ANADEV2012 2013c signed signed .pdf

Corrigé type du devoir d’analyse Stat-Plan I 2012-2013
1:




é ΙR.
1- Montrons que l’ensemble des distances entre deux éléments quelconques de A admet une
borne supérieure : il suffira de montrer que cet ensemble est non vide et majoré.

, ! ,
:
= # = | − |, ∈ ∈ '

∈ ∈
ΙR ∀ , ∈ ΙR ΙR, <
=
> .

Si =
− = 0
| − | = 0 = #0'



<
> , ,
é, ∃ !, . ΙR ΙR ! ≤ . , ! ≤ ≤ . 0
! ≤ ≤ .
− . ≤ − ≤ −! 1 .

0 + 1 ⇒ − . − ! ≤ − ≤ . − !
⇒

⇒

0 < | − | ≤ . − !

= 40; . − !4

, . − ! ≥ 0

7
,
,


∀ , 1

7 ∀ , , ∃ !, . ΙR ΙR ! ≤ . , | − | ≤ . − !
≤ | − | ∀ .


! 8
é 2

7 1 2 ,
! 8
é;
!
é !è
é
2- .

, ≤ − ; < : il suffira de montrer que Sup(A)-Inf(A) est un
majorant de E.

é ⇒ ∀ , ∈ , ; < ≤ ≤ ; ; < ≤ ≤
; < ≤ ≤ ⇔

; < ≤ ≤

; < ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ −; <
+ ⇒

; < − ≤ − ≤ − ; <

⇒ −> − ; < ? ≤ − ≤ − ; <

⇒

| − | ≤ − ; <

⇒

∀ ∈ , ≤ − ; <

⇒ > − ; < ? ! 8
.

d(A) étant la borne supérieure de E, il est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de E.
Soit H, l’ensemble des majorants de E, on a donc d(A)=Min(H) et ∀ hєH, d(A)≤h. Or Sup(A)-Inf(A) est
un majorant de E soit (Sup(A)-Inf(A)) є H. Alors ≤ − ; < .
3- .

, ∀@ > 0, ∃ , ∈ , | − | > − ; < − 2@

é ⇒ ∃ , ∈ , ∀@ > 0 − @ < ; < ; < + @ ;
− @ < ; < ; < + @
− @ < ⇔ > − @ A

< ; < + @ ⇒ − > −; < − @ B

A + B ⇒ − > − ; < − 2@
< ; < + @ ⇒ − > −; < − @ C
− @ < ⇔ > − @ D
C + D ⇒

− > − ; < − 2@

⇒ − − > − ; < − 2@

7 , − > − ; < − 2@ − − > − ; < − 2@.


| − | > − ; < − 2@.

∀@ > 0, ∃ , ∈ , | − | > − ; < − 2@.

E
∀@ > 0, ∃ , ∈ , | − | > − ; < − @.

E è é
à ,
2, ∀ , , | − | ≤ − ; < .
E

= − ; < .

2:

1 −
é .
G <
éH é − 1 < ≤ ,
ù é H è :
∀ ∈ ΙR, ≤ < + 1.

≤ < + 1 ⇒ ≤ < + 1
⇒ ≤ − 1 <

⇒ − 1 < ≤


∀ ∈ ΙR,

⇒ − 1 < ≤

− 1 < ≤

2 − E
è JK é< JK =

ln !


− .

, JOK !
! + ∞:

JOK =

ln 2 ! lnQ2n 2n − 1 2n − 2 … 2n − 2n + 1 4 lnQ 2n OS + o 2n OS 4
=
=
2
2
2

7
lim QJOK 4 = lim Z
K→XY

K→XY

lnQ 2n OS + o 2n OS 4
[
2

lnQ 2n OS 4
= lim Z
[
K→XY
2
= lim \
K→XY

2 ln 2
]
2

= lim Qln 2 4
K→XY

= lim Qln 2 + ln 4
K→XY

lim Qln 4 = +∞
lim Qln 2 + ln 4 = +∞

K→XY

K→XY

^ lim QJOK 4 = +∞
K→XY

− 7é!

