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Série 6 (Valeurs propres Vecteurs propres Diagonalisation) .pdf



Nom original: Série 6 (Valeurs propres-Vecteurs propres-Diagonalisation).pdf
Auteur: Khalilo_CH

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Prof : Mr. CHEBBI Khalil
www.khalilo-maths.blogspot.com
fb/ KhMathematiques
N° GSM (+216) : 22275371 - 97108370

Juillet 2013

Module
Algèbre

Série n°6

Valeurs propres - Vecteurs propres
Diagonalisation
Exercice 1.1.
5
2
4
On donne la matrice 𝐴 = 12
3
8 .
−12 −4 −9
1. Déterminer le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 𝑋 et le spectre de 𝐴.
2. Déterminer les sous-espaces propres.

𝐴 est-elle diagonalisable ?
3. Diagonaliser la matrice 𝐴 en la matrice 𝐷 dans une base bien choisie.
Ecrire 𝐴 en fonction de 𝐷 .
4. En déduire une expression simple de 𝐴𝑛 , pour 𝑛 entier naturel.
Exercice 1.2.
2 1 −2
On donne la matrice 𝐵 = 1 𝛼 −1 .
1 1 −1
1. Déterminer l’ensemble Ω des réels 𝛼 tels que 𝐵 ne soit pas diagonalisable.
2. Pour 𝛼 ∈ Ω, déterminer une matrice inversible 𝑃 telle que 𝑃 −1 𝐵𝑃 soit triangulaire
supérieure.

Exercice 1.3.
1 2 −3
On donne la matrice 𝐴 = 2 4 −6 .
4 8 −12
1. Calculer le rang de 𝐴.
En déduire sans calcul le polynôme caractéristique de 𝐴.
2. Donner les éléments propres de 𝐴.
Pourquoi est-elle diagonalisable ?
Donner la matrice diagonalisée en précisant la base choisie.
3. Déterminer une expression simple de 𝐴𝑛 , pour 𝑛 ∈ ℕ.

Exercice 1.4.
On donne la matrice 𝐴 =
khalilo1988@hotmail.fr

3 −3
−1 5
−1 3

2
−2 .
0
Page 1

1. Déterminer le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 𝑋 et les valeurs propres de 𝐴.
2. Diagonaliser la matrice 𝐴 en une matrice 𝐷 dans une base bien choisie.
3. Ecrire 𝐴 en fonction de 𝐷 .
En déduire une expression simple de 𝐴𝑛 , pour tout entier naturel 𝑛.

Exercice 1.5.
0
0
Soit 𝐽 =
0
1

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0 .
1
0

1. La matrice 𝐽 est-elle diagonalisable sur ℝ ? sur ℂ ?
Le cas échéant la diagonaliser.
2. Montrer que la convergence des suites définies par les relations :

𝑎𝑛+1 =
𝑏𝑛+1 =
𝑐𝑛+1 =
𝑑𝑛+1 =

1
2
1
2
1
2
1
2

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑏𝑛 + 𝑐𝑛
𝑐𝑛 + 𝑑𝑛

et les valeurs 𝑎0 , 𝑏0 , 𝑐0 et 𝑑0 .

𝑑𝑛 + 𝑎𝑛

Exercice 1.6.
Soit 𝐴 =

3
8
5

0 0
4 0 .
0 1

1. Déterminer une base ℬ′ dans laquelle 𝐴 est diagonalisable.
2. On s’intéresse à l’équation 𝑋 2 = 𝐴 dans la quelle 𝑋 est une matrice de ℳ3 ℝ .
3. (a) Montrer que les sous-espaces propres de 𝐴 sont stables par 𝑋.
4. (b) Montrer que tout vecteur propre de 𝐴 est aussi un vecteur propre de 𝑋.
(c) En déduire que 𝑋 2 est aussi diagonalisable dans ℬ′ et résoudre l’équation 𝑋 2 = 𝐴 dans
cette base.

Exercice 1.7.

Soit 𝐶 =

𝑎1
𝑎2
..
.
𝑎𝑛

un vecteur non nul de ℝ𝑛 et la matrice 𝑀 = 𝐶′𝐶 dans ℳ3 ℝ .

1. Montrer que le rang de 𝑀 est égal à 1.
En déduire son polynôme caractéristique.
2. La matrice est-elle diagonalisable ?

khalilo1988@hotmail.fr

Page 2

Exercice 1.8.
Soit 𝑓 ∈ ℒ ℳ2 ℝ

telle que 𝑓

𝑎
𝑐

𝑏
𝑑
=
𝑑
−𝑐

−𝑏
.
𝑎

1. 𝑓 est-elle diagonalisable ?
2. Si oui, déterminer la forme diagonale et une matrice de passage.

Exercice 1.9.
1
Soit 𝐴 = 0
0

𝑎
1
0

1
𝑏 .
𝑐

1. Pour quelles valeurs de 𝑎, 𝑏 ,𝑐 la matrice 𝐴 est-elle diagonalisable ?
2. On pose 𝑎 = 0, 𝑏 = 3 et 𝑐 = 2.
Ecrire la matrice réduite de 𝐴 sous sa forme la plus simple et une matrice de passage.

