logigramme.
Exercice n°6

fonctions logiques

1 - Réaliser la fonction f (a,b,c,d )=a +b +c d à l’aide d’opérateurs NAND
2 - Réaliser la fonction g(a,b,c,d )=(a+b )c +bc d à l’aide d’opérateurs NOR
Exercice n°7

capteur angulaire

Sur le banc expérimental d’un moteur thermique, l’ouverture du papillon des gaz du
carburateur est observée par un codeur absolu à codage GRAY. L’angle de rotation
du papillon, variant de 0 à 90° est mesuré directement par le capteur numérique sur
12 bits.
1 - Donner la résolution angulaire du système ainsi que le nombre de bits utiles pour
l’application.
2 - Sachant que la carte d’acquisition ne possède que des entrées sur des mots de 8
bits, donner la représentation angulaire du mot contenant les bits de poids fort.
Exercice n°8

afficheur 7 segments

Un calcul numérique est fait sur 4 bits, le résultat est présenté à l’aide
d’un afficheur 7 segments.
Donner les relations de passage simplifiées permettant la visualisation
du calcul.
Exercice n°9

fonctions logiques

Simplifier les expressions f1=(a+b)c +bcd +a(c +d )+(b+d ) et f2 =abc b cd
Exercice n°10

numération

Effectuer en hexadécimal l’addition de (439B)16 et (7 AEC)16
Effectuer en octal le produit de (65) 8 et (72) 8

Exercice n°11

codage de l’information

Coder les nombres décimaux (92)10 et (7904)10 , en binaire naturel, en code DCB et
en code 3 parmi 5.
Exercice n°12

fonction ou exclusif

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Soit x, y et z, trois variables binaires telles que z = x ⊕ y. Démontrer les deux égalités
suivantes :
1 - y = x ⊕ z,
2 - x ⊕ y ⊕ z = 0.
Exercice n°13

fonctions logiques

On souhaite réaliser un système qui, à partir de deux
chiffres décimaux X et Y codés en binaire, fournisse un
code binaire de la multiplication de X par Y. Quel est le
nombre minimum de fonctions binaires que ce système doit
comporter ?
Exercice n°14

tableaux de Karnaugh

Trouvez la plus simple expression de la fonction F suivante
en utilisant la méthode de Karnaugh.
Exercice n°15

fonctions logiques

Simplifiez l'équation F suivante à l'aide du théorème de De
Morgan et l'algèbre de Boole.

( )

(

(

)) (



F = ⎜ a ⋅b + c ⎟ + a + b⋅c ⋅ b ⋅c


Exercice n°16

)

tableaux de Karnaugh

Donner les équations logiques simplifiées à partir des tableaux de Karnaugh ciaprès :

Exercice n°17

fonctions logiques

Simplifier les expressions suivantes :
1 - F1 (a, b, c ) = a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c + b ⋅ c
2 - F2 (a, b, c , d ) = a ⋅ d + b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ d + a ⋅ b ⋅ c ⋅ d + a ⋅ b ⋅ c ⋅ d

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Exercice n°18

schéma logique

Dessiner le schéma logique de la sortie F en utilisant seulement
des portes NAND.
Exercice n°19

cd rom

Lorsqu’on souhaite enregistrer un signal analogique sous forme
numérique,
deux
opérations
sont
nécessaires
:
l’échantillonnage du signal d’entrée puis la conversion de ces
échantillons sous forme numérique à l’aide d’un convertisseur
analogique/numérique.
Si le spectre de fréquence du signal d’entrée est nul au delà
d’une fréquence fmax , l’échantillonnage doit avoir lieu à une
cadence telle que l’intervalle de temps τE séparant deux échantillons respecte la
1
relation : τE >
(théorème de Shannon).
2fmax
1 - Calculer l’intervalle de temps τE nécessaire pour échantillonner un signal audio
1
(20Hz -20kHz). Si on appelle fE =
, la cadence d’échantillonnage, que vaut fE
τE
dans ce cas ? Quelle est la relation entre fE et fmax ? Dans la pratique on adopte
souvent fE = 4fmax ; on conservera cette relation pour la suite de l’exercice.
2 - On convertit ensuite chaque échantillon sur 16 bits. Combien de valeurs
différentes peut-on ainsi coder ?
Exprimer ce nombre en dB.
3 - La plupart des lecteurs de
« disque laser » du commerce
annoncent des rapports signal/bruit
supérieurs à 95 dB ; Conclure.
4 - Quel sera le débit nécessaire en
octet pour convertir un signal audio
dans les conditions décrites plus
haut ?
5 - Quelle durée maximum pourra avoir un morceau de musique enregistré de
manière standard sur CD ROM (capacité de stockage standard 700 Megaoctets) ?
Exercice n°20

transcodage décimal, binaire, hexadécimal et BCD

Remplir le tableau suivant :
Décimal
35

Binaire

Hexadécimal

BCD

1101001
3E
10000101

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Exercice n°21

calculs en binaire

Effectuer les opérations suivantes en binaire
1111111
+ 111111
Exercice n°22

1111110
− 111111

1111
* 111

101100 100

détecteurs d’erreur

On considère un système combinatoire composé de trois entrées a, b et c, et une
sortie s telle que s = 1 si ( a, b, c ) = (1,0,0 ) ou s’il y a au plus une erreur parmi les trois
valeurs (1,0,0 ) .
1. Donner la 1re et la 2nd forme canonique de s. La simplifier.
2. Retrouver la 1re forme à partir de la 2nd.
3. Tracer le logigramme de s.
Exercice n°23

