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Ann´
ee 2012-2013

Coll`
ege Nicolas de Sta¨
el - 4`
eme

Le¸
con 10 : Le th´
eor`
eme de Pythagore
1

Th´
eor`
eme de Pythagore

Th´
eor`
eme. (Propri´et´e admise).
Dans un triangle rectangle, on a l’´egalit´e de Pythagore : le carr´e de la longueur du plus grand cˆ
ot´e
d’un triangle rectangle est ´egal `
a la somme des carr´es des longueurs des 2 autres cˆ
ot´es .
Cette ´egalit´e est vraie seulement pour les triangles rectangles !
B

hypot´enuse BC = 5
AB = 3

A
C

AC = 4
On a bien BC 2 = AB 2 + AC 2 . Par cons´equent, le triangle ABC est rectangle.

Propri´
et´
e. Dans un triangle rectangle, le plus grand cˆ
ot´e est celui qui est oppos´e `
a l’angle droit. On
l’appelle l’ hypot´enuse du triangle rectangle.

2

Reconnaˆıtre si un triangle est rectangle ou non, `
a partir des
longueurs de ses cˆ
ot´
es

On calcule s´epar´ement :
• le carr´e de la longueur du plus grand cˆot´e
• la somme des carr´es des longueurs des 2 autres cˆot´es
En comparant les r´esultats, on peut alors conclure :
• lorsque les 2 r´esultats sont diff´erents, le triangle n’est pas rectangle
• lorsque les 2 r´esultats sont ´egaux, le triangle est rectangle

3

Calculer une longueur dans un triangle rectangle

On trace une figure `
a main lev´ee pour rep´erer la longueur cherch´ee.
On ´ecrit l’´egalit´e de Pythagore pour ce triangle rectangle. On calcule le carr´e de la longueur inconnue.
Par passage `
a la racine carr´ee, on en d´eduit la longueur inconnue.
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4

Exercices

1 A la r`egle et au compas, tracer un triangle ABC tel que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm.
Calculer l’aire du triangle ABC.
2 Un carr´e a pour cˆ
ot´e 1 m.
Quelle la longueur de sa diagonale au d´ecim`etre pr`es ? au centim`etre pr`es ?
3 Dans le triangle ABC, H est le point de [AC] tel que [BH] soit la hauteur issue de B.
B

AB = 10 cm

A

C
H

AH = 8 cm

HC = 2, 5 cm

Le triangle ABC est-il rectangle ?
4 Ecran TV.
4
16
ou . Les fabricants
Les ´ecrans de t´el´evision sont des rectangles qui sont en g´en´eral au format
9
3
indiquent, comme caract´eristique de la taille de l’´ecran, la longueur de sa diagonale.
1. Calculer au cm pr`es la longueur de la diagonale d’un ´ecran rectangulaire de dimensions 80 cm par 45 cm.
2. Quel est le format de cet ´ecran ? Pourquoi ?
5 KLM est un triangle rectangle en L tel que KM = 53 cm et KL = 28 cm.
1. Calculer son aire.
2. Calculer son p´erim`etre.
3. Calculer la hauteur issue du sommet de l’angle droit au mm pr`es.
6 Exercice n˚52 page 194 : une preuve du th´eor`eme de Pythagore.
7 Soient 2 points A et B. On trace la droite (AB).
On place un point C sur cette droite (AB).
Soit la droite ∆ perpendiculaire en C `
a (AB), et 2 points D et E (qu’on prendra distincts de C) sur ∆.
1. Faire une figure. Tracer les segments [AD], [DB], [BE] et [EA].
2. Mesurer la longueur de ces segments. Calculer num´eriquement s = AD2 + BE 2 .
3. Calculer num´eriquement t = BD2 + AE 2 . Que constate-t’on ?
4. D´emonstration en ´ecrivant l’´egalit´e de Pythagore dans les triangles ACD et BCE.
Montrer que s = AC 2 + CD2 + BC 2 + CE 2 . Puis d´emontrer que t = s.

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