POLY analyse ECP 2010 2011 .pdf



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ANALYSE
Polycopi´e de cours

´
Ecole
Centrale Paris
Premi`ere Ann´ee
Lionel Gabet
lionel.gabet@ecp.fr
2010/2011

2

Pr´
esentation
Le cours d’analyse de premi`ere ann´ee de l’ECP a pour objectif principal de former les ´el`eves
a` la compr´ehension et a` la maˆıtrise de concepts cl´es :
• Les outils de repr´esentation et de mod´elisation de l’al´eatoire qui seront utilis´es en
probabilit´e.
• Les outils et m´ethodes de base de l’analyse fonctionnelle qui constitue le cadre des
mod`eles utilis´es par la plupart des sciences et par leurs applications dans l’industrie et
les services.
Mˆeme si cela n’est pas notre objectif principal, nous fournirons de nombreux outils utiles pour
les sciences physiques, la m´ecanique, le traitement du signal, l’automatique, la finance. . .
Ce cours est organis´e autour des chapitres suivants :
• tribus, mesures, int´egration
• transformation de Fourier
• analyse hilbertienne

Pr´
e-requis et compl´
ements
En fin de polycopi´e sont rassembl´es un certain nombre de r´esultats suppos´es connus et
indispensables `a la bonne compr´ehension du cours ainsi que quelques compl´ements.

Structure du polycopi´
e
L’´etude des d´emonstrations aide efficacement a` comprendre et maˆıtriser les concepts et les
outils enseign´es.
Dans un souci de clart´e, les d´emonstrations du chapitre “tribus, mesures, int´egration”, assez
longues et techniques, ont ´et´e retir´ees de la pr´esentation des concepts et des r´esultats et
plac´ees dans un chapitre sp´ecial. En revanche, les d´emonstrations des chapitres suivants ont
´et´e conserv´ees en place mais dans un format r´eduit afin de les distinguer des ´enonc´es et
commentaires.

3

4

Mise en garde
Ce polycopi´e a ´et´e con¸cu pour faciliter l’assimilation des notions pr´esent´ees dans le cours
d’analyse. Il n’est pas suffisant en lui-mˆ
eme pour r´
eussir les contrˆ
oles.
Il constitue un support pour :
• le cours en amphith´eˆatre
• les travaux dirig´es en petites classes
• le travail personnel non pr´esentiel
Certains documents compl´ementaires (notamment les annales des ann´ees pass´ees, les corrig´es
des TD et quelques exercices suppl´ementaires) se trouvent sur le site des ´etudes de l’ECP :

www.etudes.ecp.fr

Sommaire
1 Tribus, mesures, int´
egration

9

1.1

Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Tribus usuelles sur IN et IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1

G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Ensembles usuels L+ (F) et L(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3

Fonctions ´etag´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

D´efinition et propri´et´es d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5

Construction de mesures sur la droite des r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1

Mesure longueur ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2

Rappel : parties d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3

Parties n´egligeables

1.5.4

Mesures de Borel et de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.5

Mesures de Borel-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.6

Compl´ement : construction d’une mesure sur un espace quelconque par les
th´eor`emes de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

Int´egrale sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7

Fonctions sommables et int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8

Propri´et´es ´el´ementaires de l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9

Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10 Propri´et´es fines de l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11 Fonctions d´efinies par des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Comparaison des int´egrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Ensembles de fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13.1 Ensembles Lp , p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13.2 Ensemble L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5

6

SOMMAIRE
1.13.3 Ensembles Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.14 Int´egrales de Lebesgue multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.3 Th´eor`emes de Tonelli-Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.14.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.15 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.16 R´esum´e des principales notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Tribus, mesures, int´
egration :

emonstrations

39

2.1

Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2

Tribus sur les ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3

Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1

Ensembles L+ (F) et L(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2

Fonctions ´etag´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4

D´efinition et propri´et´es d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5

Construction de mesures sur la droite des r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1

Mesure longueur ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.2

Parties n´egligeables

2.5.3

Mesures de Borel et Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.4

Mesures de Borel-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6

Int´egrale sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7

Fonctions sommables et int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8

Propri´et´es ´el´ementaires de l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.9

Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.10 Propri´et´es fines de l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11 Fonctions d´efinies par des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.12 Comparaison des int´egrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.13 Ensembles de fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.13.1 Ensembles Lp , p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.13.2 Ensemble L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.13.3 Ensembles Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.14 Int´egrales de Lebesgue multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

SOMMAIRE

7

2.14.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.14.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.14.3 Th´eor`emes de Tonelli-Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.14.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.15 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Transformation de Fourier

73

3.1

Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2

Inversion de la transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3

Facultatif : preuve du th´eor`eme d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4

Transformation de Fourier dans S
3.4.1

3.5

Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

R´esum´e des principales notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Analyse hilbertienne
4.1

4.2

4.3

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

83

G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1

D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.2

Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.3

Les suites de carr´es sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.4

Th´eor`eme de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.5

Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.6

Dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Espaces L2 et analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1

Espaces L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2

S´eries de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.3

Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1

D´erivation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2

D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.3

Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

R´esum´e des principales notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A Rappels de topologie

105

A.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8

SOMMAIRE

A.3 Compl´ement : espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.4 Espaces et parties compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.5 Support d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B Diff´
erents types de convergence

113

B.1 Convergence simple et convergence presque partout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.3 Applications de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.4 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.5 Convergence Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.6 Compl´ement : convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.7 Compl´ement : relations entre les diff´erents types de convergence . . . . . . . . . . . . 118
B.8 Compl´ement : convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
C Int´
egrale de Riemann

119

C.1 Fonctions `
a valeurs r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C.1.1 Int´egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C.1.2 Fonctions r´egl´ees et int´egrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C.1.3 Une premi`ere construction de l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 121
C.1.4 Une seconde construction de l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 121
C.1.5 Construction par les sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.1.6 Construction par les sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
C.2 Fonctions `
a valeurs dans un espace vectoriel norm´e complet . . . . . . . . . . . . . . 122
C.3 Propri´et´es des int´egrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
C.4 Int´egrales g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
D S´
eries de Fourier

127

D.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
D.2 Th´eor`emes de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
D.3 Compl´ement : un th´eor`eme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D.4 Th´eor`eme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D.5 Th´eor`eme de Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
E Fonctions `
a variations born´
ees

131

Chapitre 1
Tribus, mesures, int´
egration
L’objectif de ce chapitre est de pr´esenter des concepts fondamentaux pour l’analyse et les
probabilit´es. Ces notions peuvent sembler abstraites et non triviales mais elles constituent
n´eanmoins les bases des probabilit´es et de l’analyse fonctionnelle.
En probabilit´es, les notions de parties mesurables, de fonctions mesurables, de mesures et
d’int´egrale de Lebesgue permettront de d´efinir les ´ev`enements, les variables al´eatoires, les
mesures de probabilit´e, les fonctions de r´epartition, les moments. . .
En analyse, ces notions permettront de construire des espaces fonctionnels incontournables
comme les espaces de Lebesgue ou de Sobolev qui constituent le cadre de l’analyse de Fourier,
de l’analyse hilbertienne, de la convolution, des op´erateurs. . .
Il faut bien noter que l’int´egrale de Lebesgue, mˆeme si celle-ci poss`ede des propri´et´es
pratiques bien utiles (d´ej`a connues ou nouvelles) comme les th´eor`emes de la convergence
domin´ee et de la convergence monotone, ceux sur les int´egrales `a param`etre ou ceux de
Tonelli et Fubini, est surtout incournable de part ses “bonnes” propri´et´es topologiques.
Pour toutes ces raisons, les cours d’analyse et de probabilit´e feront d’incessantes et incontournables r´ef´erences aux notions pr´esent´ees ici.
Remarque : l’int´
egrale au programme des classes de Math´
ematiques Sp´
eciales n’est ni celle de Riemann, ni celle de Lebesgue.
Il s’agit en fait d’une int´
egrale Lebesgue des fonctions continues par morceaux construite `
a partir de l’int´
egrale de Riemann !
L’introduction de cette int´
egrale “hybride” a consid´
erablement simplifi´
e la r´
esolution de nombreux exercices et probl`
emes relatifs
`
a l’int´
egration. En revanche, elle ne permet de pr´
esenter ni les outils indispensables en probabilit´
es (tribus, variables al´
eatoires,
mesures de probabilit´
es. . . ) ni certaines propri´
et´
es fondamentales en analyse (densit´
e, compl´
etude. . . ). Elle n’est, en outre,
enseign´
ee ni `
a l’Universit´
e ni a
` l’´
etranger.

Il faut noter enfin que, dans un souci de claret´e, les d´emonstations (souvent tr`es techniques)
des r´esultats cit´es dans ce chapitre ont ´et´e report´ees au chapitre suivant.

9

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

10

1.1

Tribus

En analyse comme en probabilit´e, on est amen´e `a chercher a` mesurer des parties d’un
ensemble Ω. L’ensemble des parties mesurables consid´er´ees sera appel´e tribu.
Le fait qu’une partie de Ω soit mesurable ne d´epend pas de ses propri´et´es intrins`eques mais
de propri´et´es relatives aux autres parties mesurables. Plus pr´ecis´ement, la tribu des parties
mesurables doit v´erifier certains axiomes :

efinition 1 (Tribu sur un ensemble)
Une tribu T sur un ensemble Ω est une famille non vide de parties de Ω v´erifiant les axiomes
suivants :
• (T 1) : T contient ∅.
• (T 2) : T est stable par compl´ementarit´e : si A ∈ T alors Ω\A ∈ T .
• (T 3) : T est stable par r´eunions d´enombrables : si ∀n ∈ N An ∈ T alors ∪n∈N An ∈ T .
Dans cette d´efinition, il est bien sˆ
ur possible de changer l’axiome (T 1) par (T 10 ) : T contient
Ω et l’axiome (T 3) par (T 30 ) : T est stable par intersections d´enombrables.
Exemples :
Sur un ensemble a` trois ´el´ements Ω = {a, b, c}, on peut construire comme tribu :
• {∅, Ω}
• {∅, {a}, {b, c}, Ω}
• {∅, {b}, {c, a}, Ω}
• {∅, {c}, {a, b}, Ω}
• {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, Ω} = P(Ω)
On pourra v´erifier qu’il n’y a pas d’autres tribus sur cet ensemble.
Il est facile de d´emontrer que :
Propri´
et´
e 1.1 Si T est une tribu sur un ensemble Ω alors :
• T contient ∅ et Ω.
• T est stable par compl´ementarit´e.
• T est stable par intersections et r´eunions d´enombrables.
• T est stable par diff´erences (ensemblistes) : si A ∈ T et B ∈ T alors B\A ∈ T .

1.2. TRIBUS USUELLES SUR IN ET IR

11

Dans le domaine des probabilit´es, les ´el´ements d’une tribu sont appel´es ´
ev`
enements.
Maintenant, lorsque l’on s’int´eresse aux parties mesurables d’un ensemble Ω, il faudra pr´eciser
quelle tribu on consid`ere :


efinition 2 (Espace mesurable)
On appelle espace mesurable tout couple (Ω, T ) o`
u Ω est un ensemble et T une tribu sur cet
ensemble.

1.2

Tribus usuelles sur IN et IR

Lorsque l’on travaille sur des ensembles finis ou d´enombrables (comme N, Z ou Q), la tribu
la plus utilis´ee est celle constitu´ee de toutes les parties de l’ensemble consid´er´e dite tribu
discr`
ete.
Lorsque l’on travaille dans R ou dans Rn , la tribu la plus souvent consid´er´ee est la tribu
bor´
elienne que nous allons d´efinir comme la tribu engendr´ee par les ouverts.
Pour d´efinir la notion de tribu engendr´ee par un ensemble C quelconque de parties de Ω, il
suffit de constater que l’ensemble des tribus de Ω est muni d’une relation d’ordre naturelle :
T1 ⊂ T2 si et seulement si toute partie de T1 est dans T2
On peut alors poser :


efinition 3 La tribu engendr´ee par C est la plus petite tribu de Ω contenant C. C’est aussi
l’intersection de toutes les tribus contenant C.

Ce qui permet de d´efinir la tribu de Borel :


efinition 4 (Tribu de Borel)
On appelle tribu de Borel de Rn et l’on note B(Rn ) la tribu engendr´ee par les ouverts de Rn .
Ses ´el´ements sont appel´es bor´eliens.

