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Prof : Mr. CHEBBI Khalil
www.khalilo-maths.blogspot.com
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N° GSM (+216) : 22275371 - 97108370

Juillet 2013

Module
Analyse

Développements limités usuels en 0

=

!

+

!

+

+

+

!

+

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+

+(

+

!

=

+

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√ +
√ +

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+

=
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=

khalilo1988@hotmail.fr

+


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+



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+

+
+

+
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+



(

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× ×…×(


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× ×…×

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× ×…×

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Page 1

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× ×…×
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+ (− )
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Module
Analyse

Développements en série entière usuels
Fonction

Développement en série entière
=∑
=∑

(

=∑

(

=∑
( + )


( − )

( − )

( − )
( + )

√ +
√ +

√ −
√ +

=∑
=

=∑

(

=

!
!

(

+∑

=

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=

)
)

( )!

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(

=∑

=∑

+ +∑
+∑

=∑
=∫
=∫
=∫

= −∫
=∫

khalilo1988@hotmail.fr

(

+

!

=

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+

!

+

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+

!

+



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(

(

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=∑
=∑

=∑

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+

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(

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+

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+

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.

.

+

+



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Page 2



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+
+

.





.

+



+

.

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+

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.

− +




.

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+



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.



+

× ×…×(

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× ×…×(

× ×…×(

(

!

=

= −∑

=∑

+

=− −

(− )

(− )

+

+

+

=

!

)

= +

= −∑

=∫

=

=

=

=∑

=

+

+

)…(

=∑

=∫

+

Intervalle de validité

.

+







,
,
,

.

∈ ]− , [.

∈ ]−| |, | |[.
∈ ]−| |, | |[.
∈ ]−| |, | |[.

∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.

..



,

.

∈ ]− , [.

.

.

+



∈ ]− , [.

.
+

∈ ]− , [.

.



+

.
.

.

∈ ]− , [.
∈ ]− , [.

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Module
Analyse

Dérivées usuelles
Fonction

| |

Dérivée

















\{ }






=

− −





=
√ −





khalilo1988@hotmail.fr

Dérivabilité

+



=

=


+


Page 3





\

+

\

\



]− , [
]− , [

] , +∞[
]− , [



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Module
Analyse

Primitives usuelles
I. Polynômes et fractions simples.
Fonction
( −

( −

)



)

( − )


−( +



( −

∈ \{− }

,

∈ \ ,
)

( −

∈ \{− }

,



Primitive



,

( −

∈ \{− }




( − ) +

+

+

+

Intervalles
∈ ; ∈
∈ \( {− }) ;
∈ ]−∞, [, ] , +∞[

)
)

]

)

| − |
+

II.Puissances et inverses de fonctions usuelles.
Fonction

Primitive

]−∞, [, ] , +∞[



Intervalles


+

(

−(

)−
)−




=

=

=

=

khalilo1988@hotmail.fr

+

+



+

+

;

+

]−∞, [, ] , +∞[
;( + ) [

− +

;

+

]−∞, [, ] , +∞[




]−∞, [, ] , +∞[
]
;( + ) [

]




− +
; +
]
;( + ) [

− +





Page 4

]

;( + ) [

− +

, +∞[

;

+

III. Fonctions usuelles.
Fonction


;

Primitive
(








Intervalles
] , +∞[

− )
|
|
(
|

|
|
)
|

− +
; +
]
;( + ) [
]−∞, [, ] , +∞[

IV. Fonctions dérivées de fonctions réciproques.
Fonction
;

;

Primitive









Intervalles

]− ; [
]−∞ ; − [ , ]− ; [ , ] ; +∞[

]−| | ; | |[
]−∞ ; −| |[ , ]−| | ; | |[ , ]| | ; +∞[
]− ; [

;






;





(

)

+

(

)



khalilo1988@hotmail.fr

+
+√

]−| | ; | |[

| |

=

+

(− )


+

+

(

+ )

(

+ )

