RESUME COMPLEXE 4è.A(1) .pdf
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L..S.C.J.Gafsa
RESUME DE COURS ( nombres complexes 4è.A)
Prof :B.Tabbabi
L'ensemble es nombres complexes est noté et est formé des nombres de la forme a ib où a et b sont des réels
avec i ² 1 .
si z a ib et z ' a ' ib ' où a, b, a ' et b ' sont des réels alors on a :
. z z ' a a ' et b b '
.z 0ab0
.z est réel b 0
.z est imaginaire pur a 0
Conjugué d'un nombre complexe
Si z a ib est un nombre complexe ; (a, b) 2 alors le conjugué de z est le nombre complexe z a ib
Propriétés du conjugué d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes z et z' on a :
1 1
z z
où n * et si z' est non nul ,on a
et
z' z'
z' z'
z z 2 Re( z ) ; z z 2i Im( z ) ; z z Re z ² Im z ²
z z ' z z ' ; zz ' z z ' ; z n z
z est réel z z ;
n
z est imaginaire pur z z
Affixe d'un point -Affixe d'un vecteur
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O, u , v .
.Si M(x,y) est un point du plan alors le nombre complexe z x iy est appelé affixe de M noté z M où aff(M).
Le point M est appelé image de z dans le plan.
.Soient A et B deux points du plan.L'affixe du vecteur AB est noté z
ou aff AB est elle est égale à z B z A .
AB
.Pour tous vecteurs AB et CD du plan et pour tout réel on a :
Aff AB CD Aff AB Aff CD
et Aff AB Aff AB
Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs
U et V sont deux vecteurs du plan tels que V 0 .On a :
z
. U et V sont colinéaires si et seulement si U est réel.
zV
z
. U et V sont orthogonaux si et seulement si U est imaginaire pur.
zV
Module d'un nombre complexe
Si z a ib est un nombre complexe avec a, b 2 alors le module de z est le nombre positif noté z égal à
a ² b² .
Pour tous points M et N d'affixes respectives zM et zn on a : MN zn zM et en particulier OM = zM .
Propriétés du module d'un nombre complexe
z et z' sont deux nombres complexes.On a :
z 0 z 0 ; z z ' z z ' ( inégalité triangulaire ) ; z z ( ) ; zz ' z z ' ; z z ; z z z
z n z ( n * ) ;
n
2
z' z'
1 1
( z 0) .
( z 0 ) ;
z
z
z
z
Argument d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan muni d'un repère orthonormé direct O, u , v .
On appelle argument de z qu'on note arg(z) une mesure de l'angle orienté u , OM .
Si est un argument de z,on peut écrire z z (cos i sin ) qui est la forme trigonométrique de z.
voir verso
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RESUME DE COURS ( nombres complexes 4è.A)
Prof :B.Tabbabi
Calcul de l'argument d'un nombre complexe
Soit z a ib, a, b 2 , un nombre complexe non nul. On a arg( z ) 2 si et seulement si cos
a
b
et sin .
z
z
Propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
1
arg(zz') arg( z ) arg( z ') 2 ; arg( z n ) n arg( z ) 2 ; n ; arg arg( z ) 2 ; arg z arg( z ) 2
z
z
arg arg( z ) arg( z ') 2 ; arg( z ) arg( z ) 2
z'
arg( z ) 2
si 0
pour tout réel non nul on a arg( z )
.
si 0
arg( z ) 2
Théorème
A,B,C et D sont des points du plan tels que AB 0 et CD 0 .
z z
On a u , AB arg z B z A 2 et AB, CD arg D C 2 .
zB z A
Forme exponentielle d'un nombre complexe
Pour tout réel ,on pose cos i sin ei .
si z est nombre complexe non nul d'argument ,alors on a z z ei qui est appelée forme exponentielle de z.
Réciproquement l'écriture r ei , , est la forme exponentielle d'un nombre complexe si et seulement si r est un réel
strictement positif.
Conséquences
1 ei 0 ; i e
i
2
; i e
i
2
; 1 ei ; pour tout k de , on a e i 2 k 1
Pour tout réel ,on a : ei 1 ; ei e i ; ei ei ( ) .
Propriétés
n
1
ei
e i ; i ' ei ( ') ; ei ei ( n ) , n .
i
e
e
n
la dernière égalité s'écrit également cos i sin cos(n ) i sin(n ) qui est appelée formule de Moivre.
.Pour tous réels et ' on a : ei .ei ' ei ( ') ;
ei e i
cos
2
et
ei e i
sin .Ces deux égalités sont connues sous le nom formules d'Euler.
2i
Racines n-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe quelconque
.Pour tout entier naturel non nul n;l'équation z n 1 admet dans exactement n solutions distinctes définies par
2 k
zk e n avec k 0,1,...,(n 1) .Ces solutions sont appelés racines n-ièmes de l'unité.
.Soit a un nombre complexe non nul d'argument et n un entier naturel non nul.
i
L'équation z n a admet dans exactement n solutions distinctes définies par zk re
i
2 k
n
avec k 0,1,...,(n 1) et r est
le réel strictement positif tel que r n a .Ces solutions sont appelées racines n-ièmes de a.
Conséquence
Pour n entier 3 ,les points images des racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul sont les sommets d'un polygone
régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que r n a .
* * * * * * * *

