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4M serie3.app cmplxes smaali Mondher .pdf



Nom original: 4M-serie3.app_cmplxes-smaali_Mondher.pdf
Titre: complexes et ses applications
Auteur: SMAALI.MONDHER.

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Complexes .3

Exercice 1
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
z2  2z + 2 = 0
2. Soit K, L, M les points d'affixes respectives :
zK = 1 + i ; zL = 1  i ; zM =  i 3 .
Placer ces points dans le plan muni d'un repère orthonormé direct
(O ; e1 , e 2 ) (Unité graphique : 4 cm).
On complétera la figure dans les questions suivantes.
3. a) On appelle N le symétrique du point M par rapport au point L.
Vérifier que l'affixe zN du point N est : 2 + i ( 3  2).

b) La rotation de centre O et d'angle  transforme le point M en le point A
2

et le point N en le point C.
Déterminer les affixes respectives zA et zC des points A et C.

c) La translation de vecteur u d'affixe 2i transforme le point M en le point
D et le point N en le point B.
Déterminer les affixes respectives zD et zB des points D et B.
4. a) Montrer que le point K est le milieu des segments [DB] et [AC].
zC  zK
i .
b) Montrer que :
zB  zK
c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

SMAALI.MONDHER.

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Exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; e1 , e2 ) , unité
graphique : 3 cm.
1. Placer les points B et D d'affixes respectives
zB = 3 + i, zD = 3  i.
On complètera la figure dans les questions suivantes.
2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.
3. Soit E le point d'affixe zE = e



i
3

.

a) Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle  .
2

Déterminer l'affixe zA du point A et vérifier que A est le milieu du
segment [OB].
b) Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur 2e 2 .
Déterminer l'affixe zC du point C.
zC  zA
4. Calculer
et déterminer un argument de ce nombre complexe.
zB  zA
5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice
du segment [OB].

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Exercice 3
 
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u , v ) .
L'unité graphique est 4 cm.
À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle
1
que z´=  , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.
z
1. a) Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.
b) En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.
1
2. Démontrer que z '1  ( z  1) .
z
On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et  1.
On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par C* le
cercle C privé du point O.
3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C*.
a) Justifier l'égalité : | z  1| = 1.
Démontrer que | z´ + 1 | = | z´|. Interpréter géométriquement cette
égalité.
b) Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à
partir du point M.
4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1
son symétrique par rapport à l'axe des réels.
a) Calculer z '1 en fonction de z .
z ' 1

Exprimer alors l'argument de z '1 en fonction de l'angle ( M 1 A , M 1 B).
z ' 1

b) Comparer les angles ( M 1 A , M 1 B) et ( MA , MB ).
c) Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.

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Exercice 4
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct (O ; u , v ).
Cet exercice propose l'étude de l'ensemble (C) des points M du plan dont
les affixes vérifient :
| (1 + i)z  3 + 3i|2 + | z  6 |  = 54.
1. Première méthode
a) En posant z = x + iy, donner une équation cartésienne de (C).
b) En déduire la nature de (C).
c) Construire (C).
2. Deuxième méthode
On désigne par s la similitude qui, au point M d'affixe z, associe le point
M1 = s(M) d'affixe z1 = (1 + i) z  3 + 3i et on désigne par t la translation qui,
au point M d'affixe z, associe le point M2 = t (M) d'affixe z2 = z  6.
a) Caractériser géométriquement ces deux transformations.
b) Déterminer les antécédents respectifs S et T de O par s et t.
SM

TM

c) Calculer le rapport OM puis le rapport OM .
1

2

d) En déduire que (C) est la ligne de niveau définie par :
2.SM2 + TM2 = 54.
e) Calculer l'affixe du barycentre G du système {(S, 2), (T, 1)}.
f) Montrer que l'ensemble (C) est défini par MG2 = 8.
g) En déduire la nature et les éléments qui déterminent (C).

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Exercice 5
Quelques définitions :
On dira qu’une application f est involutive si et seulement si fof=Id.
Quatre points A, B, C et D sont cocycliques ssi ils appartiennent au même
cercle. On montre que quatre points A,B, C et D sont cocycliques ssi
 AC , AD   (BC , BD )( ) (attention, ce sont des angles de droites…)

D

C
a

a

O
A
a-Pi

B

E

On désigne par P le plan complexe, par  le point d’affixe i et P’=P-{}. M
un point quelconque de P’ a pour affixe z.
Pour tout réel non nul m, on désigne par fm l’application de P’ dans P’
telle que
m
fm : M ( z )  M ( z ) / z   i 
.
z i
On suppose m donné. Montrer que fm est involutive. Déterminer
l’ensemble des points invariants par fm. Démontrer que pour tout point M
de P’, les points, M et M’ sont alignés et que M .M   m (produit
scalaire).
Soit m et  deux réels non nuls. Pour tout point M de P’, on désigne par
M’ le point fm(M) et par M’’ le point f(M’). Montrer que M’’ est l’image de
M par une transformation que l’on précisera. Quelle est la nature de cette
transformation ?

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