] ; +∞[
]−∞ ; − [
]−∞ ; − [
√ ; +∞
>0∶
< 0 ∶ −∞ ; −√−
√− ; +∞

Page 5

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Module
Analyse

Trigonométrie
I. Fonctions circulaires.
1. Première propriétés.
Ensemble de définition
Période
Parité
( − )
( + )

paire



+

Ensemble de dérivabilité
Dérivée

2. Valeurs remarquables.

paire

\






\



+



khalilo1988@hotmail.fr

\

impaire



\

impaire





indéfini

+





Page 6



+








\

=





− −








\

=



indéfini



II.Fonctions circulaires.
1. Définition.
Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une difficulté pour
résoudre les équations du type sin = . Par exemple, , et + 4 ont tous la même image par
la fonction sinus. Les « fonctions circulaires réciproques » Arcsin, Arccos, Arctan et Arccot ne sont
pas de vraies réciproques, puisque les fonctions de départ ne sont pas des bijections ; ajoutons
qu’elles ne sont pas périodiques. Il faut les combiner avec la périodicité et, pour sinus et cosinus,
avec les symétries par rapport à l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses respectivement.
 Si sin = ∈ [−1 ; 1], alors = Arcsin mod 2 ou = − Arcsin mod 2 .
 Si cos = ∈ [−1 ; 1], alors = Arccos mod 2 ou = − Arcsin mod 2 .
 Si tan = ∈ , alors = Arctan mod .
 Si cotan = ∈ , alors = Arccot mod .
Le problème réciproque est, lui, sans difficulté : si = Arcsin , alors sin = .

2. Propriétés.

Ensemble de
définition
Ensemble d’image
Période
Parité
Ensemble de
dérivabilité

[− ; ]

[− ; ]

]− ; [

]− ; [

]− ⁄ ; ⁄ [

aucune
impaire

Dérivée

] ; [

]− ⁄ ; ⁄ [

aucune
aucune

] ; [

aucune
impaire

aucune
aucune

3. Relations.
 Arccos + Arcsin

= .

 Arctan + Arccot

= .

 Arctan + Arctan
 Arccot

=

Arctan

= Arctan

+

+ Arctan

 Arctan + Arccot

=



>0
.
<0

1
−1

0

<1
>1
, ≥0 .
>1
, ≤0

= sign( ) × .

III. Fonctions circulaires.

1. Corollaires du théorème de Pythagore.

 cos

+ sin

= 1.

2. Addition des arcs.

 cos

 cos( + ) = cos cos − sin sin .
 sin( + ) = sin cos + sin cos .
 tan( + ) =

.

 cos( − ) = cos cos + sin sin .
khalilo1988@hotmail.fr

=

.

 sin

 cos + cos

=

= 2 cos

 sin + sin

= 2 sin

 cos − cos

= −2 sin

 tan + tan
Page 7

=

(



)

cos

cos

.

.
.

.

sin

.

 sin − sin

 sin( − ) = sin cos − sin cos .
 tan( − ) =

 tan − tan

.

3. Arc double, arc moitié.

 cos

 cos 2 = cos
.

=

 sin 2 = 2 cos sin .

− sin

 tan

= 2 cos

=

= 2 sin
(

=

=

cos
.

=

=

.

 cos

4. Formule de Moivre.

.

=

 (cos + sin ) = cos
+ sin .
 cos 3 = cos − 3 cos sin = 4 cos − 3 cos .
 sin 3 = 3 cos sin − sin = 2 sin − 4 sin
 tan 3 =

.

 tan 2 =

.

d'où :

.

+ 1 = 1 − 2 sin .
 cos

En notant = tan comme dans les règles de Bioche, on a :
 sin

)

.

.

.

5. Arcs en progression arithmétique.




sin

(

=

)



.



IV. Trigonométrie hyperbolique.

 ch
 ch( + ) = ch ch + sh sh .
 sh( + ) = sh ch + sh ch .
 th( + ) =

− sh

 sh + sh
 th + th

 ch − ch

 ch( − ) = ch ch − sh sh .

 sh − sh

 sh( − ) = sh ch − sh ch .

 ch

=

.

 ch 2 = ch

 sh 2 = 2 ch sh .

En notant = th on a :
 sh
d'où :

=

 th − th

.

− sh

 th

= 2 ch

=

(

=

= 1.
 ch + ch

.

 th( − ) =

cos

= 2 ch

= 2 sh

=

(

= 2 sh

= 2 sh

=

(

− 1 = 1 + 2 sh

=

.

)

)

.

.

Page 8

.

.

ch

.

sh

.

ch

.
 sh

.

=

.

 th 2 =

 (chs + sh ) = ch
+ sh .
 ch 3 = ch − 3 ch sh = 4 ch − 3 ch .
 sh 3 = 3 ch sh + sh = 4 sh + 3 sh .
 tan 3 =

.

ch

 ch

.

khalilo1988@hotmail.fr

)

=

.

.



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