, JOK JOKX_
é,
é
! JK :
`


lim \

K→XY

JOKX_
]
JOK

ln 2 + 1 !
JOKX_
lim \
] = lim a 2 + 1 b
K→XY JOK
K→XY
ln 2 !
2

lnQ 2 + 1 2 + 1 − 1 !4
2 + 1
= lim a
b
ln 2 !
K→XY
2

lnQ 2 + 1 2 !4
2 + 1
= lim a
b
ln 2 !
K→XY
2

ln 2 + 1 + ln 2 !
2 + 1
= lim c
d
ln 2 !
K→XY
2
ln 2 + 1 ln 2 !
+ 2 + 1
= lim a 2 + 1
b
ln 2 !
K→XY
2

ln 2 + 1 ln 2 !
= lim a 2 + 1 + 2 + 1 b
ln 2 !
ln 2 !
K→XY
2
2

ln 2 + 1
ln 2 !
2

= lim a 2 + 1 +
b
ln 2 !
K→XY
2 + 1 ln 2 !
2

ln 2 + 1
JOKX_
2
lim \
] = lim a 2 + 1 +
b
ln 2 !
K→XY JOK
K→XY
2 + 1
2
2
2
= lim
= 1;
K→XY 2 + 1
K→XY 2
lim

ln
ln 2 !
= 0 = 2 + 1 lim
= +∞
e→XY
K→XY
2
lim

ln 2 + 1
2 + 1
7
lim ln 2 ! = 0.

K→XY
2
^ , lim \
K→XY

f

ln 2 + 1
2
lim a 2 + 1 +
b=1
K→XY
ln 2 !
2 + 1
2

JOKX_
] = 1.
JOK

JOK JOKX_

é, .
lim QJOKX_ 4 = lim QJOK 4 = +∞.
K→XY

K→XY

JOK JOKX_ é JK ,
é , lim JK = +∞.
K

K→XY

1
i ln j
H é !

3 − .

, é< hK =
ln !
! :

_

K
_


;K , é< ;K =
K

1
hK = i ;k


K

1
1
ln j
hK =
i ln j = i
ln !

ln !
_

ln
∀ ≥ 1,
:
ln !

_

∀ ≥ 1, ln − 1 < ln ≤ ln

, ln − < ln ≤ ln

∀ ≥1

,

ln − < ln ≤ ln

∀j ≥1

,

ln − ln ln
<
≤
ln !
ln !
ln !

lim \

K→XY

ln −
ln

−
] = lim \
]
K→XY
ln !
ln ! ln !
= lim \
K→XY

K→XY

lim \

K→XY

lim \

K→XY

= lim \
K→XY

K→XY



ln

−
]
K
+
4 ln !

ln

−
]
K
lnQ 4 ln !
ln

−
]
ln ln !

ln −

] = lim l1 −
m
K→XY
ln !
ln !
ln !
] = +∞



lim l

K→XY


m = 0.

ln !

ln
ln
] = lim \
]
K
K→XY lnQ +
K 4
ln !
= lim \
K→XY

lim \

1
> 0 ∀ ≥ 1
ln !

K→XY lnQ K

= lim \

lim \

,

= lim \
K→XY

ln
] = 1.
ln !

lim \

K→XY

ln −
]=1
ln !

ln
]
lnQ K 4
ln
]
ln

ln
lim Z
[=1
ln !

K→XY

K

ln
1
f ;K =


H . è ℎé
è!
, hK = i ;k
ln !


H
H !ê! ! , ;K .




lim QhK 4 = 1.

K→XY

_

1 − 7é !
!

ln 1 + p sS p
lim Zq
r
[
p→XY
ln

3:

:

lim l t u + 3 − 3 − t O + 2 m
p→XY

v

*

ln 1 +
lim Zq
r
p→XY
ln

p sS p

1 p sS p
ln + ln x1 + y
[ = lim cw
z
d
p→XY
ln
1 p sS p
ln
x1
+
ln
yz
+
= lim cw
d
p→XY
ln
ln

1 p sS p
ln x1 + y
z
= lim cw1 +
d
p→XY
ln
} p sS p sSw_X
= lim ||
p→XY
|
{

_
sSx_X y
p z€
sS p




~
_
sSx_X y

p
}
_ wsSw_X sS p
sSx_X
y
| p sS p w
p
_
sS p z
|
p sS p
sSx_X y
p
ln 1 +
sS p
lim Zq
r
[ = lim |
p→XY
p→XY |
ln
|
|
{

zz €







~

_
sSx_X y

}
wsSw_X sS pp
| p sS p xsSx_X_yy
_
p
| sS p
p sS p
sSx_X y
p
ln 1 +
|
sS p
lim Zq
r
[ = lim
p→XY
p→XY |
ln
|
|
{
_
sSx_X y

}
wsSw_X sS pp
| pxsSx_X_yy
_
p
|
sSx_X y
p
sS p
= lim |
p→XY |
|
|
{

zz €







~

zz €







~

_
sSx_X y €
z €




~

}
p
}
_ | sSw_X sS p
sSx_X
y
| a
p b|
|
_
_
|
sSx_X y
|
p
p
p sS p
|
|
ln 1 +
sS p
{
lim Zq
r
[ = lim |
p→XY
p→XY
ln
|
|
|
{