Exercice 1.10.
1
Soit 𝐴 = −1
1

𝑚
1
0

𝑚
−1 .
2
1. Pour quelles valeurs de 𝑚 la matrice 𝐴 est-elle diagonalisable ?
2. On pos 𝑚 = 0.
Ecrire la matrice réduire de 𝐴 sous sa forme la plus simple et une matrice de passage.

Exercice 1.11.
Soit 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗

𝑖

∈ ℳ ℝ telle que 𝑎𝑖𝑗 = .
𝑗

1. Montrer que 𝐴 est de rang 1.
2. La matrice est-elle diagonalisable ?
3. Donner la forme réduite la plus simple de 𝐴.

Exercice 1.12.
Soient 𝑢 et 𝑣 deux endomorphismes d’un même espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que 𝑢 ∘ 𝑣 et 𝑣 ∘ 𝑢 ont les mêmes valeurs propres.

Exercice 1.13.
𝑐
𝑏
𝑒
𝑑
∈ ℳ4 ℝ .
𝑓
−1
0 −1
1. A quelle condition 𝐴 est-elle diagonalisable ?
2. On suppose 𝑎 = 𝑓 = 0 et 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 𝑒 = 1.
Ecrire la matrice réduite de 𝐴 sous la forme réduite la plus simple et une matrice de passage.

1 𝑎
0 1
Soit 𝐴 =
0 0
0 0

khalilo1988@hotmail.fr

Page 3

Exercice 1.14.
Soient 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ ℂ telles que 𝐴 = 𝐵 2 .
1. Montrer que 𝐵 diagonalisable ⟹ 𝐴 diagonalisable.
2. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 1.15.
On considère l’endomorphisme de ℝ3 défini par :

𝑥 ′ = −𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑦′ = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 .
𝑧′ = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧
Déterminer les valeurs propres ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres.

Exercice 2.1.
0
3
2
Soit la matrice : 𝐴 = −2
7
4 .
3 −9 −5

1. Montrer que le polynôme caractéristique de 𝐴 est 𝑃𝐴 𝜆 = −𝜆 1 − 𝜆 2 .
2. Déterminer les vecteurs propres et les sous espaces propres de 𝐴.
3. Montrer que 𝐴 s’écrit sous la forme 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 −1 , 𝐷 étant une matrice diagonale.
4. Calculer la matrice 𝑃 −1 .
5. Déduire que la matrice 𝐵 = 𝑡𝐴 + 2𝐼 , est diagonalisable.
6. Préciser les valeurs propres et les sous espaces propres de 𝐵 .

Exercice 2.2.
On considère la matrice 𝐴𝑚

2 −2 1
= 2 −3 𝑚 .
−1 2
0

1. Vérifier que 𝜆 = 1 est une valeur propre de 𝐴𝑚 pour tout 𝑚 ≥ 0, [Eviter de calculer le
polynôme caractéristique de 𝐴𝑚 , 𝑃𝐴𝑚 𝜆 ].
2. Supposons que : 𝑚 = 0.


Calculer le déterminant et la trace de la matrice 𝐴0 .



En déduire les autres valeurs propres de 𝐴0 .



Montrer que 𝐴0 n’est pas diagonalisable.

3. Supposons que : 𝑚 = 2.


Montrer que : 𝐴22 + 2𝐴2 − 3𝐼 = 0. En déduire que 𝐴2 est inversible et déterminer

𝐴−1
2 .



Montrer que 𝐴2 est diagonalisable et qu’ils existent une matrices 𝐷 diagonale et une
matrice 𝑃 inversible telles que 𝐴2 = 𝑃𝐷𝑃 −1 .
En déduire que 𝐴𝑛2 est diagonalisable, 𝑛 ∈ ℕ∗ et préciser ses valeurs propres et ses
sous-espaces propres.

khalilo1988@hotmail.fr

Page 4

4. Supposons que : 𝑚 ≥ 0.


Calculer le polynôme caractéristique de 𝐴𝑚 : 𝑃𝐴𝑚 𝜆 .



Déterminer les valeurs de 𝑚 pour que la matrice 𝐴𝑚 soit diagonalisable.

Exercice 2.3.
Réduire à la forme canonique la forme quadratique suivante et préciser sa nature et sa signature :

𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 6𝑦 2 + 56𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 14𝑥𝑧 − 36𝑦𝑧.
Exercice 2.4.
𝑥
2
1 −1
Soit 𝐴 = 1
−1 3 et 𝑢 = 𝑦 .
𝑧
−1 3
0
1. Résoudre 𝐴𝑢 = 0.
2. Déterminer la forme quadratique 𝑞 associée à la matrice 𝐴.
3. Déterminer le rang de 𝑞.
4. Décomposer 𝑞 en somme de carrés.
5. Donner la signature de 𝑞.

khalilo1988@hotmail.fr

Page 5


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