On peut v´erifier (voir l’exercice 2 du T.D. 1) que la tribu de Borel de R est aussi celle
engendr´ee par les intervalles ouverts (ou bien ferm´es) de R ou celle engendr´ee par les
intervalles du type ] − ∞, a[, a variant dans R ou Q.
La tribu de Borel contient ´evidemment tous les ouverts et tous les ferm´es de Rn mais aussi
beaucoup d’autres parties qu’il est tr`es difficile de caract´eriser !

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

12

1.3
1.3.1

Applications mesurables

en´
eralit´
es

Maintenant que l’on sait d´efinir des ensembles de parties mesurables (tribus), nous allons
pouvoir d´efinir la notion d’application mesurable.
En analyse, les applications mesurables sont les applications que l’on pourra essayer
d’int´egrer. En probabilit´e les applications mesurables sont les variables al´
eatoires.

efinition 5 (Application mesurable)
L’application h : (Ω, F) → (Ω0 , F 0 ) est dite mesurable lorsque h−1 (F 0 ) est incluse dans F
i.e. :
∀B ∈ F 0
h−1 (B) ∈ F
Remarque : on rappelle que par d´
efinition h−1 (B) = {x ∈ Ω/ h(x) ∈ B}.

On montre alors que :
Propri´
et´
e 1.2
• Si F 0 est engendr´ee par un ensemble C 0 de parties de Ω0 alors h est mesurable si et
seulement si h−1 (C 0 ) ⊂ F
• La compos´ee de deux applications mesurables est mesurable.
En analyse, on travaillera souvent avec des applications mesurables particuli`eres, dite
bor´eliennes :

efinition 6 (Fonction bor´
elienne)
On appelle fonction bor´elienne toute fonction mesurable de (Rn , B(Rn )), n ≥ 1, dans
(Rp , B(Rp )), p ≥ 1.
On remarque alors que toute fonction continue de Rn dans Rp est bor´
elienne. En effet
si h est une fonction continue, l’image r´eciproque de tout ouvert est un ouvert, donc, en
notant C 0 l’ensemble des ouverts de Rp , on obtient h−1 (C 0 ) ⊂ B(Rn ) ce qui prouve bien la
mesurabilit´e de h grˆace a` la propri´et´e pr´ec´edente.

1.3.2

Ensembles usuels L+ (F) et L(F)

Notons L+ (F) l’ensemble des applications mesurables de (Ω, F) dans (R+ , B(R+ )) et L(F)
l’ensemble des applications mesurables de (Ω, F) dans (R, B(R)).
Les ensembles L+ (F) et L(F) sont ceux sur lesquels on va construire l’int´egrale de Lebesgue.
Dans ces ensembles, la mesurabilit´e est une propri´et´e tr`es stable. Plus pr´ecisement :

1.3. APPLICATIONS MESURABLES

13

Propri´
et´
e 1.3
Dans L+ (F) :
• 1A est mesurable si et seulement si A ∈ F.
• Si f et g sont mesurables alors f + g et f.g le sont aussi.
• Si ∀n ∈ N fn est mesurable alors sup fn , inf fn , lim fn (si la suite converge) et
(si la s´erie converge) sont aussi mesurables.

P∞
0

fn

Propri´
et´
e 1.4
Dans L(F) :
• Les propri´et´es pr´ec´edentes sont conserv´ees.
• L(F) est un espace vectoriel.
• Si f est mesurable alors |f | l’est aussi.
On peut en d´eduire que toute fonction continue par morceaux est borelienne puisque
toute fonction continue par morceaux est combinaison lin´eaire de produits de fonctions
continues (donc boreliennes) et de fonctions caract´eristiques d’intervalles (donc boreliennes).
On peut mˆeme consid´erer que toutes les applications `a valeurs r´eelles rencontr´ees dans
la pratique sont bor´eliennes car il faut recourir `a l’axiome du choix pour construire des
applications non bor´eliennes (comme la fonction caract´eristique de l’ensemble de Vitali
construit page 46).

1.3.3

Fonctions ´
etag´
ees

Les fonctions suivantes qui sont `a la fois simples et mesurables constituent l’ensemble de base
pour la construction de l’int´egrale de Lebesgue comme les fonctions en escalier constituent
l’ensemble de base pour la construction de l’int´egrale de Riemann.

efinition 7 (Fonctions ´
etag´
ees)
L’ensemble des fonctions ´etag´ees est l’ensemble des fonctions mesurables prenant un nombre
fini de valeurs c’est-`a-dire :
E(F) = vect{1A , A ∈ F} = {

N
X

αk 1Ak , ∀k ∈ [1, N ] Ak ∈ F, αk ∈ R}

k=1

Remarque : ici nous consid´erons des fonctions ´etag´ees a` valeurs dans R.
Le th´eor`eme suivant est tr`es important car il permet d’approcher toute fonction mesurable
par des fonctions ´etag´ees :

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

14

Th´
eor`
eme 1.5 (Approximations des fonctions mesurables par des fonctions ´
etag´
ees)

• Toute fonction born´ee de L(F) est limite uniforme d’une suite de fonctions ´etag´ees.
• Toute fonction de L+ (F) est limite simple d’une suite croissante de fonctions ´etag´ees
positives.
Remarque : grˆace a` la d´ecomposition f = f+ − f− avec f+ = sup(f, 0) et f− = sup(−f, 0),
le second point assure que toute fonction f de L(F), mˆeme non born´ee, est limite simple
d’une suite de fonctions ´etag´ees.

1.4


efinition et propri´
et´
es d’une mesure

De mˆeme que l’on peut consid´erer sur un mˆeme ensemble diff´erents ensembles de parties
mesurables (tribus), on peut consid´erer plusieurs mesures sur chacune de ces tribus.
En analyse, les mesures usuelles sont la mesure de d´ecompte sur les ensembles finis ou
d´enombrables et la mesure de Lebesgue sur la tribu borelienne sur R ou Rd . En probabilit´e,
les mesures sont appel´ees mesures de probabilit´
e ou simplement probabilit´
es.
Pour la coh´erence de la th´eorie, chacune de ces mesures doit v´erifier certains axiomes :

efinition 8 (Mesure sur une tribu)
Soit T une tribu sur un ensemble Ω.
Une mesure sur T est une application µ de T dans R+ v´erifiant les trois axiomes suivants :
• (M 1) : µ(∅) = 0
• (M 2) : µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) si A et B sont des ´el´ements de T disjoints.
• (M 3) : si (Bn )n∈N ↑ B alors µ(B) = limn→∞ (µ(Bn )) = supn∈N (µ(Bn ))
Proposition 1.6 (Caract´
erisation)
Une application µ de T dans R+ est une mesure sur T si et seulement si elle v´erifie les deux
axiomes suivants :
• (M 1) : µ(∅) = 0
• (M 4) : µ(∪∞
n=0 An ) =
T.

P∞

n=0

µ(An ) si les An sont des ´el´ements deux `a deux disjoints de

´
1.5. CONSTRUCTION DE MESURES SUR LA DROITE DES REELS

15

En outre, les mesures v´erifient :
Propri´
et´
e 1.7
• A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B)
• µ(B\A) = µ(B) − µ(A) si A ⊂ B et µ(A) < ∞
• A ⊂ ∪An =⇒ µ(A) ≤

P

µ(An )

• Si Bn ↓ B et si l’un des Bn est de mesure finie alors µ(B) = lim(µ(Bn )) = inf(µ(Bn ))

1.5

Construction de mesures sur la droite des r´
eels

Comme il n’est pas possible de caract´eriser simplement les ´el´ements de B(R), on ne peut pas
d´efinir une mesure sur B(R) par sa valeur sur chaque bor´elien. Le principe va plutˆot consister
a` d´efinir une mesure sur des ´el´ements simples de B(R) puis a` la prolonger.
Dans Rd , le principe expos´
e ci-dessous se g´
en´
eralise sans probl`
eme.

1.5.1

Mesure longueur ext´
erieure

On peut d´efinir dans R+ la longueur d’un intervalle (a, b) (non n´ecessairement ouvert ou
ferm´e ni born´e) en posant :
λ((a, b)) = b − a
Cette longueur peut ˆetre ´etendue aux unions finies d’intervalles disjoints :
λ(∪N
n=0 (ai , bi )) =

N
X

(bi − ai )

n=0

puis (sous une condition de stabilit´e) aux unions d´enombrables d’intervalles disjoints :
Proposition 1.8 Si la r´eunion d’intervalles disjoints ∪i∈N (ai , bi ) est ´egale `a une union finie
d’intervalles disjoints ∪j∈[1,N ] (αj , βj ) alors :
λ(∪i∈N (ai , bi )) =

N
X

λ((αj , βj ))

j=1

On peut maintenant d´efinir :

efinition 9 (Mesure ext´
erieure)
en posant :

On d´efinit la mesure ext´erieure de toute partie A de

R

λ∗ (A) = inf{


X
n=0

λ(An ), A ⊂ ∪n∈N (An ), ∀n An union finie d0 intervalles disjoints}

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

16
ou encore



X

λ (A) = inf{

(bi − ai ), A ⊂ ∪i∈N (ai , bi )}

i=0

Cette mesure (longueur) ext´erieure v´erifie les propri´et´es suivantes (diff´erentes de celles d’une
v´eritable mesure) :
Propri´
et´
e 1.9
• A ⊂ B =⇒ λ∗ (A) ≤ λ∗ (B)
• λ∗ (∪n∈N An ) ≤

1.5.2

P∞

n=0

λ∗ (An )

Rappel : parties d´
enombrables

Les ensembles d´enombrables sont les ensembles qui peuvent ˆetre mis en bijection avec N (on
dit qu’ils ont le mˆeme cardinal que N).
Les ensembles d´enombrables usuels sont N, Z et Q.
Parfois on pr´ef`ere utiliser le terme ”strictement d´enombrable” pour la d´efinition pr´ec´edente,
le terme ”d´enombrable” d´esignant alors les ensembles strictement d´enombrables ou finis.
Remarque : on notera que la notion de d´
enombrabilit´
e est plus subtile qu’il n’y parait. Ainsi,

N et Q sont deux ensembles en
bijection (tout deux d´
enombrables) alors que N est strictement inclus dans Q. Au sens de la bijection N et Q sont ´
equivalents
alors qu’au sens de l’inclusion N est strictement plus petit que Q. On constate que la notion de ”nombre d’´
el´
ements” n’a pas
de sens clair pour les ensembles infinis, c’est pourquoi Cantor a d´
evelopp´
e la notion de ”cardinalit´
e”.

1.5.3

Parties n´
egligeables

La notion de partie n´egligeable est fondamentale en analyse et en probabilit´e.

efinition 10 (Parties n´
egligeables)
On appelle partie n´egligeable de R, toute partie de R de mesure ext´erieure nulle.
Remarque : une partie n´egligeable n’est pas n´ecessairement Borel-mesurable (c’est-`a-dire
dans B(R)).
Les propri´et´es de la mesure ext´erieure permettent d’´etablir que :
Propri´
et´
e 1.10
• Si M ⊂ N et si N est n´egligeable alors M est n´egligeable.
• Toute r´eunion d´enombrable de parties n´egligeables est n´egligeable.

´
1.5. CONSTRUCTION DE MESURES SUR LA DROITE DES REELS

17

Exemples :
Un singleton est n´egligeable relativement a` la mesure de Lebesgue puisque λ∗ ({a}) =
λ([a, a]) = a − a = 0.
Toute partie finie est n´egligeable : λ∗ (∪N
n=1 an ) ≤

PN

n=1

λ∗ ({an }) = 0.

Les ensembles N, Z ou Q sont n´egligeables. Par exemple λ∗ (N) ≤

P+∞

n=0

λ∗ ({n}) = 0.