commande d’une cuve

A partir du pupitre de commande, l’opérateur doit pouvoir remplir et vider la cuve par
l’action sur les interrupteurs appelés « remplir » (b = 1) et « vider » (c = 1). Afin de
rendre les manœuvres sécuritaires, le risque de débordement de la cuve est détecté
par un capteur de niveau situé à 3 mètres du fond, ainsi en cas de risque a = 1. Une
lumière doit signaler (A = 1) toute erreur de l’opérateur, telle qu’une demande
simultanée de remplir et de vider la cuve ou un risque de débordement. Dans le cas
d’une demande simultanée de remplir et de vider, la priorité est donnée à la
demande de vidange.
L’ouverture de la vanne 1 (C = 1) permet le remplissage de la cuve.
L’ouverture de la vanne 2 (B = 1) permet de vider la cuve.
Tant qu’un risque de débordement de la cuve existe, la vanne 2 doit être ouverte et
la vanne 1 fermée, et ce sans tenir compte des actions de l’opérateur sur la pupitre.
Ecrire les tables de vérité, les fonctions logiques et les logigrammes réalisant la
commande de la cuve.
Exercice n°24

contrôle du poids dans une cuve

Trois jauges de déformation, avec sortie TOR, sont montées sur les piliers d’une
trémie peseuse. Lorsque les jauges donnent des informations illogiques, il faut
activer la variable D pour signaler la présence d’un défaut.
La jauge J1 est active pour un poids du liquide supérieur à 1 kN.
La jauge J2 est active pour un poids du liquide supérieur à 40 kN.
La jauge J3 est active pour un poids du liquide supérieur à 42 kN.
1.
2.
3.
4.

Tracer la table de vérité pour la sortie D.
Tracer le tableau de Karnaugh de la sortie D.
Ecrire l’équation logique de D.
Dessiner le logigramme de D.

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Exercice n°25

avertisseur automobile

Vous devez concevoir un système avertisseur pour une automobile. L’avertisseur
doit se déclancher si les ceintures de sécurité ne sont pas attachées et que le moteur
tourne ou si les phares sont restés allumés et que le moteur ne tourne pas ou si la
clé est dans le contact et que le moteur tourne et que la porte du conducteur est
ouverte.
1. Déterminer le nombre des entrées et des sorties du système.
2. Assigner un nom aux variables et construire la table de vérité décrivant le
fonctionnement.
Exercice n°26

équations logiques

Simplifier les équations suivantes puis écrire la solution simplifiée à l’aide de
logigrammes utilisant seulement des portes NAND, puis seulement des portes NOR.

(

)

1. f ( a, b, c ) = ( a + b ) a + b + c ( a + c )

2. g ( a, b, c, d ) = ( a + c + d )( b + c + d )
Exercice n°27

système de retournement de pièces

Soit le système montré ci-dessus dont le but est de basculer une pièce. Le principe
de fonctionnement est le suivant. Si une pièce est présente (signal pp), le vérin V est
rétracté (signal V+) jusqu’à avoir v0. Ensuite, il faut attendre que la pièce ait dégagé
le mécanisme, ce qui est détecté par le capteur pe. Le vérin est alors remis en
extension (signal V-) et la fin de l’extension signalée par v1 met fin au cycle. Étant
donné qu’il peut se produire des embouteillages au poste suivant ce dispositif de
retournement, il faut obligatoirement empêcher le basculement d’une pièce si les
signaux pp et pe sont activée en même temps. Il faudra attendre que pe revienne au
niveau logique 0 avant de basculer.

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Systèmes logiques combinatoires, exercices
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Donner la table de vérité complète de cet automatisme ayant 4 entrées (pp, pe, v0 et
v1) et deux sorties (V+ et V-) puis leurs équations.
Quelques éléments de réponse
Exercice 1 : 2 - y = a ⋅ b + b ⋅ c
3 - y = a⋅b + b⋅c

(

)

(

6 - y = a ⋅ b ⋅ (b ⋅ c ) , y = (a + b ) + b + c

)

Exercice 2 : 1 - R = a ⋅ x ⋅ y + a ⋅ x ⋅ b + a ⋅ b ⋅ y + a ⋅ b ⋅ x + b ⋅ x ⋅ y

(

)

2 - R = (a ⋅ x ⋅ y ) ⋅ a ⋅ x ⋅ b ⋅ (a ⋅ b ⋅ y ) ⋅ (a ⋅ b ⋅ x ) ⋅ (b ⋅ x ⋅ y )
Exercice 4 : 1 - z = a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c
2 - z = ∏ (0 ,1,2 ,5 )
3 - z = ∑ (3 ,4 ,6 ,7 )

Exercice 7 : 1 - 10 bits
Exercice 9 : f1 = a + b + c + d , f2 = a + c ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ c
Exercice 10 : (BE 87 )16 , (6002 )8
Exercice 11 : (92 )10 = (1011100 )2 = (10010010 )DCB ,
(7904 )10 = (1111011100 00 )2 = (0111100100 000100 )DCB
Exercice 13 : 6 ou 7
Exercice 14 : F = bc + bd + acd + acd
Exercice 15 : F = c + ab
Exercice 16 : S1 = AB + ABCD + ACD , S2 = PV + FXV , S3 = A + B + D
Exercice 17 : F1 = a ⋅ b + c , F2 = b + a ⋅ d
Exercice 23 : A = a + bc , B = a + c , abc
Exercice 25 : 5 entrées et 1 sortie
Exercice 26 : f = abcabc , f = a + b + a + b + c + a + c ,
g = abcd , g = a + c + d + b + c + d

Exercice 27 : V + = pp ⋅ pe , V − = pe

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