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Nom original: 4M-serie4.app_cmplxes-smaali_Mondher.pdfTitre: complexes et ses applicationsAuteur: SMAALI.MONDHER.

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Complexes .4

Exercice 1
On désigne par M n le point du plan complexe d’affixe zn définie par:
n



n



 1  in 3  1 
z n    e    (cos n  i sin n )
 2
 2
3
3
Où n est un nombre entier naturel et où M 0 est le point d’affixe z 0  1 .
1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles zn est réel.
 
2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé O, u, v 
(Unité = 8 cm).
a. Représenter dans P les points M 0 , M1 , M 2 , M 3 , M 4 .
b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du
triangle OM n M n1 . Montrer que ce triangle est rectangle.
3. On considère la suite (an ) n définie par a n  z n1  z n .
a. Montrer que la suite (a n ) est une suite géométrique dont on
précisera le premier terme et la raison.
b. Calculer l n 

k n

a

k

k 0

. Déterminer la limite de

ln

quand n tend

vers +.
4.
a. Calculer en fonction de n l’aire bn du triangle OM n M n1 .
b. Calculer sn 

k n

b

k

k 0

. Déterminer la limite de

bn

quand n tend

vers +.

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Exercice 2
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
2
1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : z  2 z  4  0 . On
notera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 l’autre.
Donner le module et l’argument de chacun des nombres z1, z2, z12, z22.
Ecrire sous forme algébrique z12 et z22
2. On considère dans le plan les points A (1  i 3 ) , B(1  i 3 ) ,
C( 2  2i 3 ) et D( 2  2i 3 ) .
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la
nature du quadrilatère ABCD ?
b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et
C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des
diagonales de ABCD ?






c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC ? Montrer que les
droites AB et AC sont perpendiculaires.

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Exercice 3
 
Soit un plan P rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v ) . On note
A le point d'affixe i et B celui d'affixe -2i. M le point d'affixe z et M' le
point d'affixe z'.
Soit f l'application du plan complexe définie par:
2z  i
f (z)  z' 
iz  1
1. Soit z un complexe différent de i.
a. On désigne par r et  le module et un argument de z - i.
Interpréter géométriquement r et 
b. Montrer que (z' + 2i) (z - i)=1.
c. On désigne par r' et ' le module et un argument de z' + 2i.
Interpréter géométriquement r' et ‘.
2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M
appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre
B dont on donnera le rayon.
3. Soit T le point d'affixe

2 
2
 1 
i
2
2 



a. Calculer l'affixe de AT ; en déduire que T appartient au cercle (C).




b. Déterminer une mesure en radians de l’angle  u , AT  . Tracer le
cercle (unité 2cm) et placer T.
c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T
par f.

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Exercice 4

 
Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé  O, i , j 
(Unité graphique : 2 cm). Pour tout complexe z on considère dans P les
3

points M d’affixe z, N d’affixe z et Q d’affixe z .
1. Déterminer les nombres complexes z pour lesquels deux au moins de
ces trois points, M, N et Q sont confondus.
2. Dans ce qui suit on supposera M, N et Q deux à deux distincts.
Exprimer les distances MN et MQ en fonction de z. Déterminer et
construire dans P l’ensemble E des points M tels que MN=MQ.
2







3. Montrer que l’angle ( MN , MQ) a pour mesure un argument de z+1.
Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que le triangle
MNQ soit rectangle en M.
4. Dans cette question z= -1-i. Calculer les affixes de N et Q et construire
le triangle MNQ dans le plan P. Que peut on constater ? Expliquer ce
résultat à partir des questions 2°et 3°

Exercice 5
On considère le nombre complexe z  1  i 3 .
Mettre z sous forme trigonométrique. Calculer z2 et z3. En déduire z1992
et z1994 .
b. Résoudre dans C l'équation z 3  8  0 (on remarquera que cette
équation a une racine évidente réelle) . En déduire les solutions dans C
de l'équation (iz  1)3  8  0 .
Donner les solutions sous forme algébrique.

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