Plus g´
en´
eralement toute partie d´
enombrable est n´
egligeable. En revanche, la

eciproque est fausse.
Propri´
et´
e 1.11
Il existe des parties de R n´egligeables pour la mesure de Lebesgue mais non d´enombrables.
Un exemple c´el`ebre est l’ensemble triadique de Cantor (voir le chapitre suivant consacr´e aux
d´emonstrations).
Notion de presque partout
On dit qu’une propri´et´e est vraie presque partout si et seulement si elle est vraie sur R
priv´e d’un ensemble n´egligeable. En abr´eg´e, on utilise souvent les initiales p.p. a` la place
de presque partout. On peut mˆeme noter µ-p.p. si l’on a besoin de pr´eciser que la mesure
concern´ee est µ.
En probabilit´e, une propri´et´e vraie presque partout relativement a` une mesure de probabilit´e
P est dite vraie presque sˆ
urement et on note cela P -p.s.

1.5.4

Mesures de Borel et de Lebesgue

Il est facile de v´erifier que la tribu engendr´ee par les unions d´enombrables d’intervalles
disjoints de R est la tribu bor´elienne B(R).
En outre,

efinition 11 (Tribu de Lebesgue)
¯ R) la tribu engendr´ee par les ouverts de R et les
On appelle tribu de Lebesgue et l’on note B(
parties n´egligeables de R.
On peut alors montrer que :
Th´
eor`
eme 1.12 (Existence et unicit´
e du prolongement de λ)
• La restriction de λ∗ `a B(R) est l’unique prolongement de λ `a B(R). On l’appelle mesure
de Borel et on la note aussi λ.

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

18

¯ R) est l’unique prolongement de λ `a B(
¯ R). On l’appelle mesure
• La restriction de λ∗ `a B(
¯ voire mˆeme λ.
de Lebesgue et on la note λ
Il faut noter que toutes les parties de R ne sont pas mesurables (voir l’exemple de Vitali
dans le chapitre suivant consacr´e aux d´emonstrations).

1.5.5

Mesures de Borel-Stieltjes

Mˆeme pour des fonctions de la variable r´eelle, il est parfois indispensable, notamment en
probabilit´
e, d’int´egrer relativement a` des mesures autres que celle de Borel-Lebesgue.
Si, pour une fonction donn´ee F de R dans R croissante et continue `a droite, on remplace la
mesure longueur sur les intervalles par la mesure µ ainsi d´efinie :
µ(]s, t]) = F (t) − F (s)
µ([s, t[) = F (t− ) − F (s− )

µ([s, t]) = F (t) − F (s− )
µ(]s, t[) = F (t− ) − F (s)

alors les r´esultats pr´ec´edents subsistent et d´efinissent une nouvelle mesure sur les tribus de
Borel et Lebesgue dite mesure de Borel-Stieltjes associ´ee a` F .
R´eciproquement, pour une mesure sur B(R), µ, donn´ee, on peut d´efinir une fonction
croissante et continue a` droite grˆace a` la relation F (t) = µ(]0, t]) si t ≥ 0 et F (t) = −µ(]t, 0])
si t < 0.
En utilisant abusivement le vocabulaire probabiliste, une telle fonction F peut ˆetre appel´ee
“fonction de r´
epartition1 ”.
Il y a ainsi bijection (`a une constante additive pr`es) entre l’ensemble des mesures bor´eliennes
(sur la tribu de Borel) et l’ensemble des “fonctions de r´epartition” (croissantes et continues
a` droite).

1.5.6

Compl´
ement : construction d’une mesure sur un espace
quelconque par les th´
eor`
emes de Caratheodory

Pr´
ec´
edemment, nous avons construit la mesure de Lebesgue `
a partir de la notion de mesure ext´
erieure. Nous allons maintenant
pr´
esenter une approche plus th´
eorique mais plus g´
en´
erale.
Pour ´
enoncer les th´
eor`
emes, nous avons besoin des notions suivantes :

• Une classe de l’ensemble Ω est une famille non vide de parties de Ω.
• Un anneau de Boole de Ω est une classe de Ω stable par intersections finies et passage au compl´
ementaire.
• On appelle pr´
eP
-mesure sur un anneau de Boole toute application µ de cet anneau dans

µ(∪∞
A
)
=
µ(An ) si les An sont des ´
el´
ements deux `
a deux disjoints.
n
n=0
n=0

R+ v´erifiant µ(∅) = 0 et

• Une pr´
e-mesure µ sur un anneau de Boole est dite σ-finie s’il existe une suite (Ωn ) de parties de Ω croissante pour
l’inclusion telle que ∀n ∈ N µ(Ωn ) < ∞ et Ω = ∪Ωn .
1

Voir le polycopi´e de probabilit´es pour la d´efinition classique de la notion de fonction de r´epartition

´
´
1.6. INTEGRALE
SUPERIEURE

19

Nous pouvons maintenant ´
enoncer le th´
eor`
eme de Caratheodory (Existence et unicit´
e du prolongement d’une pr´
emesure) :
Si µ est une pr´
e-mesure σ-finie sur un anneau de Boole alors il existe une unique mesure prolongeant µ sur la tribu engendr´
ee
par cet anneau
Remarque : sous des hypoth`
eses plus faibles, on peut ´
enoncer un th´
eor`
eme d’unicit´
e. Pour cela on a besoin de la notion de
π-classe : on appelle π-classe toute classe stable par intersections finies. On peut alors ´
enoncer :
Si deux mesures sont ´
egales sur une π-classe alors elles sont ´
egales sur la tribu engendr´
ee par cette π-classe.

1.6

Int´
egrale sup´
erieure

Munis des notions de tribus, d’applications mesurables et de mesures, nous allons pouvoir
d´efinir la notion d’int´egrale.
Dans ce paragraphe, nous allons pr´eciser les axiomes attendus pour une int´egrale des
fonctions de L+ puis constater que cela nous conduit `a consid´erer une mesure et a` int´egrer
des fonctions ´etag´ees.
Dans le paragraphe suivant, nous donnerons alors naturellement une d´efinition constructive
de l’int´egrale de Lebesgue.
Commen¸cons par d´efinir une int´egrale a` valeur dans R+ pour toute fonction mesurable `a
valeurs dans R+ sans utiliser a priori la notion de mesure :

efinition 12 (Int´
egrale sup´
erieure)
On appelle int´egrale sup´erieure sur l’espace mesurable (Ω, F) toute application L de L+ (F)
dans R+ telle que :
• L(0) = 0
• L(f + g) = L(f ) + L(g)
• Si fn ↑ f dans L+ alors L(fn ) ↑ L(f ) dans R+ .
ou ce qui revient au mˆeme :
• L(0) = 0
• L(

P∞

n=0

fn ) =

P∞

n=0

L(fn )

On la note souvent :
L(f ) =

Z ∗


Toute int´egrale sup´erieure v´erifie :

f

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

20
Propri´
et´
e 1.13
• ∀α ∈ R+ L(α.f ) = α.L(f )
• f ≤ g =⇒ L(f ) ≤ L(g)

En fait, d´efinir une int´egrale revient a` d´efinir une mesure. En effet :
Th´
eor`
eme 1.14 (Bijection fondamentale)
• Toute int´egrale sup´erieure L sur (Ω, F) d´efinit une mesure µ sur F grˆace `a
µ(A) = L(1A )
• R´eciproquement, toute mesure sur F tribu de Ω d´efinit une int´egrale sup´erieure L sur
(Ω, F) en posant :
∀f ∈ L+ L(f ) = sup{L(ϕ), ϕ ∈ E+ / ϕ ≤ f }
Notations usuelles :
L(f ) =

Z ∗

f dµ =

Z ∗




f (x)dµx =

Z ∗

f (x)µ(dx)



Du th´eor`eme pr´ec´edent, on retiendra que :
• Il existe une formule d’int´egration pour les fonctions ´etag´ees :
Z ∗X
N
Ω k=1

αk 1Ak dµ =

N
X

αk µ(Ak )

k=1

• Dans le cas d’une fonction en escalier (positive) sur un segment, l’int´egrale de Riemann
et l’int´egrale (sup´erieure) de Lebesgue co¨ıncident :
Z ∗ X
N
[a,b] k=1

αk 1]ak ,ak+1 [ dµ =

N
X

αk (ak+1 − ak ) =

k=1

Z bX
N
a k=1

αk 1]ak ,ak+1 [ (x).dx

• L’int´egrale (sup´erieure) de Lebesgue des fonctions mesurables se d´eduit de celle des
fonctions ´etag´ees :
Z
Z


(ϕn ) ↑ f =⇒ (





ϕn dµ) ↑

f dµ



´
1.7. FONCTIONS SOMMABLES ET INTEGRALE
DE LEBESGUE

1.7

21

Fonctions sommables et int´
egrale de Lebesgue

Dans ce paragraphe, nous allons consid´erer les fonctions `a valeurs dans R. Pour les fonctions
a` valeurs dans C, il suffit de s´eparer les parties r´eelles et imaginaires.
On dira qu’une fonction est sommable si et seulement si sa valeur absolue est sommable
c’est-`a-dire que l’int´egrale sup´erieure de son module est finie :

efinition 13 (Fonction sommable)
Une fonction f est dite sommable pour la mesure µ si elle est mesurable et si :
Z ∗

|f |dµ < ∞



Notation : l’ensemble des fonctions µ-sommables se note L1 (Ω, F, µ). S’il n’y a pas de
confusion possible, on utilise aussi les notations L1 (F) ou encore L1 .
Pour d´efinir l’int´egrale d’une fonction sommable, il suffit de s´eparer la partie
positive
R
f + =R sup(f, 0) et la Rpartie n´egative f − = sup(−f, 0) de f . En effet, si Ω∗ |f |dµ < ∞
alors Ω∗ f+ dµ < ∞ et Ω∗ f− dµ < ∞ ce qui permet de poser :

efinition 14 (Int´
egrale d’une fonction L1 )
Pour une fonction f ∈ L1 on pose :
Z

f dµ =



Z ∗

+

f dµ −



Z ∗


f − dµ ∈ R
Z

Remarque : pour une fonction positive sommable on a :

f dµ =

Z ∗



f dµ < +∞.



Notations usuelles :
I(f ) =

Z


f dµ =

Z


f (t)dµt =

Z

f (t)µ(dt)




efinition 15 (Espace des fonctions sommables)
L’ensemble L1 (Ω, F, µ) constitu´e des fonctions sommables est un sous-espace vectoriel de
l’ensemble des fonctions mesurables L(Ω, F).

efinition 16 (Fonctions localement sommables)
On dira qu’une fonction est localement sommable sur R si elle est sommable sur tout segment
de R. On notera L1loc (Ω, F, µ) ou L1loc l’espace vectoriel des fonctions localement sommables.
On remarquera que toute fonction sommable est localement sommable (L1 ⊂ L1loc ).

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

22

1.8

Propri´
et´
es ´
el´
ementaires de l’int´
egrale de Lebesgue

Les propri´et´es pr´esent´ees ici, cons´equences imm´ediates de la construction de l’int´egrale de
Lebesgue, sont a` la fois intuitives et tr`es utiles.

Propri´
et´
e 1.15

• L’application qui `a f associe

Z

f dµ est une forme lin´eaire sur L1 .

• Si f est mesurable et f = 0 µ-pp alors f est sommable et

Z

f dµ = 0.

• Si f est mesurable et s’il existe g sommable telle que |f | ≤ g alors f est sommable.
• Si
alors f est sommable si et seulement si |f | l’est et on a alors
Z f est mesurable
Z
| f dµ| ≤ |f |dµ.
• Si f ≥ g µ − pp alors

Z

f dµ ≥

Z

gdµ.

Propri´
et´
e 1.16

• Si f est mesurable et positive :
∀α > 0

µ({x/ f (x) ≥ α}) ≤

1Z
f.dµ
α

• Si f est mesurable et positive :
Z

• Si

Z

f.dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 p.p.

f.dµ < ∞ alors |f | < ∞ p.p.

• Si f est sommable :
f = 0 p.p. ⇐⇒ ∀A ∈ F

Z

f.dµ = 0

A

On peut noter que l’espace vectoriel L1 n’est pas complet.

