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THE RICCI FLOW APPROACH IN THE HAMILTONIAN CONSTRAINT .pdf



Nom original: THE RICCI FLOW APPROACH IN THE HAMILTONIAN CONSTRAINT .pdf
Auteur: Patrick

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THE RICCI FLOW APPROACH IN THE
HAMILTONIAN CONSTRAINT
Patrick K. NGOSSE
Université Pédagogique Nationale
Physics Department/ Kinshasa / Democratic Republic of Congo
patrickngosse@gmail.com

0. ABSTRACT – RESUME

English version:
We have compared the Claus Gerhardt approach and Ricci flow approach to obtain a hybrid description
(Diffeomorphism-Hamiltonian constraint) of the Einstein-Hilbert action. In doing so we use three
similar ingredients, such as:
1) We replace the densities √𝑔 by a function 𝜙(𝑥, 𝑔𝑖𝑗 ) with the help of a fixed metric χ such that
the Lagrangian and hence the Hamiltonian are functions.
2) We consider the Lagrangian to be defined in a fiber bundle with base space S0 and fibers F(x)
which can be treated as Lorentzian manifolds equipped with the Wheeler-DeWitt metric. It turns
out that the fibers are globally hyperbolic.
3) The Hamiltonian operator H is a normally hyperbolic operator in the bundle acting only in the
fibers and the Wheeler-DeWitt equation 𝐻𝑢 = 0 is a hyperbolic equation in the bundle.
Then we have shown that, even if the first variation of 𝐽 as a dilaton fields, with respect to arbitrary
compact variations of 𝑔̅ do not vanishes, the metric 𝑔̅ satisfies also to the Einstein equations with
cosmological constant 𝛬, namely, 𝐺𝛼𝛽 + 𝛬𝑔𝛼𝛽 = 0.
Version Française:
Nous avons comparé l’approche de Claus Gerhardt à celui du flot de Ricci pour obtenir une description
hybride (une constrainte difféomorphisme-Hamiltoniennne) de l’action Einstein-Hilbert. Ainsi, nous
avons utilisé trois techniques similaires :
1) Nous avons remplacé la densité √𝑔 par une fonction 𝜙(𝑥, 𝑔𝑖𝑗 ) avec l’aide d’une métrique fixée
χ pour obtenir une fonction Lagrangienne et Hamiltonienne.
2) Nous avons considéré le Lagrangien définit dans une bande fibrée d’un espace S0 et une fibre
𝐹(𝑥) qui peut être traité comme un manifold Lorentzien équipé d’une métrique de WheelerDeWitt. Dans le cas précis, il s’agit des fibres globalement hyperboliques.
3) L’opérateur d’Hamiltonien 𝐻 qui est normalement un opérateur hyperbolique dans une bande
agit dans les fibres et dans l’équation de Wheeler-DeWitt 𝐻𝑢 = 0 qui est aussi globalement
hyperbolique.
Alors, nous avons montré que, même si la première variation de 𝐽 comme un champ des dilatons,
respectivement, la variation compact de 𝑔̅ ne disparait pas, la métrique 𝑔̅ satisfait à l’équation
d’Einstein avec la constante cosmologique 𝛬, tel que 𝐺𝛼𝛽 + 𝛬𝑔𝛼𝛽 = 0.