~

1
1
ln x1 + y
1
ln 1 +
1 ln x1 + y
lim \ ] = lim a
[ = 1 ‚ ;
b = 0 lim Z
ƒ
ù → +∞
p→XY
p→XY
e→
ln


ln

1
ln x1 + y €
}
z
| ln w1 +
1
ln
ln x1 + y
|

7
lim a
b = lim |
=1
1
1
p→XY
p→XY
ln
x1
+
y
|



|

ln
{
~




_
sSx_X y €
z €




~

}
p
}
_ | sSw_X sS p
sSx_X
y
| a
p b|
|
_
_
|
sSx_X y
|
p
p
|
|
sS p
{
lim
p→XY |
|
|
|
{

=



~

ln 1 + p sS p
lim Zq
r
[= .
p→XY
ln

^

*
lim l t u + 3 − 3 − t O + 2 m = lim l t u + 3 − 3 − + − t O + 2 m

p→XY

v

p→XY

v

t u + 3 − 3 − y + x − t O + 2 yb
lim l t u + 3 − 3 − t O + 2 m = lim ax„……………†……………‡
„…………†…………‡
p→XY
p→XY
v

v

u

ˆ p

x t u + 3 − 3y − u = u + 3 − 3 − u
v

7
:

= 3 − 3

O

‰ p

3 − 3 = lx t u + 3 − 3y − m \x t u + 3 − 3y + x t u + 3 − 3y + O ]
v

v

O

v

= Q 4 \x t u + 3 − 3y + x t u + 3 − 3y + O ]


=

=

=

v

v

3 − 3

O

l>√ u + 3 − 3? + >√ u + 3 − 3? + O m
v

‹Œ 1 +
v

3
x3 − y

O

3
3
v
− Ž + >√ u + 3 − 3? + O 
O u

‹ O Œ 1 +
v

v

3
x3 − y
O

3
3
v
− u Ž + >√ u + 3 − 3? + O 
O



=

=


:

Q 4 ‹ Œ 1 +
v

‹ Œ 1 +
v

3
x3 − y

O

3
3
v
− Ž + >√ u + 3 − 3? + 
O u
3
x3 − y
O

3
3
v
− Ž + >√ u + 3 − 3? + 
O u

}
€
3
|

x3 − y

lim = lim |
O
p→XY
p→XY |

v
3
3
v
|‹ Œ 1 + O − u Ž + >√ u + 3 − 3? + 


{
~
O

v
3
3
3
v
lim \q3 − r] = 3 lim c w 1 + O − u z + x t u + 3 − 3y + d = +∞
p→XY
p→XY




}
€
3
|

x3 − y
 = 0.
7
lim |
O
p→XY |

v
3
3
v
|‹ Œ 1 + O − u Ž + >√ u + 3 − 3? + 


{
~
^ lim = 0.
p→XY

O

O − xt O + 2 y = O − O − 2
= −2

= l − xt O + 2 ym l + xt O + 2 ym

7
:

‘ =

= Q‘ 4 l + xt O + 2 ym

−2

’ + >√ O + 2 ?“

‘ =

=

=

=

‘ =

−2

’ + >√ O + 2 ?“
−2

2
Z + Œ| |1 + Ž[
−2

2
Z + Œ 1 + Ž[
−2

, → +∞

2
Q 4 Z1 + Œ1 + Ž[

−2

2
Z1 + Œ1 + Ž[


:

}
€
−2
|

lim ‘ = lim |

p→XY
p→XY
|Z1 + Œ1 + 2Ž[
~
{

2
lim Q−24 = −2 lim a1 + w1 + zb = 2
p→XY
p→XY

}
€
−2
|

7
lim |
 = −1
p→XY
|Z1 + Œ1 + 2Ž[
~
{

^ lim Q‘ 4 = −1
p→XY

E :

lim l t u + 3 − 3 − t O + 2 m = lim l t u + 3 − 3 − + − t O + 2 m

p→XY

v

p→XY

v

= lim Q + ‘ 4
p→XY

lim Q 4 = 0 lim Q‘ 4 = −1
lim Q + ‘ 4 = −1

p→XY




p→XY

p→XY

lim l t u + 3 − 3 − t O + 2 m = −1.

p→XY

v

2 −
<

é,
H é .

−
<< ! ,
H ,
H , é!

:
7é!

:
~ ⇒
•


→ 1.




,
H <<é
H
E


< 0—
> 0—
` à –

–
> 0
< 0




< 0, , ,
→ 1 1 > 0

> 0.




E

,
H ,
H .
− e ˜
<
é! ,
H .
7


! :

^
=

1
1
+ 1 =
H 0.