´ ES
´ FONDAMENTALES DE L’INTEGRALE
´
1.9. PROPRIET
DE LEBESGUE

1.9

23

Propri´
et´
es fondamentales de l’int´
egrale de Lebesgue

Pour des suites monotones, on peut intervertir facilement int´egrale et limite :
Th´
eor`
eme 1.17 (Beppo-Levi ou convergence monotone)
• Si (fn ) est une suite croissante de fonctions mesurables positives `a valeur dans R+ ,
alors :
Z
Z
lim fn = lim fn
• Si (fn ) est une suite croissante de fonctions sommables, alors :
lim

Z

fn =

Z

lim fn

• Si (fn ) est une suite d´ecroissante de fonctions sommables, alors :
lim

Z

fn =

Z

lim fn

Remarque : les limites pr´ec´edentes ne sont pas n´ecessairement finies.
Le th´eor`eme suivant est aussi tr`es utile pour intervertir int´egrale et limite. Il vient en
compl´ement des th´eor`emes utilisant la convergence uniforme comme hypoth`ese (voir annexe
B).
Th´
eor`
eme 1.18 (Convergence domin´
ee de lebesgue)
Soit (Ω, F, µ) un espace mesur´e. Si (fn ) est une suite de fonctions v´erifiant :
• Pour tout entier n fix´e, fn est mesurable sur Ω.
• La suite (fn ) converge µ-pp vers une fonction f mesurable sur Ω.
• Il existe une fonction g sommable sur Ω telle que pour tout n entier et pour presque
tout t de Ω : |fn (t)| ≤ g(t).
alors
• f est sommable sur Ω
Z

• ( fn dµ) converge vers
On peut alors montrer que :

Z

f dµ.

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

24

Th´
eor`
eme 1.19 (Int´
egration terme `
a terme des s´
eries)
1

Si (fn ) est une suite de fonctions de L (R, B(R), λ) et si

∞ Z
X

|fn |dλ < ∞

0

alors


P



P∞



R P∞

fn est absolument convergente λ-pp

0

fn est sommable
0

PR

fn dλ =

fn dλ

Compl´
ement : le lemme de Fatou
Si on connait la notion de limite inf´
erieure (voir page 41), on peut ´
enoncer le r´
esultat suivant :
Th´
eor`
eme (lemme de Fatou) :
Si (fn ) est une suite de fonctions mesurables positives alors :

Z

Z
lim inf fn .dλ ≤ lim inf



Z

Z
lim fn .dλ ≤

On peut en d´
eduire que


1.10

fn .dλ


n→+∞

fn .dλ lorsque ces limites existent.

lim
n→+∞



Propri´
et´
es fines de l’int´
egrale de Lebesgue

Lebesgue a ´etabli le r´esultat suivant :
Th´
eor`
eme 1.20 (D´
erivabilit´
e des fonctions monotones)
Toute fonction monotone de R dans R est d´erivable presque partout et sa d´eriv´ee peut ˆetre
prolong´ee sur R en une fonction bor´elienne.
De ce r´esultat, on peut d´eduire le th´eor`eme suivant qui nous sera utile dans la suite de ce
cours :
Th´
eor`
eme 1.21 (Primitive d’une fonctions sommable)
Soient f une fonction localement sommable de R dans R et a ∈ R. La fonction F d´efinie par
F (x) =

Z
[a,x]

f (t).dλt

est continue partout et d´erivable presque partout avec F 0 = f p.p.
La r´eciproque n’est pas toujours vraie mais on peut ´etablir que :

´
´
1.11. FONCTIONS DEFINIES
PAR DES INTEGRALES

25

Th´
eor`
eme 1.22 (Int´
egration d’une d´
eriv´
ee)
Soit f une fonction de R dans R. Si
• f est d´erivable en tout point de R.
• f 0 est localement sommable sur R.
alors
∀(a, b) ∈ R2

f (b) − f (a) =

Z
[a,b]

f 0 (t).dλt

On retiendra des r´esultats pr´ec´edents que l’int´
egration et la d´
erivation ne sont pas

eritablement des op´
erations r´
eciproques l’une de l’autre.
Citons aussi le r´esultat suivant qui nous servira a` plusieurs reprises dans les chapitres
suivants :
Th´
eor`
eme 1.23 (Caract´
erisation de la nullit´
e par les fonctions tests)
Soit I un intervalle de R. Soit D(I) l’ensemble des fonctions ind´efiniment d´erivables sur I
et `a support compact. Soit f une fonction localement sommable de I dans R.
Si
∀ϕ ∈ D(I)

Z

f ϕ.dλ = 0

I

alors f = 0 p.p.

1.11

Fonctions d´
efinies par des int´
egrales

Avec l’int´egrale de Riemann, les th´eor`emes relatifs aux int´egrales a` param`etres imposent
des conditions strictes sur la continuit´e de l’int´egrande relativement a` ses deux variables
(voir annexe C.3 ) alors qu’elles ne jouent pas du tout le mˆeme rˆole dans le probl`eme pos´e.
Les th´eor`emes suivants vont montrer que l’on peut relacher consid´erablement les hypoth`eses
relatives a` la variable d’int´egration.
Remarque : en revanche les th´
eor`
emes suivants sont assez proches de ceux au programme des classes pr´
eparatoires. On notera
tout de mˆ
eme bien comment les hypoth`
eses ont ´
et´
e affaiblies.

Soient un espace mesur´e (Ω, F, µ) et R muni de sa tribu Bor´elienne B(R). Soient (a, b) ∈ R2
tels que a < b et x0 ∈ [a, b].
On consid`ere dans ce paragraphe une fonction f de Ω × [a, b] dans R telle que ∀x ∈ [a, b] la
fonction t 7→ f (t, x) est mesurable.

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

26

Th´
eor`
eme 1.24 (Int´
egration d’une limite)
Si
• Pour tout x de ]a, b[, la fonction qui `a t ∈ Ω associe f (t, x) est sommable sur Ω.
• Pour presque tout t de Ω, limx→x0 f (t, x) = l(t).
• Il existe un voisinage ]a0 , b0 [ de x0 inclus dans ]a, b[ et une fonction g sommable sur Ω
telle que pour tout x ∈]a0 , b0 [ et pour presque tout t de Ω : |f (t, x)| ≤ g(t).
alors
• l ∈ L1
• x→x
lim

0

Z

f (t, x)dµ(t) =



Z

l(t)dµ(t)



On a donc :
lim

x→x0

Z

f (t, x)dµ(t) =



Z

lim f (t, x)dµ(t)

Ω x→x0

Remarque : la troisi`eme hypoth`ese est une domination locale, au voisinage de x0 .
Th´
eor`
eme 1.25 (Continuit´
e en un point)
Si
• Pour tout x de ]a, b[, la fonction qui `a t associe f (t, x) est sommable sur Ω.
• Pour presque tout t de Ω, la fonction qui `a x associe f (t, x) est continue en x0 .
• Il existe un voisinage ]a0 , b0 [ de x0 inclus dans ]a, b[ et une fonction g sommable sur Ω
telle que pour tout x ∈]a0 , b0 [ et pour presque tout t de Ω : |f (t, x)| ≤ g(t).
alors la fonction x 7→

Z


f (t, x)dµ(t) est continue en x0 .

Remarque : l`a encore, la troisi`eme hypoth`ese est une domination locale, au voisinage de x0 .
Th´
eor`
eme 1.26 (Continuit´
e sur un intervalle)
Si
• Pour tout x de ]a, b[, la fonction qui `a t associe f (t, x) est mesurable sur Ω.
• Pour presque tout t de Ω, la fonction qui `a x associe f (t, x) est continue sur ]a, b[.
• Il existe une fonction g sommable sur Ω telle que pour tout x ∈]a, b[ et pour presque
tout t de Ω : |f (t, x)| ≤ g(t).

´
1.12. COMPARAISON DES INTEGRALES
DE RIEMANN ET DE LEBESGUE

alors la fonction x 7→

Z

27

f (t, x)dµ(t) est continue sur ]a, b[.



Remarque : dans la premi`ere hypoth`ese on a pu remplacer sommable par mesurable.
Remarque : la troisi`eme hypoth`ese est ici une domination globale sur ]a, b[ mais on peut la
remplacer par une domination locale au voisinage de chaque point x0 de ]a, b[ (la fonction g
d`epend alors de chaque x0 ).
Th´
eor`
eme 1.27 (D´
erivabilit´
e)
Si
• Pour tout x de ]a, b[, la fonction qui `a t associe f (t, x) est sommable sur Ω.
• Il existe une partie N n´egligeable dans Ω telle que, pour tout t de Ω\N, la fonction qui
`a x associe f (t, x) est d´erivable sur ]a, b[.
• Il existe une fonction g sommable sur Ω telle que pour tout x ∈]a, b[ et pour tout t de
(t, x)| ≤ g(t).
Ω\N : | ∂f
∂x
alors
• x 7→

Z

f (t, x)dµ(t) est d´erivable sur ]a, b[



Z
∂f
d Z
f (t, x)dµ(t) =

(t, x)dµ(t)
dx Ω
Ω ∂x

Remarque : ce th´eor`eme se g´en´eralise aussi a` un intervalle non vide quelconque.

1.12

Comparaison des int´
egrales de Riemann et de
Lebesgue

On rappelle que l’int´egrale de Riemann peut ˆetre d´efinie a` l’aide des sommes de Riemann
mais aussi, dans R, `a l’aide des sommes de Darboux ou des int´egrales sup´erieures et inf´erieures
(voir annexe C.1).
Il est bien sˆ
ur int´eressant de comparer les deux notions d’int´egrale dans le cas d’une fonction
de la variable r´eelle.
On distingue deux cas : celui des int´
egrales de Riemann propres (sur un segment)
et celui sur les int´
egrales g´
en´
eralis´
ees (voir annexe C.4).
Th´
eor`
eme 1.28 Toute fonction Riemann-int´egrable sur un segment [a, b] est Lebesguesommable sur ce segment et les deux int´egrales co¨ıncident :
Z b
a

f (x).dx =

Z
[a,b]

f (x).dλx

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

28

En revanche, mˆeme sur un segment, il existe des fonctions Lebesgue-sommables mais non
Riemann-int´egrables (par exemple 1Q ).
Th´
eor`
eme 1.29 Toute fonction localement Riemann-int´egrable sur un intervalle [a, b[ est
Lebesgue-sommable si et seulement si elle est Riemann absolument convergente. Dans ce cas,
les deux int´egrales co¨ıncident :
Z b

f (x).dx =

Z

a

[a,b[

f (x).dλx

Les fonctions dont l’int´
egrale est Riemann semi-convergente sont donc non
Z
Z +∞
sin(t)
sin(t)
dt existe (au sens de Riemann) mais
dλt
Lebesgue-sommables. Ainsi,
t
t
R
−∞
n’existe pas (au sens de Lebesgue).
Notons aussi qu’il existe des fonctions Lebesgue-sommables mais non localement Riemannint´egrables et donc non Riemann-convergentes (encore 1Q par exemple).
Des deux r´esultats pr´ec´edents, on peut d´eduire des int´egrales de r´ef´erence :
• La fonction t 7→

1


est sommable sur [a, +∞[ pour a > 0 si et seulement si α > 1.

• La fonction t 7→

1


est sommable sur ]0, a] pour a > 0 si et seulement si α < 1.

1
• La fonction t 7→ tα ln(t)
β est sommable sur [a, +∞[ pour a > 1 si et seulement si α > 1
et β ∈ R ou α = 1 et β > 1.
1
• La fonction t 7→ tα ln(t)
β est sommable sur ]0, a] pour a < 1 si et seulement si α < 1 et
β ∈ R ou α = 1 et β > 1.

De mani`ere plus anecdotique, on montre que :
Th´
eor`
eme 1.30 (dit de Lebesgue)
Une fonction born´ee sur un segment est Riemann-int´egrable sur ce segment si et seulement
si elle est continue λ-presque partout.

1.13

Ensembles de fonctions sommables

Les fonctions consid´er´ees dans ce paragraphe sont mesurables d’un espace mesur´e (Ω, F, µ)
dans (R, B(R)) (mais les r´esultats qui suivent sont g´en´eralisables a` Rn ).

1.13.1

Ensembles Lp , p < ∞

Les espaces de fonctions les plus naturels pour l’int´egration sont les espaces Lp consitu´es des
fonctions mesurables dont la puissance p est sommable. Malheureusement leurs propri´et´es
topologiques sont un peu d´ecevantes.