1

I. INTRODUCTION

Nowadays, the canonical quantization has mostly been utilized which requires to switch from
the Lagrangian to the Hamiltonian view point. However, the Lagrangian is degenerate resulting
in two constraints, the Hamiltonian constraint and the diffeomorphism constraint. The
Hamiltonian constraint leads to the Wheeler-DeWitt equation which could only be solved by
assuming a high degree of symmetry, but the diffeomorphism constraint have been usually
ignored since nobody knows how to handle it. So, we expressed the hope that a similar
procedure of solving the Hamiltonian constraint would work in the diffeomorphism constraint,
without any a priory assumptions, with the Ricci flow, which can be regarded as a gradient flow.
Therefore, we consider the functional ℱ = ∫𝛺 (𝑅̅ + |𝛻𝑓|2 ) 𝑒 −𝑓 𝑑𝑉 for a Riemannian metric 𝑔̅𝑖𝑗
and a function 𝑓 on a closed manifold 𝛺. Its first variation vanishes identically iff the
measure 𝑑𝑚 = 𝑒 −𝑓 𝑑𝑉 is kept fixed. Thus given a measure, we may consider the gradient flow
(𝑔̅𝑖𝑗 )𝑡 = −2(𝑅̅𝑖𝑗 + 𝛻𝑖 𝛻𝑗 𝑓) for the functional ℱ . For general 𝑚 this flow may not exist even for
short time; however, when it exists, it is just the Ricci flow, modified by a diffeomorphism. The
remarkable fact here is that different choices of 𝑚 lead to the same flow, up to a diffeomorphism;
that is, the choice of 𝑚 is analogous to the choice of gauge.
As the Ricci flow has also been discussed in quantum field theory, as an approximation to the
renormalization group (RG) flow for the two-dimensional nonlinear σ-model, and references
therein; we would like to speculate on the corresponding Cauchy problem in the standard
techniques of QFT which can be naturally modified to work in the bundle of the RG flow.
Anyway, this connection between the Ricci flow and the RG flow suggests that Ricci flow must
be gradient-like; the present work confirms this expectation.
In this paper we carry out some details of Claus Gerhardt program, then we use the Ricci flow
approach in the canonical quantization. Our present work has also some applications to the
string theory manifolds.

2

Pour obtenir une description de l'Hamiltonien concernant une action d'Einstein-Hilbert1, nous
avons montré l'approche de Claus Gerhardt dans l'équation de Wheeler-De Witt globalement
hyperbolique2.
II. LES TRAVAUX DE CLAUS GERHARDT
Un résultat majeur de l'article de Claus Gerhardt3 est le théorème de la quantification de la
Gravité dans un espace-temps globalement hyperbolique, qui décrit la métrique 𝑔̅ divisant les
coordonnées de la fibre d'une hypersurface de Cauchy. En utilisant la métrique de De Witt dans
la métrique de Lorentz, on obtient l'expression:

𝐽=

𝑏
−1
𝛼𝑁 ∫ ∫
𝑎 Ω

1
{ 𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝑔̇ 𝑖𝑗 𝑔̇ 𝑘𝑙 𝜔−1 + 𝑅 − 2Λ} 𝑤 √𝑔
4

où 𝛼𝑁−1 est une constante positive, 𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 est un tenseur de DeWitt4, 𝑅 est une courbe scalaire et
Λ la constante de cosmologie.
Dénotons la fonction Lagrangienne dans (1.24) par 𝐿, où nous définissons
𝜋𝑎 =

𝜕𝐿
1 𝑏 −1
=
𝜑𝐺
𝜉̇ 𝑤
𝑎𝑏
2𝛼𝑁
𝜕𝜉̇ 𝑎

̂,
et on obtient pour la fonction Hamiltonienne 𝐻
𝜕𝐿
̂ = 𝜉̇ 𝑎
𝐻
−𝐿
𝜕𝜉̇ 𝑎
1 𝑎 −1
1 𝑏 −1
= 𝜑𝐺𝑎𝑏 (
𝜉̇ 𝑤 ) (
𝜉̇ 𝑤 ) 𝑤𝛼𝑁 − 𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑𝑤
2𝛼𝑁
2𝛼𝑁
= 𝜑 −1 𝐺 𝑎𝑏 𝜋𝑎 𝜋𝑏 𝑤𝛼𝑁 − 𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑𝑤
̂𝑤
≡𝐻
Où 𝐺 𝑎𝑏 est une métrique inverse de 𝐺𝑎𝑏 .
Lorsque 𝑤 est une fonction arbitraire, nous obtenons une contrainte d'Hamiltonien:
̂ = 𝛼𝑁 𝜑 −1 𝐺 𝑎𝑏 𝜋𝑎 𝜋𝑏 𝑤𝛼𝑁 − 𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑 = 0
𝐻
En appliquant la quantification canonique et en posant ℏ = 1, alors:
1 𝜕
𝜋𝑎 = 𝜋𝑎 (𝑥) ⟶
𝑖 𝜕𝜉̇ 𝑎 (𝑥)

1
2
3
4

3

où 𝜉̇ 𝑎 (𝑥) sont des points dans la fibre au 𝑥 ∈ 𝑆0 , avec 𝑆0 une hypersurface de Cauchy et

