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Nom original: rouquan arthur TSSIB.pdfAuteur: Arthur

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ROUQUAN ARTHUR TSSIB

D E VO IR M AI SO N D E
M ATHE TATI QU E S № 1
A RENDRE LE 16 SEPT. 2013

L Y C E E G U S T AV E E I F F E L
33000 BORDEAUX

E X E RC I C E 1

a) Nous pouvons conjecturer que cette suite converge vers 4 et est strictement décroissante.

𝑢1 = 8


b) ∀𝑛 ∈ ℕ , (𝑢𝑛 ) {
𝑢𝑛+1 = √5𝑢𝑛 − 4
Démontrons par récurrence 𝑃(𝑛) : « ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑢𝑛 ≥ 4 »
INITIALISATION : Pour 𝑛 = 1 , 𝑢1 = 8 donc 𝑢1 ≥ 4. La propriété est donc vraie pour 𝑛 = 1.
HEREDITE : Supposons qu’il existe un certain entier naturel non nul 𝑛, 𝑢𝑛 ≥ 4. Démontrons
alors que 𝑢𝑛+1 ≥ 4.
𝑢𝑛 ≥ 4
5𝑢𝑛 − 4 ≥ 16
√5𝑢𝑛 − 4 ≥ 4
𝑢𝑛+1 ≥ 4.
CONCLUSION : 𝑃(𝑛) est donc vraie pour tout entier naturel non nul 𝑛.

c) Démontrons par récurrence 𝑃(𝑛) : « ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1 »
INITIALISATION : Pour 𝑛 = 1 , 𝑢1 = 8 et 𝑢2 = 6 donc 𝑢1 ≥ 𝑢2 . La propriété est donc vraie
pour 𝑛 = 1.
HEREDITE : Supposons qu’il existe un certain entier naturel non nul 𝑛, 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1 . Démontrons
alors que 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛+2 .
𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1
5𝑢𝑛 − 4 ≥ 5𝑢𝑛+1 − 4
√5𝑢𝑛 − 4 ≥ √5𝑢𝑛+1 − 4 (la fonction racine carrée est strictement positive sur ℝ+)
𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛+2
CONCLUSION : 𝑃(𝑛) est donc vraie pour tout entier naturel non nul 𝑛.

2

E X E RC I C E 2

Voici l’algorithme programmé en TI-Basic :
Prompt N
1→U : 1→S : 0→I
While I<N
2U+1−I→U
S+U→S
I+1→I
End
Disp "U=",U
Disp "S=",S
1) La variable U représente est le terme d’indice 𝑛 de la suite (𝑢𝑛 ), soit simplement 𝑢𝑛 . S est la
somme des termes consécutifs de la suite de 𝑢1 jusqu’à 𝑢𝑛 .
2) a) Dressons la liste des valeurs de 𝑢𝑛 − 𝑛 pour tout entier 𝑛 compris entre 0 et 5.
𝑢0 − 0 = 1
𝑢1 − 1 = 2
𝑢2 − 2 = 4
𝑢3 − 3 = 8
𝑢4 − 4 = 16
𝑢5 − 5 = 32
b) Nous pouvons conjecturer que cette suite est la somme de deux suites, une suite géométrique
de raison 2 et d’une suite arithmétique de raison 𝑛. La formule explicite de la suite (𝑢𝑛 ) serait
donc 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛.
c) Démontrons par récurrence 𝑃(𝑛) : « ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛 »
INITIALISATION : Pour 𝑛 = 0 , 𝑢0 = 1 et 20 + 0 = 1 donc 𝑢0 = 20 + 0. La propriété est
donc vraie pour 𝑛 = 0.
HEREDITE : Supposons qu’il existe un certain entier naturel non nul 𝑛, 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛.
Démontrons alors que 𝑢𝑛+1 = 2𝑛+1 + 𝑛 + 1.
𝑢 𝑛 = 2𝑛 + 𝑛
2𝑢𝑛 = 2𝑛+1 + 2𝑛
2𝑢𝑛 + 1 − 𝑛 = 2𝑛+1 + 𝑛 + 1
𝑢𝑛+1 = 2𝑛+1 + 𝑛 + 1
CONCLUSION : 𝑃(𝑛) est donc vraie pour tout entier naturel 𝑛.
3) a)
𝑛