1
+1

lim \
] = lim a
b
1
p→
p→


1
1
= lim a + b
1
p→ 1


lim \

p→

= lim Q1 + 4
p→


] = 1.


E
~ .

e p =

_
x X_y
p



_

˜ p = p

e p

lim Z ˜ p [ = lim a
p→
p→

_
x X_y
p

_

_

p

b

_

= lim \ p X _™ p ]
p→

lim Z

p→

= lim Q _ 4
p→

e p
[ = .
˜ p

e p
lim Z ˜ p [ = ≠ 1,
é, <

e ˜

p→


é,
H 0.
`

:

e ˜
é,
H 0



é,
H 0.

3 −
<K <

é< ΙR : <K = ™p K , ΙN.

− ^

, !

, <K ∈ ` Y ΙR

k


j, <K = ^k . ™p ,
ù ^k <


ô! à

.

™p ∈ ∁Y ΙR K ∈ ∁Y ΙR é <


ô! . ; é ,

™p K , ΙN ∈ ` Y ΙR
ù <K ∈ ` Y ΙR .

7 è <
! f ž, <. H

k



7


k
<K

k

= i ∁Ÿk ™p K
Ÿ 

Ÿ

k™Ÿ

k

= i ∁Ÿk −1 Ÿ . ™p . K
Ÿ 
k

= ‹i −1 Ÿ ∁Ÿk K
Ÿ 

k™Ÿ

k™Ÿ

 ™p

k

= i ∁Ÿk < Ÿ . H k™Ÿ
Ÿ 

, ™p

Ÿ

= −1 Ÿ . ™p

k

k
<K

= ‹i −1 Ÿ ∁Ÿk K

k
<K

K™kXŸ
= ‹i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
 ™p , K
K

k
<K

= ^k .

Ÿ 

k™Ÿ

k

 ™p

Ÿ 

™p


ù

k

Ÿ 

k

K™kXŸ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
K
Ÿ 

E H : − j = 0
− j > 0
− j = 0,
:
k

Ÿ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k
Ÿ 

7 ,
= j = 0
= j ≥ 1
= j = 0,
:


Ÿ
^ = i −1 Ÿ ∁Ÿ 0 − !∁™Ÿ

Ÿ 

^ = −1  ∁ 0 !∁ 

^ = 1


:

^k 0 = ^ = ^ 0 = 1 = j = 0 ;_

k

Ÿ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k
Ÿ 

K™kXŸ
= j − !∁k™Ÿ
K

K™kXŸ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
K

− j ≤ ,
^k 0

= j ≥ 1,
:

k™Ÿ

k

Ÿ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k
Ÿ 


^k = i −1
^k =

Ÿ

Ÿ 

∁Ÿk j

−1  ∁k j
k

−

−

Ÿ
!∁k™Ÿ
k


0 !∁k™
k

k

Ÿ
+ i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k
k

Ÿ _

Ÿ
+ i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k
Ÿ _

Ÿ
^k = j! + i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k

7
:

Ÿ _
k

Ÿ
^k 0 = j! + i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k 0
Ÿ _
k

0 0 0
……†……
……‡
0
^k 0 = j! + i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
k „…
Ÿ _
k

Ÿ ¡¢Ÿ£

^k 0 = j! + i −1 Ÿ . ∁Ÿk . j − !. ∁k™Ÿ
k .0
Ÿ _
k

^k 0 = j! + i 0
Ÿ _

^k 0 = j! + j. 0

^k 0 = j! + 0
^k 0 = j!

:

^k 0 = j!

= j ≥ 1 ;O

, ≥ 1

− j > 0,
:
k

K™kXŸ
^k = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
K


:

Ÿ 
k

K™kXŸ
^k 0 = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
K 0
Ÿ 
k

K™kXŸ
^k 0 = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
K 0
Ÿ 
k

^k 0 = i −1 Ÿ ∁Ÿk j − !∁k™Ÿ
0 0 0 … 0
K „……†……‡
K™kXŸ ¡¢Ÿ£

Ÿ 
k

, − j + 1 > 0
− j + ≥ 1

^k 0 = i −1 Ÿ . ∁Ÿk . j − !. ∁k™Ÿ
K .0
Ÿ 
k

^k 0 = i 0
Ÿ 

^k 0 = j + 1 . 0

^k 0 = 0.




^k 0 = 0 − j > 0 à − j ≥ 1 , − j ΙN ∗

;;

7 ;_ , ;O ;; ,
:

^k 0 = 1 = 0! = j = 0
—
‚ ^k 0 = j! = j ≥ 1
^k 0 = 0 > j

E
^k 0 = ¥

j! − j = 0—
0 −j >0

SOKOU Marc