𝜕
𝜕𝜉̇ 𝑎 (𝑥)

qui dénote une différentiation partielle de la fibre au point 𝑥.
Chaque fibre peut être perçue comme un manifold Lorentzien équipé de la métrique:
𝛼𝑁−1 𝜑𝐺 𝑎𝑏
Après la quantification, la fonction Hamiltonienne se transforme en un opérateur hyperbolique
différentiel:
𝐻 = −Δ − 𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑
≡ ⊡ −𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑
Où ⊡ est un opérateur d'Alembertien pour cette métrique.
Nous insistons que 𝐻 est défini sur un espace 𝐸 agissant sur les fibres.
Soit 𝑢 une fonction définie dans 𝐸 :
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝜉(𝑥)) = 𝑢 (𝑥, 𝑔𝑖𝑗 (𝑥))
Alors la condition d'Hamiltonien (1.27) prend la forme:
⊡ 𝑢 − 𝛼𝑁−1 (𝑅 − 2Λ)𝜑𝑢 = 0
lorsque chaque fibre est équipée avec la métrique de Lorentz (𝛼𝑁−1 𝜑𝐺 𝑎𝑏 ), tel qu'il détermine
un élément du volume, alors on obtient l'équation:
√|𝑑𝑒𝑡(𝛼𝑁−1 𝜑𝐺 𝑎𝑏 )|𝑑𝜉
et pour 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶𝑐∞ (𝐸, 𝕂) où 𝕂 = ℂ ⋁ 𝕂 = ℝ, tel que le produit scalaire:
〈𝑢, 𝑣〉𝐸 = ∫ ∫
𝑆0

𝑢𝑣̅

𝐹(𝑥)

où l'élément du volume de la fibre 𝐹(𝑥) est donné par l'expression ci-haut et que l'hypersurface
𝑆0 définie par la métrique 𝜒𝑖𝑗 .
√𝜒𝑑𝑥
L'expression où chaque fibre est équipée avec la métrique de Lorentz est appelé l'équation
Wheeler-DeWitt.

4

Il est immédiatement claire que l'opérateur de différentiel hyperbolique est adjoint, et lorsque
chaque fibre est globalement hyperbolique, le problème de Cauchy pour l'équation de WheelerDeWitt:
𝐻𝑢 = 0
peut être uniquement traité dans 𝐸 pour des valeurs initiales données sur une hypersurface de
Cauchy, et les techniques de la Théorie Quantique du Champs peuvent être utilisées pour
quantifier le champ 𝑢 représentent les champs gravitationnels.
III.L’APPROCHE DE FLOT DE RICCI
Le théorème des voisinages canoniques affirme essentiellement qu’aux points de grande
courbure scalaire d’un flot de Ricci, la géométrie est canonique, c’est-à-dire presque
isométrique à un nombre fini des hypersurfaces simples. Pour ne pas inclure trop de paramètres,
par dilatation de la métrique initiale, on peut supposer que le flot vit sur [0,1] au moins et
demander que les boules unités de la métrique initiale soient presque Riemanniennes. Ainsi,
pour quantifier un champ (dans notre cas, il s’agirait d’un champ des dilatons), tel que le choix
approprié du difféomorphisme peut former une équation d’une hyperbole faible ou une
hyperbole forte. C’est ainsi, nous établissons un théorème qui résume une action des dilatons
supposée être une action globale d’Einstein-Hilbert, lorsqu’on considère un mouvement
relativiste des particules sur une courbe scalaire par la recherche de l'Hamiltonien du système.
Théorème: Soit (𝑀, 𝑔̅ ) un espace-temps globalement hyperbolique, 𝑓 une fonction du temps
qui divise 𝑔̅ avec une hypersurface de Cauchy 𝑆0 . Soit Ω ⋐ M un ouvert et pré compact, et qui
assume que la première variation de la fonction ℱ = ∫Ω (𝑅̅ + |∇𝑓|2 ) 𝑒 −𝑓 ne disparait pas en 𝑔̅
pour toute variation de compact𝑔̅ dont il peut s'exprimer comme 𝑑𝑠̅ 2 = −𝑤 2 (𝑑𝑥 0 )2 +
𝑔̅𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 , alors, la première variation de ℱ dans 𝑔̅ ne disparait pas aussi pour une variation
compact arbitraire.

