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Institut Sup´erieur d’Electronique
et de Communication de Sfax
***

A.U. : 2013-2014
Section : 1 ING GEC1
Date : Septembre 2013

Feuille d’excercices n◦ 1
Math´
ematiques de l’ing´
enieur
Exercice 1. Soit f : R → R une fonction 2π-p´eriodique, impaire et constante ´egale `a 1 sur
]0, π[.
1. Donner la s´erie de Fourier associ´ee `a f .
2. Etudier la convergence de la s´erie de Fourier associ´ee `a f .
3. En d´eduire les sommes

+∞
X

+∞
X
X 1
(−1)n +∞
1
,
,
.
2
2n + 1 n=0 (2n + 1) n=1 n2
n=0

Exercice 2. Soit f, g : R → R deux fonctions 2π-p´eriodique, f paire, g impaire, d´efinies sur
]0, π[ par : f (x) = g(x) = x2 .
1. Donner les s´eries de Fourier associ´ees `a f et g.
2. Etudier la convergence des s´eries de Fourier associ´ees `a f et g.
+∞
X

X
(−1)n +∞
3. En d´eduire les sommes
(−1)n
,
2
n
n=0
n=0

!

−π 2
4
+
.
2n + 1 (2n + 1)3

Exercice 3.
1. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction T -p´eriodique suivante
(

f (t) =

−T /2 ≤ t ≤ 0
,
0 ≤ t < T /2

at
bt

o`
u |a| =
6 |b|. Discuter les cas a = ±b.
2. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction T -p´eriodique suivante
(

g(t) =

a
b

−T /2 ≤ t < 0
.
0 ≤ t < T /2

3. Comment peut-on comparer ce r´esultat `a celui de la question pr´ec´edente ?
Exercice 4. D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur [0, π] par :
f (t) = exp(−at). En d´eduire la valeur de la somme des s´eries num´eriques suivantes
+∞
X

+∞
X

(−1)n
,
n2 + a2
n=0

n=0

n2

1
.
+ a2

Exercice 5. Trouver une solution particuli`ere p´eriodique de l’´equation diff´erentielle
y 00 (t) − 4y(t) = f (t),
o`
u f est 2π-p´eriodique d´efinie par f (t) = |t| pour t ∈ [−π, π].

1


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