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Nom original: formtrig.pdfTitre: Formulaire d…Auteur: costantini

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TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE
Angles associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
p
cos æç + x ö÷ = -sin(x)
è2
ø
p
sin æç + x ö÷ = cos(x)
è2
ø

p
cos æç - x ö÷ = sin(x)
è2
ø
p
sin æç - x ö÷ = cos(x)
è2
ø

p
-x
2

p
+x
2

cos(p – x) = –cos(x)
sin(p – x) = sin(x)

p–x

x

cos(p + x) = –cos(x)
sin(p + x) = –sin(x)

p+x

–x

cos(–x) = cos(x)
sin(–x) = –sin(x)

Relations entre cos, sin et tan
cos2(x) + sin2(x) = 1

1 + tan2(x) =

1
cos 2 ( x)

Formules d'addition
cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)

sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

tan(a) - tan(b)
1 + tan(a ) tan(b)

tan(a - b) =

tan(a + b) =

tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)

Formules de duplication
cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2 cos2(a) - 1 = 1 - 2 sin2(a)
Extensions : cos(3a) = 4cos3(a) - 3cos(a)

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a)

tan(3a) =

tan(2a) =

2 tan(a)
1 - tan 2 (a)

3tan( a ) - tan 3 ( a )
1- 3tan 2 ( a )

Au delà, utiliser la formule de Moivre.

Formules de linéarisation
cos2(a) =
Extensions :

1 + cos(2a)
2

cos3(a) =

sin2(a) =

cos( 3a ) + 3 cos( a )

1 - cos(2a)
2

sin3(a) =

4

tan2(a) =

- sin(3a ) + 3 sin( a )

1 - cos(2a)
1 + cos(2a)

tan3(a) =

- sin(3a ) + 3 sin( a )

4

cos(3a ) + 3 cos( a )

Au delà, utiliser les formules d'Euler. Les formules d'Euler permettent également de montrer que :
cos(a) cos(b) =

1
[cos(a - b) + cos(a + b)]
2

cos(a) sin(b) =

1
[sin(a + b) - sin(a - b)]
2

æ p+qö æ p-qö
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø
æ p+qö æ p-qö
sin(p) + sin(q) = 2 sin ç
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø

sin(a) sin(b) =

æ
è

æ p-qö
÷ sin ç
÷
ø è 2 ø
æ p-qö æ p+qö
sin(p) - sin(q) = 2 sin ç
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø

cos(p) + cos(q) = 2 cos ç

cos(p) - cos(q) = -2 sin ç

p+qö
2

Résolution d'équations trigonométriques
U = p -V

V

1
[cos(a - b) - cos(a + b)]
2

U

cos(U) = cos(V) Û (U = V [2p] ou U = -V [2p])
sin(U) = sin(V) Û (U = V [2p] ou U = p -V [2p])

V

tan(U) = tan(V) Û U = V [p]
Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié
æaö
Si t = tan ç ÷ , on a :
è2ø
Formulaire de trigonométrie

cos(a) =

2t
2t
1- t2
; sin(a) =
; tan(a) =
1+ t2
1+ t2
1- t2
Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/


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