Preuve:
Considérons une fonction
ℱ = ∫ (𝑅̅ + |∇𝑓|2 ) 𝑒 −𝑓
Ω

pour une métrique Riemannienne 𝑔̅ et une fonction du temps 𝑓 = 𝜆0 sur un support compact
dans Ω, avec l'hypersurface de Cauchy 𝑆0 = 𝑓 −1 (0).
Soit 𝜔 = 𝜔𝛼𝛽 un tenseur symétrique et la métrique 𝑔̅𝑖𝑗 (𝜖) = 𝑔̅𝑖𝑗 + 𝜖𝜔, |𝑒| < 𝜖0 .
Sa première variation peut être exprimée sous la forme:
𝛿ℱ(𝑔̅𝑖𝑗 ; 𝜔) ≠ 0

5

C’est-à-dire :
𝛿ℱ(𝑔̅𝑖𝑗 ; 𝜔) = ∫ 𝑒 −𝑓 [−∆𝑔̅ + 𝛻𝑖 𝛻𝑗 𝑔̅𝑖𝑗 − 𝑅𝑖𝑗 𝑔̅𝑖𝑗 − 𝛻𝑖 𝑓𝛻𝑗 𝑓
𝛺

𝑔̅
+ 2 〈𝛻𝑓, 𝛻𝜔〉 + (𝑅 + |𝛻𝑓|2 ) ( ⁄2 − 𝜔)]
𝑔̅
= 𝑒 −𝑓 ∫ −𝑔̅ [(𝑅 + |∇𝑓|2 ) + ( ⁄2 − 𝜔) (2Δ𝑓 − |∇𝑓|2 + 𝑅̅ )]
Ω

𝑔̅
Si 𝑔̅𝑖𝑗 (𝜖) = 𝜖𝜔, alors:( ⁄2 − 𝜔) ⟶ 0, on reste avec:
𝛿ℱ(𝑔̅ ; 𝜔) = 𝑒 −𝑓 ∫ −𝑔̅ [(𝑅 + |∇𝑓|2 )]
Ω

La fonctionnelle ℱ et sa formule de la première variation peut être retrouvé dans la littérature
de la théorie des cordes, où elle décrit une action effective en faible énergie ; La fonctionnelle
ℱ est appelée : champs d’un Dilaton.
Pour les courbes scalaires, on peut déduire l'équation de GauB sur 𝑅 sous la forme:
𝑅̅ = 𝐻 2 + |𝐴|2 + 𝑅̅ − 2𝑅𝑖𝑗 𝜈 𝑖 𝜈 𝑗
où nous avons 𝐻 la moyenne de la courbure:
𝑛
𝑖𝑗

𝐻 = 𝑔 ℎ𝑖𝑗 = ∑ 𝑘𝑖
𝑖=1

et 𝑘𝑖 sont les principales courbures, |𝐴|2 est défini par :
𝑛

|𝐴|2 = ℎ𝑖𝑗 ℎ𝑖𝑗 = ∑ 𝑘 2 𝑖
𝑖=1

et où la seconde forme fondamentale ℎ𝑖𝑗 de 𝑅 peut être exprimé comme:
1
ℎ𝑖𝑗 = − 𝑔̇ 𝑖𝑗 𝜔−1
2

𝜕𝑔𝑖𝑗
𝑔̇ 𝑖𝑗 =
= −2𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑡
Ainsi, (2.40) peut s'écrire:
−2𝑅𝑖𝑗 𝜈 𝑖 𝜈 𝑗 = −2(𝐻 2 − |𝐴|2 ) + 𝐷𝑖 𝑎𝑖
Lorsque les termes de divergence sont négligés, alors la fonction devient:
ℱ = 𝑒 −𝑓 ∫ {𝐻 2 − |𝐴|2 + 𝑅 + |∇𝑓|2 } 𝜔√𝑔
Ω

6

En utilisant les relations de (2.38) à (2.42), nous concluons finalement:
ℱ = 𝑒 −𝑓 ∫ {𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝜔−2 + 𝑅 + |∇𝑓|2 } 𝜔√𝑔
Ω

où la métrique de DeWitt est:
1
𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 = {𝑔𝑖𝑘 𝑔 𝑗𝑙 + 𝑔𝑖𝑙 𝑔 𝑗𝑘 } − 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑙
2
𝑔𝑖𝑗 = (𝑔𝑖𝑗 )

−1

Maintenant nous pouvons chercher l'Hamiltonien correspondant, mais avant tout, nous avons
besoin d'un ajustement:
𝑔 = 𝑑𝑒𝑡(𝑔𝑖𝑗 )
par:
𝑑𝑒𝑡(𝑔𝑖𝑗 )
𝑔=
𝑑𝑒𝑡(𝜒𝑖𝑗 ) ≡ 𝜑 2 𝑑𝑒𝑡(𝜒𝑖𝑗 )
𝑑𝑒𝑡(𝜒𝑖𝑗 )
où 𝜒 = 𝜒𝑖𝑗 est une métrique arbitraire mais fixée sur la métrique Riemannienne dans 𝑆0
et 𝜑 est simplement une fonction:
0 < 𝜑 = 𝜑(𝑥, 𝑔𝑖𝑗 ) =