1.13. ENSEMBLES DE FONCTIONS SOMMABLES

29

Sur l’ensemble des fonctions sommables, not´e L1 , on peut poser
N1 (f ) =

Z

|f |dµ



Sur l’ensemble des fonctions de puissance p sommables, not´e Lp , on peut poser
Np (f ) = (

Z

|f |p dµ)1/p



Pour ´etudier ces espaces, l’in´egalit´e suivante constitue un r´esultat tr`es utile :
Proposition 1.31 (In´
egalit´
e de H¨
older)
Soient 1 ≤ p ≤ +∞ et 1 ≤ q ≤ +∞ deux nombres conjugu´es c’est-`a-dire tels que
1/p + 1/q = 1.
Si f ∈ Lp et g ∈ Lq alors f g ∈ L1 et :
Z

|f g| ≤ Np (f )Nq (g)

Remarque : le cas p = q = 2 est appel´e in´
egalit´
e de Cauchy-Schwartz.
On peut alors montrer que :
Proposition 1.32 Np n’est pas une norme sur Lp mais juste une semi-norme.
On peut remarquer qu’il n’y a aucun lien d’inclusion entre Lp et Lq pour p < q sauf pour
une mesure finie et donc notamment en probabilit´e. En revanche on a :
∀p ≥ 1

Lp ⊂ L1loc ⊂ L

en notantL l’espace des fonctions mesurables `a valeurs dans R.

1.13.2

Ensemble L∞

L’objectif est de construire un nouveau type de majorant de tel sorte que le plus petit d’entre
eux ne soit pas modifi´e lorsque l’on change une fonction sur un ensemble n´egligeable.

efinition 17 (Majorant essentiel)
Le r´eel M est un majorant essentiel pour la fonction f de (Ω, F, µ) dans R si l’ensemble des
x ∈ Ω tels que f (x) > M est n´egligeable.

efinition 18 (Fonction essentiellement born´
ee)
On dit qu’une fonction f est essentiellement born´ee lorsque |f | admet un majorant essentiel.

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

30

On montre alors que pour une mesure non nulle :
Proposition 1.33 Toute fonction r´eelle f essentiellement major´ee admet un plus petit
majorant essentiel que l’on note sup ess(f ).
Pour une fonction essentiellement born´ee, on ´ecrit N∞ (f ) = sup ess(|f |). Cette notation
se justifie par le fait que l’on a limp→∞ Np (f ) = N∞ (f ) pour une mesure µ born´ee et f
essentiellement major´ee.
On note L∞ l’espace vectoriel des fonctions mesurables essentiellement born´ees. On remarque
que sur L∞ , l’application N∞ ne d´efinit qu’une semi-norme.
En revanche, sur l’espace vectoriel B des fonctions born´ees, ||f ||u = sup |f | est une norme
(pour laquelle B est complet).

1.13.3

Ensembles Lp

L’objectif est de construire un espace similaire `a Lp que l’on pourrait normer et qui serait
complet.

efinition 19 Dans Lp on d´efinit une relation d’´equivalence R par : f R g ⇐⇒ f = g pp.
Cette relation d’´equivalence est compatible avec la structure d’espace vectoriel de Lp . On
peut donc poser :

efinition 20 Lp est l’espace vectoriel quotient Lp /R.
Les ´el´ements de Lp sont des classes d’´equivalence de fonctions mais en pratique on les
consid`ere comme des fonctions en les confondant avec l’un quelconque de leurs repr´esentants
(les autres ´etant ´egaux a` celui-ci presque partout).
Formul´e autrement, se placer dans un espace Lp revient `
a confondre les fonctions
´
egales presque partout.
Il est important de remarquer que confondre des fonctions ´egales presque partout est
compatible avec les interpr´etations physiques puisqu’aucun instrument ne peut diff´erentier
deux signaux ´egaux presque partout. Les ´el´ements des espaces Lp ne sont donc pas des
abstractions d´econnect´ees de la r´ealit´e physique.
On v´erifie facilement que la valeur de Np (f ) ne change pas si l’on modifie f sur une partie
n´egligeable. Cela permet de d´efinir Np sur l’espace Lp .
Remarque : comme pour les espaces Lp , on fera attention `
a l’inclusion des espaces Lp .
Ainsi, on aura grˆace a` l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz L2 ([a, b]) ⊂ L1 ([a, b]) mais aucun des
deux espaces L1 (R) et L2 (R) n’est inclus dans l’autre (voir exemples page 80).
Th´
eor`
eme 1.34 Pour 1 ≤ p ≤ ∞, (Lp , Np ) est un espace vectoriel norm´e complet.

1.13. ENSEMBLES DE FONCTIONS SOMMABLES

31

Th´
eor`
eme 1.35 L2 peut ˆetre muni d’une structure d’espace de Hilbert2 grˆace `a :
(f |g) =

Z

f¯(t)g(t).dλ(t)

I

En outre, on verra plus loin que :
Th´
eor`
eme 1.36 L2 peut ˆetre muni d’une structure d’alg`ebre (non unitaire) grˆace au produit
de convolution.
On peut montrer que toute ”fonction” de Lp (1 ≤ p < ∞) peut ˆetre approch´ee d’aussi pr`es
que l’on veut (pour la norme Np ) par une fonction ´etag´ee :
Th´
eor`
eme 1.37 L’espace des fonctions ´etag´ees sommables est dense dans Lp pour p < ∞.
Pour toute fonction f de Lp et tout > 0, il existe donc une fonction ϕ ´etag´ee sommable
telle que Np (f − ϕ) < .
Notons que le th´eor`eme d’approximation des fonctions mesurables prouve que l’espace des
fonctions ´etag´ees est dense dans L∞ mais le r´esultat n’est plus valable pour les fonctions
´etag´ees sommables.
On peut aussi montrer que toute ”fonction” de Lp (1 ≤ p < ∞) peut ˆetre approch´ee d’aussi
pr`es que l’on veut (pour la norme Np ) par une fonction en escalier :
Th´
eor`
eme 1.38 L’espace des fonctions en escalier `a support compact est dense dans Lp
pour p < ∞.
Enfin, toute ”fonction” de Lp (1 ≤ p < ∞) peut aussi ˆetre approch´ee d’aussi pr`es que l’on
veut (pour la norme Np ) par une fonction continue a` support compact :
Th´
eor`
eme 1.39 L’espace des fonctions continues `a support compact est dense dans Lp pour
p < ∞.
On ´etablira mˆeme au chapitre suivant (voir le th´eor`eme 1.51) que l’espace D des fonctions
ind´
efiniment d´
erivables `
a support compact est dense dans Lp pour p < ∞.
C’est grˆace a` ces nombreuses propri´et´es topologiques que les espaces Lp s’imposent comme
espaces fonctionnels incontournables.

2

voir chapitre 4

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

32

1.14

Int´
egrales de Lebesgue multiples

La th´eorie de Lebesgue est particuli`erement plus efficace que celle de Riemann pour d´efinir
et manipuler des int´egrales multiples.

1.14.1

Tribu produit

Soit (Ω1 , F1 ) et (Ω2 , F2 ) deux espaces mesurables. Il est clair que l’ensemble des A1 × A2
avec A1 et A2 parcourant respectivement F1 et F2 n’est pas une tribu. D’o`
u la n´ecessit´e de
poser :

efinition 21 (Tribu produit)
La tribu produit de F1 et F2 est la tribu de Ω1 × Ω2 engendr´ee par l’ensemble
{A1 × A2 , A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 }
On la note F1 ⊗ F2 .
On peut v´erifier que la tribu de Borel sur R2 est le produit de deux tribus de Borel sur R.

1.14.2

Mesure produit

Soit (Ω1 , F1 , µ1 ) et (Ω2 , F2 , µ2 ) deux espaces mesur´es. On veut d´efinir une mesure µ sur la
tribu produit F1 ⊗ F2 v´erifiant
∀(A1 , A2 ) ∈ F1 × F2

µ(A1 × A2 ) = µ1 (A1 ).µ2 (A2 )

Cela n’est possible que si l’on fait une hypoth`ese suppl´ementaire sur les mesures µ1 et µ2 .

efinition 22 (Mesures σ-finies)
Une mesure µ est dite σ-finie sur Ω s’il existe une suite croissante (pour l’inclusion) de
parties de mesures finies constituant un recouvrement de Ω c’est-`a-dire Ω = ∪Ωn avec
∀n ∈ N : Ωn ⊂ Ωn+1 et µ(Ωn ) < ∞
Il est facile de v´erifier que les mesures de Lebesgue sur R et sur Rn sont σ-finies. On peut
par exemple ´ecrire Rn = ∪p∈N ] − p, p[n .
Proposition 1.40 Si les mesures µ1 et µ2 sont σ-finies, il existe sur (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 ) une
unique mesure µ telle que ∀(A1 , A2 ) ∈ F1 × F2 µ(A1 × A2 ) = µ(A1 ).µ(A2 ).

efinition 23 (Mesure produit)
La mesure µ d´efinie par la proposition pr´ec´edente est dite mesure produit. On la note
µ = µ1 ⊗ µ2 .

´
1.14. INTEGRALES
DE LEBESGUE MULTIPLES

33

Propri´
et´
e 1.41 Si les mesures µ1 et µ2 sont σ-finies, la mesure produit µ1 ⊗ µ2 est σ-finie.
On peut v´erifier que la mesure de Lebesgue sur R2 est le produit de deux mesures de Lebesgue
sur R.

1.14.3

Th´
eor`
emes de Tonelli-Fubini

Les th´eor`emes pr´esent´es ici sont tr`es importants car ils permettent, sous certaines conditions
clairement ´enon¸cables, d’intervertir l’ordre des int´egrales dans une int´egrale multiple.
Soient (Ω1 , F1 , µ1 ) et (Ω2 , F2 , µ2 ) deux espaces mesur´es, les mesures µ1 et µ2 ´etant σ-finies.
Soit (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 , µ1 ⊗ µ2 ) l’espace mesur´e produit. On note Ω = Ω1 × Ω2 , F = F1 ⊗ F2
et µ = µ1 ⊗ µ2 . On consid`ere une fonction f de Ω dans R mesurable.
Le th´eor`eme suivant assure que pour une fonction mesurable positive, l’ordre d’int´egration
n’intervient pas :
Th´
eor`
eme 1.42 (Tonelli 1)
Soit f positive et mesurable sur Ω alors :
• ∀x ∈ Ω1 y 7→ f (x, y) est F2 -mesurable et x 7→
• ∀y ∈ Ω2 x 7→ f (x, y) est F1 -mesurable et y 7→


Z ∗

f (x, y)dµ(x, y) =



Z ∗
Ω1

dµ1 (x)

Z ∗
Ω2

Z ∗
Ω2

Z ∗
Ω1

f (x, y)dµ2 (y) est F1 -mesurable.
f (x, y)dµ1 (x) est F2 -mesurable.

f (x, y)dµ2 (y) =

Z ∗
Ω2

dµ2 (y)

Z ∗
Ω1

f (x, y)dµ1 (x)

Il faut remarquer que les r´esultats sont dans R+ et qu’il n’y a pas d’hypoth`ese sur la
sommabilit´e.
Le th´eor`eme suivant constitue un outil pratique pour montrer qu’une fonction est sommable
sur un espace produit :
Th´
eor`
eme 1.43 (Tonelli 2)
Soit f mesurable sur Ω et `a valeur dans C.
Si
Z ∗


|f |dµ(x, y) < ∞ ou

Z ∗
Ω1

dµ1 (x)

Z ∗
Ω2

|f |dµ2 (y) < ∞ ou

Z ∗
Ω2

dµ2 (x)

Z ∗
Ω1

|f |dµ1 (x) < ∞

alors
f ∈ L1 (Ω, F, µ)
Enfin, le dernier th´eor`eme assure que pour une fonction sommable l’ordre d’int´egration
n’intervient pas :

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

34
Th´
eor`
eme 1.44 (Fubini)

Soit f ∈ L1 (Ω, F, µ) et `a valeur dans C. Alors :
• f ∈ L1 (µ2 ) µ1 − pp et

Z

• f ∈ L1 (µ1 ) µ2 − pp et

Z



Z


1.14.4

f dµ =

Z
Ω1

Z

dµ1

Ω2

Ω2

Ω1

f dµ2 ∈ L1 (µ1 )
f dµ1 ∈ L1 (µ2 )

f dµ2 =

Z
Ω2

dµ2

Z
Ω1

f dµ1

Changement de variables

Le th´eor`eme de changement de variables est tr`es utile aussi bien pour les int´egrales simples
que multiples. Les changements de variables classiques sont les polaires, cylindriques et
sph´eriques mais bien d’autres peuvent encore se r´ev´eler utiles.
Th´
eor`
eme 1.45 Soit U et V deux ouverts de Rd hom´eomorphes. Soit Φ un C 1 -diff´eomorphisme
de V sur U de jacobien J. Soit f une fonction num´erique bor´elienne d´efinie sur U . Alors :
• f est sommable sur U ssi f ◦ Φ.|J| est sommable sur V


Z
U

f (y)dµ(y) =

Z

f ◦ Φ(x).|J(x)|dµ(x)

V

Remarque : rappelons qu’un hom´eomorphisme est une application continue, bijective et
dont la bijection r´eciproque est continue et qu’un C 1 -diff´eomorphisme est une application
C 1 , bijective et dont la bijection r´eciproque est C 1 .

