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2.4

2.3.3 Résolution d’une équation différentielle avec conditions initiales
Interprétation physique de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Systèmes décrits par un opérateur de convolution . . . . . . . .
2.4.2 Système causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Réponse à une excitation exponentielle . . . . . . . . . . . . . .

3 La Transformation de Fourier
3.1 Transformée de Fourier des fonctions . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Transformée de Fourier en sinus et cosinus . . . . . . . .
3.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Transformée de Fourier et convolution . . . . . . . . . .
3.1.7 Formule de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Transformée de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Espace S et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Transformée de Fourier des distributions tempérées . . .
3.2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Transformée de Fourier de la distribution peigne de Dirac
3.3 Séries de Fourier et Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Transformée de Fourier des fonctions périodiques . . . .
3.3.2 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 La Transformation de Laplace
4.1 Transformée de Laplace des fonctions . . . . . . . . . .
4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Lien entre transformées de Laplace et de Fourier
4.1.3 Domaine de définition, abscisse de sommabilité
4.1.4 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Propriétés et Exemples . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Transformée de Laplace des distributions . . . . . . . .
4.2.1 Lien entre transformée de Laplace et de Fourier
4.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Application à la résolution d’équations de convolution .
4.4 Utilisation de la transformée de Laplace en physique . .
4.4.1 Calcul des fonctions de transfert en électronique
4.4.2 En mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

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