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Série 1 Espaces probabilisés .pdf


Nom original: Série 1 - Espaces probabilisés.pdf
Auteur: Khalilo_CH

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Prof : Mr. CHEBBI Khalil
www.khalilo-maths.blogspot.com
fb/ KhMathematiques
N° GSM (+216) : 22275371 - 97108370

Juin 2013

Module
Probabilités

Série n°1
Espaces probabilisés
Exercice 1 :
Soit 𝐴, 𝐵 , 𝐴𝑘 𝑘∈𝐼 des événements d’un espace probabilisable (Ω, ℱ). Montrer les propriétés
suivantes.

1) 𝐴 = 𝐵 ⟺ 1𝐴 = 1𝐵
4) 1𝐴 = 1 − 1𝐴

2) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟺ 1𝐴 ≤ 1𝐵
5) 1𝐴∪𝐵 = 1𝐴 + 1𝐵 − 1𝐴 1𝐵

7) 1⋂𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 = inf𝑖∈𝐼 1𝐴𝑖

3) 1𝐴⋂𝐵 = 1𝐴 1𝐵
6) 1𝐴△𝐵 = 1𝐴 − 1𝐵

8) 1⋃𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 = sup𝑖∈𝐼 1𝐴𝑖

Exercice 2 :
Soit (𝐴𝑘 )𝑘≥1 une suite d’événements d’un espace probabilisable (Ω, ℱ).
1) Donner l’écriture ensembliste des événements suivants :
Au moins l’un (resp. aucun) des événements (𝐴𝑘 )𝑘≥1 se réalise (resp. ne se réalise).
Expliciter ces événements lorsque Ω = ℝ et 𝐴𝑘 =

1
𝑘

,1 +

1
𝑘

, ∀𝑘 ≥ 1.

2) Interpréter les événements suivants, donnés par leurs écritures ensemblistes,

lim inf 𝐴𝑛 = ⋃𝑛 ≥1 ⋂𝑘≥𝑛 𝐴𝑘 et lim sup 𝐴𝑛 = ⋂𝑛≥1 ⋃𝑘≥𝑛 𝐴𝑘 .
Expliciter ces événements lorsque :
i/ 𝐴2𝑛 = 𝐴2 et 𝐴2𝑛+1 = 𝐴1 , ∀𝑛 ;
ii/ Ω = ℝ et 𝐴𝑘 =
iii/ 𝐴2𝑛 = −1, 2 +

1
𝑘
1
𝑛

,1 +

1
𝑘

, ∀𝑘 ≥ 1 ;

et 𝐴2𝑛 +1 = −2 −

1
𝑛

, 1 , ∀𝑛 ;

iv/ 𝐴𝑘 = −∞, 𝑎𝑘 et 𝑎𝑘 𝑘 est une suite de nombre réels.

Exercice 3 :
Soit Ω, ℱ, ℙ un espace probabilisé, 𝐴, 𝐵 et 𝐴𝑛 𝑛 des événements.
1) Montrer les propriétés suivantes :
i/ Si ℙ 𝐴 = 1 alors ℙ 𝐵\𝐴 = 0.
ii/ Si ℙ 𝐴 = 0 alors ℙ 𝐵⋂𝐴 = 0 et ℙ 𝐵\𝐴 = ℙ 𝐵 .
2) On suppose que la suite 𝐴𝑛 𝑛 est une suite croissante (resp. décroissante) d’événements.
Montrer les propriétés suivantes :

ℙ ⋃𝑛 𝐴𝑛 = lim𝑛⟶∞ ↑ ℙ 𝐴𝑛 (resp. ℙ ⋂𝑛 𝐴𝑛 = lim𝑛⟶∞ ↓ ℙ 𝐴𝑛 ) (Beppo-Levy).
3) Montrer les inégalités suivantes :

ℙ lim inf 𝐴𝑛 ≤ lim inf ℙ 𝐴𝑛 ≤ lim sup ℙ 𝐴𝑛 ≤ ℙ lim sup 𝐴𝑛 . (Fatou)
On dit que la suite 𝐴𝑛 𝑛 est convergente si lim inf 𝐴𝑛 = lim sup 𝐴𝑛 (qu’on notera lim 𝐴𝑛 ).
khalilo1988@hotmail.fr

Page 1

Vérifier que dans ce cas, ℙ 𝐴𝑛

𝑛

est convergente dans ℝ et que lim ℙ 𝐴𝑛 = ℙ lim 𝐴𝑛 .

Exercice 4 :
Soit (Ω, ℱ, ℙ) un espace probabilisé et 𝐴 & 𝐵 deux événements. On pose

ℙ 𝐴⋂𝐵 = 𝛼 ,ℙ 𝐴⋂𝐵 = 𝛽,ℙ 𝐴⋂𝐵 = 𝛾 ,ℙ 𝐴⋂𝐵 = 𝛿 .
1) Calculer 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 .
2) Montrer que ℙ 𝐴⋂𝐵 − ℙ 𝐴 ℙ 𝐵 = 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾.
3) Montrer que ℙ 𝐴⋂𝐵 − ℙ 𝐴 ℙ 𝐵 ≤

1
4

(donner des exemples d’égalité).

Exercice 5 :
Soit 𝐴𝑛 𝑛 une suite d’événements d’un espace probabilisé Ω, ℱ, ℙ .
1) Montrer que 1⋃𝑛 𝐴𝑘 = 1 − 𝑛𝑘=1 1 − 1𝐴𝑘 . En déduire la formule de Poincaré
𝑘=1

ℙ ⋃𝑛𝑘=1 𝐴𝑘 =

𝑛
𝑟=1

−1

𝑟−1

𝑘 1 <⋯<𝑘 𝑟

ℙ 𝐴𝑘 1 ⋂ … ⋂𝐴𝑘 𝑟 .

2) Un facteur répartit au hasard n factures dans n boîtes aux lettres, une par boîte. Calculer les
probabilités suivantes :
i/ Chaque facture arrive à destination.
ii/ Au moins une facture arrive à destination.
iii/ Aucune facture n’arrive à destination.

Exercice 6 : (Problème de Galilée)
Le prince de Toscane demande un jour à Galilée : « Pourquoi lorsqu’on jette trois dés non pipés
obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces sommes soient obtenues de six
façons différentes? ». Construire un modèle probabiliste et traduire la question posée en terme de
calcul de probabilité.

Exercice 7 :
On joue à « pile » ou « face » avec une pièce de monnaie, pas nécessairement équilibrée. On
effectue une infinité de tirage. Montrer que l’événement « tous les tirages ont donné pile » est de
probabilité nulle.

Exercice 8 :
Un fumeur a dans chacune de ses deux poches une boîte contenant au départ 𝑁 allumettes. Chaque
fois qu’il désire fumer une cigarette, il choisit une poche au hasard. Calculer la probabilité 𝑝 pour
que, le fumeur se rendant compte pour la première fois qu’une boite est vide, l’autre contienne
encore 𝑎 allumettes 𝑎 ∈ 0,1, … … 𝑁 .

khalilo1988@hotmail.fr

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