1.15

Produit de convolution

Le produit de convolution apparait naturellement avec les transformations int´egrales puisque
la transform´ee de Fourier ou de Laplace d’un produit est un produit de convolution (voir
le chapitre 3). Dans la pratique, il permet d’´etablir des r´esultats importants en analyse. Il
constitue aussi un outil usuel dans les sciences de l’ing´enieur.
Le produit de convolution est d´efini par une int´egrale a` param`etre :

efinition 24 (Produit de convolution de deux fonctions)
Soient f une fonction sommable sur RN et g une fonction de puissance p (p ≥ 1) sommable
sur RN . Alors, pour presque tout x de RN , la fonction y 7→ f (x − y)g(y) est sommable sur
RN et on peut poser :
Z
(f ∗ g)(x) = N f (x − y)g(y).dλy
R

1.15. PRODUIT DE CONVOLUTION

35

On peut alors montrer que :
Th´
eor`
eme 1.46 Si f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Lp (RN ) alors f ∗ g ∈ Lp (RN ) et
||f ∗ g||Lp ≤ ||f ||L1 .||g||Lp
Le produit de convolution a un effet r´egularisant :
Th´
eor`
eme 1.47 Si f est une fonction continue `a support compact dans RN et si g est
localement sommable sur RN alors f ∗ g est continue sur RN .
Th´
eor`
eme 1.48 Si f est une fonction k fois continˆ
ument d´erivable et `a support compact
N
N
dans R et si g est localement sommable sur R alors f ∗ g est k fois continˆ
ument d´erivable
sur RN . Et pour un op´erateur D de d´erivation :
Dk (f ∗ g) = (Dk f ) ∗ g
Des th´eor`emes pr´ec´edents, on peut d´eduire des r´esultats d’approximation int´eressants en
convolant une fonction sommable quelconque avec des fonctions judicieusement choisies.

efinition 25 (Suite r´
egularisante)
On appelle suite r´egularisante de RN toute suite (ρn ) de fonctions ind´efiniment d´erivables `
a
support compact v´erifiant :
• Pour tout entier n, le support de ρn est inclus dans la boule ouverte de centre 0 et de
rayon 1/n.
• Pour tout entier n,

Z
RN

ρn (x)dλx = 1.

• Pour tout entier n, ρn est positive
De telles suites existent. On peut, par exemple, consid´erer la fonction ρ telle que
ρ(x) = exp(

1
kxk2

−1

) si kxk < 1

et

ρ(x) = 0 si kxk ≥ 1

puis poser
nN ρ(nx)
ρn (x) = Z
ρ.dλ
R

Avec le produit de convolution et une suite r´egularisante, on peut montrer que :
Th´
eor`
eme 1.49 Si f est continue sur RN et si (ρn ) est une suite r´egularisante alors ρn ∗ f
converge vers f uniform´ement sur tout compact de RN .

36

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

Th´
eor`
eme 1.50 Si f est une fonction de Lp (RN ), p < ∞, et si (ρn ) est une suite
r´egularisante alors ρn ∗ f converge vers f pour la norme de Lp .
Et finalement, on en d´eduit le r´esultat de densit´e suivant :
Th´
eor`
eme 1.51 Pour Ω un ouvert connexe de RN , l’ensemble D(Ω) des fonctions `a support
compact ind´efiniment d´erivables sur Ω est dense dans Lp (Ω), p < ∞.

´
´ DES PRINCIPALES NOTIONS
1.16. RESUM
E

1.16

37


esum´
e des principales notions

On retiendra :
• La notion de tribu qui contient les parties mesurables (les ´ev`enements en probabilit´e),
notamment les tribus discr`etes (sur Z ou Q) et les tribus de Borel (sur R ou Rn ).
• La notion d’application mesurable (les variables al´eatoires en probabilit´e) qui correspond aux fonctions dont on pourra ´etudier la sommabilit´e.
• Les fonctions ´etag´ees qui sont les fonctions ´el´ementaires (extension de la notion
de fonction en escalier) facilement int´egrables au sens de Lebesgue et permettant
d’approcher toute fonction mesurable.
• La notion de mesure (mesure de probabilit´e en probabilit´e) notamment la mesure
cardinale et la mesure de Lebesgue.
• La notion de partie n´egligeable et la notion associ´ee de presque partout (presque

urement en probabilit´e).
• La notion d’int´egrale de Lebesgue et sa construction a` partir de l’int´egrale des fonctions
´etag´ees.
• Les propri´et´es ´el´ementaires de l’int´egrale de Lebesgue.
• Les th´eor`emes de convergence monotone et domin´ee.
• Les th´eor`emes fins ´etudiant les liens entre d´erivation et int´egration.
• Les th´eor`emes pratiques relatifs aux int´egrales a` param`etres.
• Les deux th´eor`emes de comparaison entre int´egrales de Riemann et de Lebesgue ainsi
que quelques fonctions sommables de r´ef´erence.
• La notion de classe de fonction et les espaces Lp qui sont les espaces fonctionnels utilis´es
(souvent de mani`ere implicite) en sciences de l’ing´enieur. On retiendra notamment leur
compl´etude et les tr`es utiles r´esultats de densit´e.
• Les th´eor`emes de Tonelli, de Fubini et de changement de variable qui rendent l’int´egrale
de Lebesgue multiple tr`es performante.
• Le produit de convolution, outil `a la fois th´eorique et pratique.

38

´
CHAPITRE 1. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION

Chapitre 2
Tribus, mesures, int´
egration :

emonstrations
Ce chapitre contient les d´emonstrations des r´esultats cit´es dans le chapitre pr´ec´edent. Celles-ci
´etant souvent techniques et parfois longues, elles ont ´et´e retir´ees du chapitre de cours dans un souci
de claret´e. La lecture de ces d´emonstrations aidera n´eanmoins les ´el`eves les plus `a l’aise `a mieux
maitriser les notions pr´esent´ees pr´ec´edemment.

2.1

Tribus

Propri´
et´
e 2.1 Si T est une tribu sur un ensemble Ω alors :
• T contient ∅ et Ω.
• T est stable par compl´ementarit´e.
• T est stable par intersections et r´eunions d´enombrables.
• T est stable par diff´erences et diff´erences sym´etriques (ensemblistes).
Preuve : Ces propri´et´es sont clairement des cons´equences des axiomes de d´efinition d’une tribu.

2.2

Tribus sur les ensembles usuels

Ce paragraphe ne n´ecessite pas de d´emonstration.

39

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

40

2.3

´
DEMONSTRATIONS

Applications mesurables

Propri´
et´
e 2.2
• Si F 0 est engendr´ee par un ensemble C 0 de parties de Ω0 alors h est mesurable si et seulement
si h−1 (C 0 ) ⊂ F.
• La compos´ee de deux applications mesurables est mesurable.
Preuve :
1) Supposons que F 0 est engendr´ee par C 0 .
a) Si h est mesurable alors, par d´efinition h−1 (F 0 ) ⊂ F. Comme, C 0 ⊂ F 0 , on obtient h−1 (C 0 ) ⊂ F.
b) Supposons que h−1 (C 0 ) ⊂ F.
Consid´erons T = {A ⊂ Ω0 / h−1 (A) ∈ F}.
On peut facilement v´erifier que T est une tribu (grˆace aux propri´et´es de h−1 ) et que T contient C 0
et donc F 0 . On en d´eduit que h−1 (F 0 ) ⊂ F c’est-`a-dire que h mesurable.
2) Si f −1 (F 0 ) ⊂ F et g −1 (F 00 ) ⊂ F 0 alors (g ◦ f )−1 (F 00 ) = f −1 ◦ g −1 (F 00 ) ⊂ F d’o`
u le r´esultat.

2.3.1

Ensembles L+ (F) et L(F)

Propri´
et´
e 2.3
Si l’on consid`ere l’ensemble des applications mesurables de (Ω, F) dans (R+ , B(R+ )), not´e L+ (F),
alors :
• 1A est mesurable si et seulement si A ∈ F.
• Si f et g sont mesurables alors f + g et f.g le sont aussi.
• Si ∀n ∈ N fn est mesurable alors sup fn , inf fn lim sup fn , lim inf fn , lim fn (si la suite
P
erie converge) sont aussi mesurables.
converge) et ∞
0 fn (si la s´
Preuve :
1) Si 1A est mesurable alors on a bien A = 1−1
A ({1}) qui est dans F.
−1
−1
−1
R´eciproquement, si A ∈ F alors 1−1
A ({1}) = A, 1A ({0}) = Ω\A, 1A (∅) = ∅ et 1A ({0, 1}) = Ω
sont tous dans F et donc 1A est mesurable.

2a) Puisque la tribu de Borel est engendr´ee par les intervalles du type ] − ∞, a[ (ou ] − ∞, a]), a
parcourant R, il suffit de montrer que {f + g < a} est dans F pour prouver que f + g est mesurable.
Or :
{f + g < a} = ∪r,s∈Q+ / r+s<a {f < r} ∩ {g < s}
On peut conclure grˆ
ace `
a la mesurabilit´e de f et g et la stabilit´e de F par union et intersection.
2b) Pour le produit de f et g, on obtient le mˆeme r´esultat en ´ecrivant :
{f g < a} = ∪r,s∈Q+ /

rs<a {f

< r} ∩ {g < s}

2.3. APPLICATIONS MESURABLES

41

3a) Si pour tout n de N, fn est mesurable alors sup(fn ) et inf(fn ) le sont puisque :
{sup(fn ) ≤ a} = ∩{fn ≤ a} ∈ F
{inf(fn ) < a} = ∪{fn < a} ∈ F
3b) Rappelons que la limite sup´erieure d’une suite num´erique (un ) est sa plus grande valeur
d’adh´erence et qu’elle vaut lim sup(un ) = inf k∈N supn≥k un . De mˆeme, la limite inf´erieure de (un ) est
sa plus petite valeur d’adh´erence et elle vaut lim inf(un ) = supk∈N inf n≥k un . On peut alors d´efinir
les limites sup´erieures et inf´erieures d’une suite de fonctions. Ce sont des fonctions.
La mesurabilit´e des limites sup´erieures et inf´erieures (qui existent toujours) est assur´ee par les
relations :
lim sup(fn ) = inf k∈N supn≥k fn

et

lim inf(fn ) = supk∈N inf n≥k fn

3c) Quant `a la limite, si elle existe, elle est ´egale aux limites sup´erieures et inf´erieures ce qui assure
sa mesurabilit´e.
Propri´
et´
e 2.4
Si l’on consid`ere l’ensemble des applications mesurables de (Ω, F) dans (R, B(R)), not´e L(F), alors :
• Les propri´et´es pr´ec´edentes sont conserv´ees.
• L(F) est un espace vectoriel.
• Si f est mesurable alors |f | l’est aussi.
Preuve :
Si l’on ´ecrit f = f+ −f− avec f+ = sup(f, 0) et f− = sup(−f, 0) alors, comme dans la d´emonstration
pr´ec´edente, f+ et f− sont mesurables comme sup de deux fonctions mesurables. On en d´eduit le
troisi`eme point puisque |f | = f+ + f− .
Maintenant, si f est mesurable alors −f aussi puisque {−f < a} = Ω\{f ≥ a} ∈ F. On d´emontre
alors, comme dans la preuve des propri´et´es pr´ec´edentes, que si f et g sont mesurables alors que
f − g et λ.f avec λ ∈ R le sont aussi.
Enfin, les propri´et´es pr´ec´edentes se retrouvent grˆace `a la d´ecomposition des fonctions f de L(F)
en f = f+ − f− avec f+ et f− mesurables positives.