∑𝑖 = 1 + 2 + ⋯+ 𝑛 =
𝑖=0

𝑛(𝑛 + 1)
2

𝑛

∑ 2𝑖 = 1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑛 = 1
𝑖=0

3

1 − 2𝑛+1 2𝑛+1 − 1
=
1−2
2

b) Nous pouvons ensuite en déduire 𝑆𝑛 :
𝑛

𝑛

𝑆𝑛 = ∑ 𝑖 + ∑ 2𝑖 =
𝑖=0

𝑖=0

𝑆𝑛 = 2𝑛

𝑛(𝑛 + 1) 2𝑛+1 − 1
+
2
2

𝑛2 + 𝑛 − 1
2

E X E RC I C E 3

1) 𝑢1 =

𝑢0
3

1
3

+0−2=

𝑢2 =

𝑢1
3

+1−2 =

𝑢3 =

𝑢2
3

+2−2 =

−5
3

3

−1=

−14
9

3

−2=

=

−5
3

−14
9

−14
27

2) Démontrons par récurrence 𝑃(𝑛) : « ∀𝑛 ∈ ℕ ≥ 4, 𝑢𝑛 ≥ 0»
−14
27

𝑢3
3

67

INITIALISATION : Pour 𝑛 = 4 , 𝑢4 = + 3 − 2 =
+1=
donc 𝑢4 ≥ 0. La propriété
3
81
est donc vraie pour 𝑛 = 4.
HEREDITE : Supposons qu’il existe un certain entier naturel 𝑛 ≥ 4, 𝑢𝑛 ≥ 0. Démontrons alors
que 𝑢𝑛+1 ≥ 0.
𝑢𝑛 ≥ 0
1
𝑢
3 𝑛

≥0

1
𝑢
3 𝑛

+ 𝑛 − 2 ≥ 𝑛 − 2 or 𝑛 ≥ 4 donc 𝑛 − 2 ≥ 2 donc

𝑢𝑛+1 ≥ 0
CONCLUSION : 𝑃(𝑛) est donc vraie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 4.
3) Démontrons par récurrence 𝑃(𝑛) : « ∀𝑛 ∈ ℕ ≥ 5, 𝑢𝑛 ≥ 𝑛 − 3»
67

𝑢

553

INITIALISATION : Pour 𝑛 = 5 , 𝑢5 = 34 + 4 − 2 = 81
+ 2 = 243 donc 𝑢5 ≥ 0. La propriété
3
est donc vraie pour 𝑛 = 5.
HEREDITE : Supposons qu’il existe un certain entier naturel 𝑛 ≥ 5, 𝑢𝑛 ≥ 𝑛 − 3. Démontrons
alors que 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑛 − 2.
𝑢𝑛 ≥ 𝑛 − 3
1
𝑢
3 𝑛

≥ 3−1

𝑛

1
𝑢
3 𝑛

+𝑛−2≥ 3−3+𝑛

𝑛

4

𝑢𝑛+1 ≥ 3 𝑛 − 3
4
3

Démontrons maintenant que 𝑛 − 3 ≥ 𝑛 − 2 pour 𝑛 ≥ 5. Ou sous une autre forme :
4
𝑛
3

−3−𝑛+2≥0

4

1
𝑛
3

−1≥0

Or 𝑛 ≥ 5
1
𝑛
3

≥3

5

1
𝑛
3

−1≥3≥0

2

4

Donc nous avons bien démontré que 3 𝑛 − 3 > 𝑛 − 2. Ainsi nous pouvons affirmer que :
𝑢𝑛+1 ≥ 𝑛 − 2
CONCLUSION : 𝑃(𝑛) est donc vraie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 5.
4) a) Démontrons que 𝑣𝑛 est une suite géométrique.
𝑣𝑛 = −2𝑢𝑛 + 3𝑛 −

21
2

𝑣𝑛+1 = −2𝑢𝑛+1 + 3(𝑛 + 1) −
1

21
2

𝑣𝑛+1 = −2 (3 𝑢𝑛 + 𝑛 − 2) + 3𝑛 −
2

15
2

7

𝑣𝑛+1 = − 3 𝑢𝑛 + 𝑛 − 2
1

𝑣𝑛+1 = 3 (−2𝑢𝑛 +3𝑛 −

21
2

)

1

𝑣𝑛+1 = 3 𝑣𝑛
1
3

La suite 𝑣𝑛 a pour raison 𝑞 = . Calculons 𝑣0 :
𝑣0 = −2𝑢0 + 3 ∙ 0 −
𝑣0 = −2 ∙ 1 −
𝑣0 = −

21
2

21
2

25
2

b) Trouvons tout d’abord la forme explicite de 𝑣𝑛 :
𝑣𝑛 = 𝑣0 ∙ 𝑞 𝑛
𝑣𝑛 = −

25

2

1 𝑛

(3)

Ce qui permet d’en déduire la forme explicite de 𝑢𝑛 :
𝑣𝑛 = −2𝑢𝑛 + 3𝑛 −
𝑢𝑛 =

𝑣𝑛 −3𝑛+

21
2

21
2

−2

𝑢𝑛 =

𝑣
− 2𝑛

3

𝑢𝑛 =

25 1 𝑛
( )
4 3

+ 2𝑛 +
3

21
4

+ 2𝑛 +

21
4

5

c) Nous allons appliquer la fameuse maxime « diviser pour mieux régner » en découpant
l’expression en plusieurs sommes :
1 𝑛+1
1 − ( 3)

𝑆𝑛 =

25
(1
4

𝑆𝑛 =

75
3𝑛(𝑛 + 1) 21
(1 − 3−𝑛−1 ) +
− (𝑛 + 1)
48
4
4

1
1−3

3 𝑛(𝑛 + 1)
21
) − (𝑛 + 1)
)+ (
2
2
4

6


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