√𝑔
√𝜒

Alors, nous avons:
ℱ = 𝑒 −𝑓 ∫ {𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝜔−1 + 𝑅 + |∇𝑓|2 𝜔𝜑}
Ω

Dénotons la fonction Lagrangienne dans l’expression ci-haute par 𝐿, nous définissons :
ℵ𝑖𝑗 = −

1 𝜕𝐿
= 𝜑𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 𝑒 −𝑓 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑘𝑙 𝜔−1
2 𝜕𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗

̂:
et nous obtenons pour la fonction Hamiltonienne 𝐻
1
𝜕𝐿
̂ = − 𝑅𝑖𝑐𝑔
𝐻
−𝐿
𝑖𝑗
2
𝜕𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗
= 𝜑𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 (𝑒 −𝑓 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗 𝜔−1 ) (𝑒 −𝑓 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑘𝑙 𝜔−1 )𝜔 𝑒 𝑓 − 𝑒 −𝑓 (𝑅 + |∇𝑓|2 )𝜔𝜑
= 𝜑𝐺𝑖𝑗,𝑘𝑙 ℵ𝑖𝑗 ℵ𝑘𝑙 𝜔 𝑒 𝑓 − 𝑒 −𝑓 (𝑅 + |∇𝑓|2 )𝜔𝜑
≡ 𝐻𝜔


−1

𝐺𝑖𝑗,𝑘𝑙 = (𝐺 𝑖𝑗,𝑘𝑙 ) .
7

Lorsque 𝜔 est une fonction arbitraire, telle que nous obtenons la contrainte Hamiltonienne:
𝐻 = 𝜑𝐺𝑖𝑗,𝑘𝑙 ℵ𝑖𝑗 ℵ𝑘𝑙 𝑒 𝑓 − 𝑒 −𝑓 (𝑅 + |∇𝑓|2 )𝜑 = 0
En appliquant la quantification canonique, et en posant ℏ = 1 , nous remplaçons:
ℵ𝑖𝑗 = ℵ𝑖𝑗 (𝜆) ⟶

1
𝜕𝐿
𝑖 𝜕𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗 (𝜆)

où 𝑅𝑖𝑐𝑔𝑖𝑗 (𝜆) sont des points sur l'hypersurface de Cauchy, on a 𝜆 ∈ 𝑆0 .
Après la quantification, la fonction Hamiltonienne se transforme en un opérateur hyperbolique:
En posant
⊡ = 𝜑𝐺𝑖𝑗,𝑘𝑙 ℵ𝑖𝑗 ℵ𝑘𝑙 𝑒 𝑓
alors, on écrit:
𝐻 ≡ ⊡ − 𝑒 −𝑓 (𝑅 + |∇𝑓|2 )𝜑
Où ⊡ est un opérateur d'Alembertien

.

Si nous définissons une fonction 𝜙 = 𝜙 (𝜆, 𝑔𝑖𝑗 (𝜆)) agissant sur l'hypersurface de Cauchy5,
alors:
⊡ 𝜙 − 𝑒 −𝑓 (𝑅 + |∇𝑓|2 )𝜑𝜙 = 0
avec la métrique de Lorentz (𝑒 −𝑓 𝜑𝐺 𝑎𝑏 ), tel qu'il détermine un élément du volume, alors on
obtient l'équation:
√|𝑑𝑒𝑡(𝑒 −𝑓 𝜑𝐺 𝑎𝑏 )|𝑑𝜉
d'où
𝐻𝜙 (𝜆, 𝑔𝑖𝑗 (𝜆)) = 0
Ainsi, les deux expressions ci-haut représentent l'équation de Wheeler-DeWitt en flot de
Ricci.∎

8

REFERENCES
[1].

Claus Gerhardt, The quantization of Gravity in Globally Hyperbolic
Spacetimes, International Press, 2012

[2].

Bryce S. DeWitt, Quantum theory of Gravity I. The canonical Theory,
Phys.Rev.160 (1967)

[3].

Grigori Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric
applications, 2008

9


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