2.3.2

Fonctions ´
etag´
ees

Th´
eor`
eme 2.5 (Approximations des fonctions mesurables par des fonctions ´
etag´
ees)
• Toute fonction born´ee de L(F) est limite uniforme d’une suite de fonctions ´etag´ees.
• Toute fonction de L+ (F) est limite simple d’une suite croissante de fonctions ´etag´ees.

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

42

´
DEMONSTRATIONS

Preuve :
1) Soit f une fonction born´ee de L(F).
a) Supposons ||f ||∞ ≤ 1.
On consid`ere Ak,n = {x/ nk ≤ f (x) ≤ k+1
n } pour n ≥ 1 et −n ≤ k ≤ n − 1. Les Ak,n sont dans
P
k
etag´ees. Comme ||f − gn ||∞ ≤ n1 , on obtient la
F donc les fonctions gn = n−1
1
k=−n n Ak,n sont ´
convergence uniforme de (gn ) vers f .
b) Pour une fonction born´ee f quelconque, on applique le r´esultat pr´ec´edent `a h = f /||f ||∞ .
2) Soit f une fonction de L+ (F).
n
On consid`ere Ak,n = {x/ 2kn ≤ f (x) < k+1
2n } pour n ≥ 1 et 0 ≤ k ≤ n2 − 1 ainsi que Bn = {f ≥ n}
pour n ≥ 1. Tous ces ensembles sont clairement dans F.

Si on pose gn =
positives.

Pn2n −1 k
etag´ees
k=0
2n 1Ak,n + n1Bn , alors (gn ) est une suite croissante de fonctions ´

Pour les ω tel que f (ω) = +∞, on a gn (ω) = n qui converge vers f (ω).
Pour les ω tel que f (ω) < +∞, on a 0 ≤ f (ω) − gn (ω) ≤ 2−n d`es que n > f (ω), ce qui assure la
convergence de gn (ω) vers f (ω).

2.4


efinition et propri´
et´
es d’une mesure

Proposition 2.6 (Caract´
erisation)
Une application µ de T dans R+ est une mesure sur T si et seulement si elle v´erifie les deux
axiomes suivants :
• (M 1) : µ(∅) = 0
• (M 4) : µ(∪∞
n=0 An ) =

P∞

n=0 µ(An )

si les An sont des ´el´ements deux `
a deux disjoints de T .

Preuve :

1) Soit µ une mesure. Alors, si on pose BN = ∪N
0 An et B = ∪0 An , on a (Bn ) ↑ B. En appliquant
les axiomes (M 2) et (M 3), on obtient (M 4).

2) Supposons que µ v´erifie (M 1) et (M 4). L’axiome (M 4) entraˆıne imm´ediatement l’axiome (M 2).
Pour retouver l’axiome (M 3), il suffit, pour une suite (Bn ) ↑ B, d’appliquer (M 4) aux An avec
An = Bn \Bn−1 .
Propri´
et´
e 2.7
• A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B)
• µ(B\A) = µ(B) − µ(A) si A ⊂ B et µ(A) < ∞
• A ⊂ ∪An =⇒ µ(A) ≤

P

µ(An )

• Si Bn ↓ B et si l’un des Bn est de mesure finie alors µ(B) = lim(µ(Bn )) = inf(µ(Bn ))

´
2.5. CONSTRUCTION DE MESURES SUR LA DROITE DES REELS

43

Preuve :
1) et 2) L’inclusion assure µ(A∪(B\A)) = µ(A∪B) = µ(B). L’axiome (M 2) donne µ(A∪(B\A)) =
µ(A) + µ(B\A). On obtient donc les deux premiers points.
3) On a facilement µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) d’o`
u µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B).
Soit A0n = A ∩ An . On a ∪A0n = A. Soit maintenant Bn = ∪ni=1 A0i . On a Bn ↑ A et donc
µ(A) = lim(µ(Bn )) par (M 3).
n
0
Or µ(Bn ) = µ(∪n1 A0i ) ≤
esultat ´etabli. Puisque A0i ⊂ Ai on a
1 µ(Ai ) par le premier r´
Pn
P
µ(Bn ) ≤ 1 µ(Ai ). En faisant tendre n vers +∞, on obtient bien µ(A) ≤ ∞
1 µ(An ).

P

4) Supposons que µ(BN ) < ∞. On consid`ere la suite (BN \Bn )n≥N . On a (BN \Bn ) ↑ BN \B
donc µ(BN \Bn ) tend vers µ(BN \B) c’est-`a-dire, puisque µ(BN ) < ∞, µ(BN ) − µ(Bn ) tend vers
µ(BN ) − µ(B) ce qui donne bien lim(µ(Bn )) = µ(B).

2.5

Construction de mesures sur la droite des r´
eels

2.5.1

Mesure longueur ext´
erieure

Proposition 2.8 Si la r´eunion d’intervalles disjoints ∪i∈N (ai , bi ) est ´egale `
a une union finie
d’intervalles disjoints ∪j∈[1,N ] (αj , βj ) alors :
λ(∪i∈N (ai , bi )) =

N
X

λ((αj , βj ))

j=1

Preuve :
Il suffit de traiter le cas o`
u ∪i∈N (ai , bi ) = (α, β).
1) On note An = (an , bn ) et A = (α, β). On a ∀N ∈ N, ∪N
eduit facilement
0 An ⊂ A dont on d´
PN
λ(∪N
A
)

λ(A).
Comme
les
A
sont
disjoints,
on
a
λ(A
)

λ(A).
La
suite
´etant croissante
n
n
0
0
P∞n
et major´ee, elle converge et 0 λ(An ) ≤ λ(A).
2) L’autre in´egalit´e est plus difficile a` obtenir. Soit un segment [a0 , b0 ] contenant (α, β). Soient


les ouverts On =]an − 2n+1
, bn + 2n+1
[. Les On forment un recouvrement d’ouverts de [a0 , b0 ]. Or
0
0
[a , b ] est un compact donc grˆ
ace `
a l’axiome de compacit´e de Borel-Lebesgue, on en d´eduit un sous
recouvrement fini ∪i∈I0 Oni .
De [a0 , b0 ] ⊂ ∪i∈I0 Oni , on d´eduit :
b0 − a0 ≤

X
i∈I0

λ(Oni ) ≤

X
n∈N

Ceci ´etant vrai pour tout > 0, on a b0 − a0 ≤
P
β, on obtient β − α = λ(A) ≤ n∈N λ(An ).
Propri´
et´
e 2.9
• A ⊂ B =⇒ λ∗ (A) ≤ λ∗ (B)

λ(On ) =

X

(bn − an ) + 2

n∈N

P

n∈N λ(An ).

En faisant tendre a0 vers α et b0 vers

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

44

• λ∗ (∪n∈N An ) ≤

´
DEMONSTRATIONS

P∞


n=0 λ (An )

Preuve :
1) Le premier point est une simple cons´equence de la d´efinition de la mesure ext´erieure.
2) Montrons que λ∗ (∪An )n∈N ≤
a) Si

P∞

n=0 λ

∗ (A

b) Supposons

n)

P∞

P∞

n=0 λ

∗ (A

n ).

= +∞, l’in´egalit´e est ´evidente.

n=0 λ

∗ (A

n)

< +∞.

Soit n ∈ N fix´e. Par d´efinition de la mesure ext´erieure de An , pour tout > 0, il existe un
recouvrement de An par une famille d´enombrable d’intervalles disjoints (An,k )k∈N telle que
X

λ(An,k ) ≤ λ∗ (An ) + /2n

k∈N

Comme ∪n∈N An ⊂ ∪n∈N ∪k∈N An,k , on a :
λ∗ (∪n∈N An ) ≤

X X
n∈N k∈N

λ∗ (An,k ) =

X

λ∗ (An ) +

n∈N

Ce r´esultat ´etant valable pour tout > 0, on en d´eduit la propri´et´e recherch´ee.

2.5.2

Parties n´
egligeables

Propri´
et´
e 2.10
• Si M ⊂ N et si N est n´egligeable alors M est n´egligeable.
• Toute r´eunion d´enombrable de parties n´egligeables est n´egligeable.

Preuve :
1) Puisque M ⊂ N , on a µ∗ (M ) ≤ µ∗ (N ). Comme µ∗ (M ) ≥ 0 et µ∗ (N ) = 0, on en d´eduit
µ∗ (M ) = 0.
2) On a 0 ≤ λ∗ (∪n∈N Nn ) ≤

P∞

n=0 λ

∗ (N

n)

=0

Propri´
et´
e 2.11
Il existe des parties de R n´egligeables pour la mesure de Lebesgue mais non d´enombrables.

Preuve :
Un exemple est donn´e par l’ensemble de Cantor dont nous pr´esentons la construction ici.

´
2.5. CONSTRUCTION DE MESURES SUR LA DROITE DES REELS

45

Une partie de IR n´
egligeable et non d´
enombrable : l’ensemble de
Cantor
Nous allons, dans un premier temps, construire par r´ecurrence une suite de parties ferm´ees de
l’intervalle [0, 1]. On pose :
F0 = [0, 1]
F1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]
F2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
A partir de Fn qui est une union de 2n intervalles ferm´es disjoints de longueur 1/3n , on peut d´efinir
Fn+1 en rempla¸cant chacun des 2n intervalles [a, b] constituant Fn par l’union des deux intervalles
b−a
[a, a + b−a
esentant leur premier et dernier tiers.
3 ] et [a + 2 3 , b] repr´
On peut v´erifier que cette construction est ´equivalente `a poser :
Fn =

" n
n
X 2ei X
2ei

[
(e1 ,...,en )∈{0,1}n

i=1

3i

,

i=1

1
+ n
i
3
3

#

L’ensemble triadique de Cantor est alors, par d´efinition :
K=

+∞
\

Fn

n=0

1) L’ensemble de Cantor K est compact.
Il est born´e car inclus dans [0, 1].
Il est aussi ferm´e car K est l’intersection des Fn qui sont des ferm´es (car eux-mˆemes sont des unions
finies d’intervalles ferm´es).
Remarque : pour les notions d’ouverts, de ferm´es et de compacts on peut se reporter `a l’annexe A
du polycopi´e.
2) L’ensemble de Cantor K est n´egligeable.
Il est mesurable car ferm´e. En outre, pour tout entier n, K ⊂ Fn donc λ(K) ≤ λ(Fn ) = (2/3)n . En
faisant tendre n vers +∞ on trouve donc que λ(K) = 0. K est donc n´egligeable.
3) L’ensemble de Cantor K est non d´enombrable.
Il contient les extr´emit´es des intervalles constituants les Fn . On peut v´erifier que tous ces nombres
peuvent s’´ecrire en base 3 uniquement avec des 0 ou des 2. A x dans K on peut donc associer la
suite (xn )n≥1 de {0, 2} constitu´ee de ces d´ecimales en base 3.
xn /2
L’application ψ qui `
a x = (xn ) ∈ K associe ∞
n=1 2n est une bijection de K sur [0, 1]. On a donc
card(K) = card([0, 1]) = card(R). K n’est donc pas d´enombrable.

P

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

46

2.5.3

´
DEMONSTRATIONS

Mesures de Borel et Lebesgue

Th´
eor`
eme 2.12 (Existence et unicit´
e du prolongement de λ)
• La restriction de λ∗ `
a B(R) est l’unique prolongement de λ `
a B(R). On l’appelle mesure de
Borel et on la note aussi λ.
¯ R) est l’unique prolongement de λ `
¯ R). On l’appelle mesure de
• La restriction de λ∗ `
a B(
a B(
¯
Lebesgue et on la note λ voire mˆeme λ.
Preuve : La d´emonstration de ce th´eor`eme n´ecessite l’introduction de nombreuses notions
suppl´ementaires. Elle sera r´edig´ee dans une version ult´erieure de ce polycopi´e.

2.5.4

Mesures de Borel-Stieltjes

Le seul point m´eritant justification est l’additivit´e d´enombrable c’est-`a-dire
]s, t] = ∪n∈N ]sn , tn ] =⇒ µF ]s, t] =

X

µF ]sn , tn ]

n∈N

pour une famille (]sn , tn ]) d’intervalles disjoints.
1) Si ∪N
0 ]sn , tn ] ⊂]s, t] alors
P∞
0 µF ]sn , tn ] ≤ µF ]s, t].

