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Institut Sup´erieur d’Electronique
et de Communication de Sfax
***

A.U. : 2013-2014
Section : 1 ING GEC1
Date : Octobre 2013

Feuille d’excercices n◦ 2
Math´
ematiques de l’ing´
enieur
Exercice 1. D´eterminer les transform´ees de Fourier des fonctions suivantes
1. t 7→ 1[−T,T ] (t).
2. t 7→

sin(t)
.
t

|t|
.
3. t 7→ exp −
T


4. t 7→



1
.
π (1 + t2 )

Exercice 2. Consid´erons l’application f d´efinie sur R par
(

f (x) =

1 − x2
0

|x| ≤ 1
.
|x| > 1

si
si

1. D´eterminer la transform´ee de Fourier de f .
2. Evaluer


Z ∞
x cos(x) − sin(x)
0

x3

x
dx.
2

 

cos





Exercice 3. Soit f : R → R, t 7→ exp −πt2 . D´etreminer F 0 (f (t)) et en d´eduire une ´equation
diff´erentielle en F(f (t)) que l’on r´esoudra. (Rappelons que

Z





exp −πt2 dt = 1)

R

Exercice 4. Calculer le produit de convolution f ∗ g o`
u








f (t) = exp −at2 , g(t) = exp −bt2 , a > 0, b > 0.
Exercice 5. Consid´erons l’´equation int´egrale suivante
Z
R

f (t)dt
1
= 2
,
2
2
(x − t) + a
x + b2

avec 0 < a < b et f ∈ L1 (R). Exprimer sous forme d’une ´equation de convolution l’´equation
pr´ec´edente, d´eterminer F(f (t)) et en d´eduire f (x).
Exercice 6. R´esoudre l’´equation de Laplace
∂2φ
∂2φ
(x,
y)
+
(x, y) = 0, y > 0,
∂x2
∂y 2
∂φ
→ 0 et φ → 0 quand k(x, y)k → ∞, φ(x, 0) = 1 pour |x| ≤ 1 et φ(x, 0) = 0 pour |x| > 1.
∂x
(Indication : Utiliser la transform´ee de Fourier de φ par rapport `a x)

o`
u

1


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