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Nom original: 4M-serie2.app_cmplxes-smaali_Mondher.pdfTitre: complexes et ses applicationsAuteur: SMAALI.MONDHER.

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Complexes .2

Exercice 1
1. On considère dans C l'équation d'inconnue Z :
Z 3  12 Z 2  48 Z  128  0

(E)

a) Vérifier que 8 est solution de cette équation.
Déterminer les nombres réels , ß,  tels que, pour tout complexe Z,
Z 3  12 Z 2  48 Z  128  (Z  8)(Z 2  Z   ).
b) Résoudre l'équation (E).
 

2. (O , u , v ) est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité
graphique est 1 cm.
On considère les points A, B, C d'affixes respectives
a  2  2i 3 , b  2  2i 3 , c  8 .
a) Calculer le module de a (noté a) et son argument .
Placer les trois points A, B et C.
a c
b) Calculer le complexe q 
, déterminer son module et son
bc
argument . En déduire la nature du triangle ABC.
c) Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, a), (B, b),
(C, c). Placer D.
d) Déterminer l'ensemble  des points M du plan tels que :
MA  MB  2 MC  MA  MB  2 MC

Tracer .

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Exercice 2
z et z´ sont deux nombres complexes et on pose : ( z , z ' )  z z ' z z '.
z et z ' désignent les conjugués respectifs de z et z´. Le plan est muni d'un
 
repère orthonormé direct (O ; u , v ) (unité graphique 2 cm).
i



1. Calculer:  (i, 3);  (1 + 2i,  2 + i),  (2 + i,  3 + 2i), ( e 6 , e

i

2
3

).

Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre  (z, z´) est réel.
2. a) On pose z = x + iy et z´ = x´ + iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer  (z, z´)
en fonction de x, x´, y, y´.
b) Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que  (z, 1 + i) = 2
2.
 
Dessiner D dans le repère (O ; u , v ) .
3. a) On pose z = re i et z´ = r´e i´ ;  et ´ réels, r et r´ réels positifs.
Calculer  (z, z´) en fonction de r, r´ et cos ( ´).
b) Exprimer  (z, z') en fonction de r.
Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que  (z, z') = 2.
 
Dessiner C dans le repère. (O ; u , v ) . Que peut-on dire de la position
relative de C et D ? Justifier la réponse.

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Exercice 3
 
Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O ; u , v ) on considère
les points A, B et C d'affixes respectives :
ZA 

Z
6 i 2
; ZB  1i ; ZC  A
2
Z
B

1. a) Écrire ZC sous forme algébrique.
b) Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.
c) Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes
de cos  et de sin  .
12

12

2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.
a) Quelle est la nature du triangle OIB ?
b) Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle

.
12

En déduire la nature du triangle OAC.

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Exercice 4
 étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; ] et z un nombre
complexe, on considère le polynôme P(z), défini par :
P(z) = z3  (1  2 sin ) z2 + (1  2 sin ) z  1.
1. a) Calculer P(1).
b) En déduire l'existence de trois nombres réels a, b, c tels que :
P(z) = (z  1) (az2 + bz + c).
Déterminer a, b et c.
c) Résoudre, dans C, l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes :
z1 = 1 ; z2 =  sin  + i cos  ; z3 =  sin   i cos .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres
complexes z1, z2 et z3.

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Exercice 5
 
Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormé (O ; u , v ) .
Soit (D) l'ensemble des points M de (P) d'affixe z vérifiant :
z  3i  z  2  i

(1)

1. En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont
on donnera une équation.
2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1.
Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe  2 + i.
a) Placer A et B dans le repère (O; u , v) .
b) En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et
B, redémontrer que (D) est une droite. Tracer (D).
c) Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.

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