PN
0

µF ]sn , tn ] ≤ µF ]s, t] et donc par passage `a la limite (justifi´e)

2) Cherchons l’autre in´egalit´e.
Soit u tel que s < u ≤ t. Pour tout entier n, on prend τn > tn tel que F (τn ) − F (tn ) ≤ /2n (un tel
τn existe par continuit´e `
a droite de F ).
Les ]sn , τn [ forment un recouvrement d’ouverts de [u, t] dont on d´eduit par compacit´e (axiome de
Borel Lebesgue) un sous-recouvrement fini :
]u, t] ⊂ [u, t] ⊂ [u, τn ] ⊂ ∪i∈I0 ]sni , τni [
On a donc :
F (t) − F (u) ≤

X
i∈I0

F (τni ) − F (sni ) ≤

X

(F (tn ) − F (sn ) +

n∈N

X

)
=

+
F (tn ) − F (sn )
2n
n∈N

On peut faire tendre vers 0 et u vers s (par continuit´e `a droite de F ) et on obtient l’in´egalit´e
recherch´ee :
X
F (t) − F (s) ≤
F (tn ) − F (sn )
n∈N

Une partie de IR non Lebesgue-mesurable : l’ensemble de Vitali
Pour construire cet ensemble, nous avons besoin de l’axiome du choix (´equivalent `a l’axiome de
Zorn et au th´eor`eme de Zermelo). Cet axiome, compatible avec ceux de la th´eorie des ensembles,
est assez intuitif.

´
´
2.6. INTEGRALE
SUPERIEURE

47

Axiome du choix : pour toute famille (Ai )i∈I de parties non vides d’un ensemble E, il existe une
application (dite fonction de choix) de I dans E telle que
∀i ∈ I

f (i) ∈ Ai

On peut maintenant construire l’ensemble de Vitali.
Soit R la relation d’´equivalence dans [0, 1] d´efinie ainsi :
xRy ⇐⇒ x − y ∈ Q
L’axiome du choix permet d’associer `a chaque classe d’´equivalence un repr´esentant unique.
L’ensemble de Vitali est l’ensemble V des repr´esentants des classes ainsi obtenus. Montrons que V
est non mesurable.
Ordonnons les ´el´ements de [−1, 1] ∩ Q en une suite (rn )n∈N . Soit Vn = V + rn . On a :
1) Pour tout entier n : λ∗ (Vn ) = λ∗ (V )
2) [0, 1] ⊂ ∪∞
n=0 Vn ⊂ [−1, 2]
En effet :
2a) V ⊂ [0, 1] et pour tout n, rn ∈ [−1, 1] donc Vn ⊂ [−1, 2].
2b) Soit x ∈ [0, 1]. Soit v ∈ V le repr´esentant de sa classe :
∃q ∈ Q/ x − v = q
donc x = v + q, or x et v sont dans [0, 1] et q est dans [−1, 1] ∩ Q donc il existe un entier n0 tel que
q = rn0 et pas cons´equent x ∈ Vn0 .
3) Si n 6= m alors Vn ∩ Vm = ∅.
En effet, si l’on suppose Vn ∩ Vm 6= ∅ et si l’on prend x ∈ Vn ∩ Vm alors il existe y1 et y2 dans V
tels que x = y1 + rn et x = y2 + rm . On a y1 − y2 = rm − rn ∈ Q donc y1 Ry2 donc y1 = y2 par
unicit´e du repr´esentant dans V . On en d´eduit rm = rn c’est-`a-dire n = m.
Pour conclure, on remarque que si V est mesurable alors chaque Vn aussi et par le point 3 on
P
P∞
a λ(∪∞
es le point 2 : 1 ≤ ∞
0 λ(Vn ) ce qui implique d’apr`
0 λ(Vn ) ≤ 3 ce qui est en
0 Vn ) =
contradiction avec le point 1.
Finalement V n’est pas Lebesgue mesurable.

2.6

Int´
egrale sup´
erieure

Propri´
et´
e 2.13
• ∀α ∈ R+ L(α.f ) = α.L(f )
• f ≤ g =⇒ L(f ) ≤ L(g)

48

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

´
DEMONSTRATIONS

Preuve :
1) Si α est entier, le r´esultat est une cons´equence imm´ediate de la lin´earit´e de l’int´egrale.
Supposons α = 1/n avec n entier. On a L(nf ) = nL(f ) donc, en prenant f = g/n, on obtient
L(g) = nL(g/n) c’est-`
a-dire L(g/n) = 1/nL(g).
Des deux points pr´ec´edents, on d´eduit L(αF ) = αL(f ) pour α ∈ Q+ .
Prenons enfin α ∈ R. Il existe une suite croissante (qn ) de rationnels convergeant vers α. L’axiome
de la convergence monotone assure alors que L(qn f ) = qn L(f ) converge vers L(αf ) et donc, en
passant `a la limite, αL(f ) = L(αf ).
2a) Dans un premier temps, montrons que si f et g sont dans L+ alors il existe h dans L+ tel que
g =f +h :
Sur A = {x/ g(x) < ∞} on peut poser h(x) = g(x) − f (x) < ∞.
Sur Ω\A, on pose h(x) = +∞.
On a alors h = (g − f ).1A + (+∞)1Ω\A ∈ L+
Remarque : c’est ce petit lemme qui permet de d´emontrer proprement l’´equivalence des deux
d´efinitions de L.
2b) Si f ≤ g, h = g − f ainsi d´efini est mesurable et L(h) ≥ 0 donc L(g) − L(f ) ≥ 0.
Th´
eor`
eme 2.14 (Bijection fondamentale)
• Toute int´egrale sup´erieure L sur (Ω, F) d´efinit une mesure µ sur F grˆ
ace a
`
µ(A) = L(1A )
• R´eciproquement, toute mesure sur F tribu de Ω d´efinit une int´egrale sup´erieure L sur (Ω, F)
telle que :
∀f ∈ L+ L(f ) = sup{L(g), g ∈ E+ / g ≤ f }
Preuve :
1) Soient L une int´egrale sup´erieure et µ tel que µ(A) = L(1A ). Montrons que µ est une mesure.
On a µ(∅) = L(0) = 0.
Pour une famille (An )n∈N d’intervalles deux `a deux disjoints on a :
X

µ(∪An ) = L(1∪An ) = L(

1An ) =

X

L(An ) =

X

µ(An )

2) Soient µ une mesure et L tel que L(f ) = sup{L(ϕ), ϕ ∈ E+ / g ≤ f }. Montrons que L est une
int´egrale sup´erieure.
On a bien L(0) = 0.
On a aussi, de mani`ere ´evidente, L(1A ) = µ(A), f ≤ g =⇒ L(f ) ≤ L(g) ainsi que L(f + g) =
L(f ) + L(g) grˆ
ace au th´eor`eme qui assure que f et g sont limite d’une suite croissante de fonctions
´etag´ees positives.
Il reste `a montrer que fn ↑ f =⇒ L(fn ) ↑ L(f ). Ce r´esultat, appel´e th´eor`eme de la convergence
monotone, sera d´emontr´e plus loin bien qu’il aurait pu l’ˆetre d`es maintenant.

´
2.7. FONCTIONS SOMMABLES ET INTEGRALE
DE LEBESGUE

2.7

49

Fonctions sommables et int´
egrale de Lebesgue

Ce paragraphe ne n´ecessite pas de d´emonstration.

2.8

Propri´
et´
es ´
el´
ementaires de l’int´
egrale de Lebesgue

Propri´
et´
e 2.15
• L’application qui `
a f associe

Z

f dµ est une forme lin´eaire sur L1 .

• Si f est mesurable et nulle µ − pp alors f est sommable et

Z

f dµ = 0.

• Si f est mesurable et s’il existe g sommable telle que |f | ≤ g alors f est sommable.
Z

• f est sommable si et seulement si |f | l’est et on a alors | f dµ| ≤
• Si f ≥ g µ − pp alors

Z

f dµ ≥

Z

|f |dµ.

Z

gdµ.

Preuve :
1) Sur L+ , la lin´earit´e de l’application L a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee. Sur L, le r´esultat s’obtient en
d´ecomposant les fonctions en leurs parties positives et n´egatives.
R

2) Si f ≥ 0 et f = 0 presque partout alors f = 0 par d´efinition de l’int´egrale. Si le signe de f est
variable, on la d´ecompose en partie positive et n´egative.
3) Si |f | ≤ g alors
sommable.

R∗

|f | ≤

R∗

g et puisque g est sommable

R∗

g < ∞ d’o`
u

R∗

|f | < ∞ et donc f est

4) Par d´efinition, f est sommable si seulement si |f | est sommable. En outre, si on a f = f+ − f−
alors
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
| f | = | f+ − f− | ≤ | f+ | + | f− | = f+ + f− = |f |
5) Montrons que pour des fonctions positives, si f ≥ g µ − pp alors

R

f dµ ≥

R

gdµ.

Si l’in´egalit´e est vraie partout, le r´esultat vient de la d´efinition de l’int´egrale sup´erieure.
R

R

Sinon,
on pose RA = {x/ f (x)
≥ g(x)}. On a ainsi
f.1RA ≥ g.1A partoutRet donc
f.1A ≥ g.1A . Or
R
R
R
R
R
f = f.1A + f.1Ω\A et f.1Ω\A = 0 donc f = f.1A . De mˆeme g = g.1A d’o`
u le r´esultat.
Si maintenant les fonctions ne sont pas positives, on consid`ere f −g qui est positive presque partout
et on lui applique le r´esultat pr´ec´edent.
Propri´
et´
e 2.16
• Si f est mesurable et positive :
∀α > 0

1
µ({x/ f (x) ≥ α}) ≤
α

Z

f.dµ

´
CHAPITRE 2. TRIBUS, MESURES, INTEGRATION
:

50

´
DEMONSTRATIONS

• Si f est mesurable et positive :
Z

• Si

R

f.dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 p.p.

f.dµ < ∞ alors |f | < ∞ p.p.

• Si f est sommable :
f = 0 p.p. ⇐⇒ ∀A ∈ F

Z

f.dµ = 0
A

Preuve :
1) On pose A = {x/ f (x) > α}. On a f ≥ α1A donc
2) Si f = 0 presque partout alors

R

R

f ≥ αµ(A) d’o`
u l’in´egalit´e de Tchebichev.

f = 0 presque partout d’apr`es une propri´et´e pr´ec´edente.

Pour la r´eciproque, on utilise l’in´egalit´e de Tchebichev et on obtient pour un entier n :
µ({x/ f (x) ≥ 1/n}) ≤ n.0 = 0
Donc
µ({x/ f (x) > 0}) = µ(∪{x/ f (x) ≥ 1/n}) ≤

X

µ({x/ f (x) ≥ 1/n}) = 0

3) On pose Bn = {x/ |f (x)| ≥ n} et B = ∩{x/ f (x) ≥ n}. On a Bn ↓ B.
L’in´egalit´e de Tchebichev donne µ(Bn ) ≤

1
n

R

|f | et donc µ(B) = lim µ(Bn ) = 0.

Finalement :
µ({x/ |f (x)| = +∞}) = µ(∩({x/ f (x) ≥ n})) = µ(B) = 0
4) Si f = 0 presque partout alors on a vu que pour tout A ∈ F alors

R

Af

= 0.

Pour la r´eciproque, on pose A = {x/ f (x) > 0} ∈ F et B = {x/ f (x) ≤ 0} ∈ F.
On a |f | = f.1A − f.1B donc
une propri´et´e pr´ec´edente.

2.9

R

|f | =

R

Af



R
B

f = 0 − 0 = 0 et donc f = 0 presque partout d’apr`es

Propri´
et´
es fondamentales de l’int´
egrale de Lebesgue

Th´
eor`
eme 2.17 (Beppo-Levi ou convergence monotone)
• Si (fn ) est une suite croissante de fonctions mesurables positives `
a valeur dans R+ , alors :
Z

lim

Z

fn =

lim fn

• Si (fn ) est une suite croissante de fonctions sommables, alors :
Z

lim

Z

fn =

lim fn




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