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Nom original: presentation1.pdf
Titre: Mécanique du Point Matériel
Auteur: Mohamed EL KACIMI

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Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire


ecanique du Point Mat´
eriel
Mohamed EL KACIMI(1)
(1)

Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique

epartement de Physique
Facult´
e des Sciences Semlalia - Marrakech

Ann´
ee universitaire 2013/2014

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Chapitre I : Rappels et Compl´
ements
Math´
ematiques
Sommaire

1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Chapitre I: Rappels et Compl´
ements Math´
ematiques
1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Introduction

La m´
ecanique newotonienne est l’une des premi`
eres th´
eories les
plus abouties.
Elle constitue un cadre math´
ematique complet qui d´
efinit les outils
de calcul permettant de d´
eterminer le mouvement d’un point. Elle
est ´
elabor´
ee `
a partir du formalisme vectoriel.
Ainsi nous allons d’abord passer en revue des notions sur les
vecteurs et le calcul vectoriel ,les rep`
eres, les syst`
emes de
coordonn´
ees et en fin la diff´
erentiation d’un vecteur.

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Chapitre I: Rappels et Compl´
ements Math´
ematiques
1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Notions de vecteurs

efinition

c’est une grandeur caract´
eris´
ee par quatre
propri´
et´
es :
• intensit´
e : le module ou la norme du vecteur ;
• direction ;
• sens ;
• et ´
eventuellement l’origine.
Une grandeur est dite scalaire lorsqu’elle est

ecrite par un nombre : masse, temp´
erature,
···

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Notions de vecteurs
Classes de vecteurs

Vecteur li´
e
−−→
AB est un vecteur li´
e si son support et son point d’application A
sont fixes.
Exemples : Vitesse, Acc´
el´
eration,
···

B
AB

A


Vecteur glissant
−−→
AB est un vecteur glissant si son
origine peut prendre n’importe
quelle position sur son support
(∆).
Pr. M. EL KACIMI

B

AB
A


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Notions de vecteurs
Classes de vecteurs (II)

Vecteur libre
−−→
AB est un vecteur libre si son origine et son
support (∆) ne sont pas fixes. On obtient
ainsi une infinit´
e de configurations dites
−−→
´
equipollentes au vecteur AB.


B

AB
A

Remarques
−−→
• Dans les figures pr´
ec´
edentes, le AB a son origine au point A et
son extr´
emit´
e au point B, sa direction est celle de la droite (∆) et
−−→
son module kABk = AB.
• Toutes les grandeurs vectorielles d´
ependent du rep`
ere
d’observation.
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Rep`
eres et r´
eferentiels
Le temps et la position

La connaissance du mouvement d’un point mat´
eriel n´
ecessite la
connaissance de l’´
evolution de ses positions en fonction du temps. Aussi, il
faut rep´
erer les positions et mesurer le temps correspondant `
a chacune
d’elles.
Le temps :
il est mesur´
e par une horloge. L’unit´
e du temps dans le syst`
eme
international (SI) est la seconde.
La position :
elle est d´
et´
ermin´
ee dans un rep`
ere d’espace, ou
tri`
edre, et exprim´
ee dans un syst`
eme de coordonn´
ees. Le rep`
ere est constitu´
e de 3 axes Ox,
Oy et Oz orthogonaux deux `
a deux et concourants au point O appel´
e l’origine. Le rep`
ere est
not´
e alors R(O, x, y, z). Le rep`
ere est dit droit si
la r`
egle du tire-bouchon s’applique pour ces axes.
Pr. M. EL KACIMI

z

Tire-bouchon
O

x


ecanique du Point Mat´
eriel

y

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Rep`
eres et r´
eferentiels

Notion de base de l’espace des positions
Chaque axe du rep`
ere est munis d’un vecteur unitaire qui indique l’orientation de
l’axe et l’unit´
e de mesure sur cet axe. Soient (~i, ~j, ~k) les trois vecteurs unitaires
port´
es respectivement par les axes (Ox, Oy, Oz). (~i, ~j, ~k) forment une base
ere R(O, x, y, z).
orthonorm´
ee du rep`
Dans la suite de ce cours toutes les bases seront orthonorm´
ees et directes.
Remarque
Tout vecteur ~v s’´
ecrit sur la base (~i, ~j, ~k) comme
Z

~v = v1~i + v2~j + v3~k

z

o`
u (v1 , v2 , v3 ) sont les composantes de ~v respectivement selon ~i, ~j et ~k.
La position d’un point M peut ˆ
etre rep´
er´
ee `
a l’aide du
−−→
vecteur OM tel que
−−→
−−→ −−→
OM = OH + HM = x~i + y~j + z~k

M
k
O
i

x
X

(x, y, z) sont les coordonn´
ees de M dans le rep`
ere
R(O,~i, ~j, ~k).
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

j

y
Y

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs

Addition de deux vecteurs et multiplication par un r´
eel
Les vecteurs seront exprim´
es dans la base cart´
esienne sauf mention contraire.

Addition
Soient deux vecteurs ~u et ~v tels que
~u =
~v

=

z

u1~i + u2~j + u3~k
v1~i + v2~j + v3~k

u + v
k

=

(u1 + v1 )~i + (u2 + v2 )~j + (u3 + v3 )~k

i

x

Multiplication par un scalaire
Soit λ un nombre r´
eel. On a
λ × ~u =

(λ × u1 )~i + (λ × u2 )~j + (λ × u3 )~k
Pr. M. EL KACIMI

v

O

alors la somme des deux vecteurs est donn´
ee
par
~u + ~v

u


ecanique du Point Mat´
eriel

j

y

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs
Produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs ~
u et ~v est

efini par
u · ~v
~

=
=

u1 × v1 + u2 × v2 + u3 × v3
k~ukk~v kcos(~ud
, ~v ) = k~ukk~v kcos(α).

C’est un scalaire qui peut ˆ
etre positif , n´
egatif ou nul
selon α.
~u · ~u = u21 + u22 + u23 est par d´
efinition la norme ou le
module du vecteur ~u. Ainsi
q

k~uk =
~u · ~u = u21 + u22 + u23 .

v

α
vcosα

u

.
Remarques
• A chaque vecteur non nul ~v , on peut associer un vecteur unitaire ~uv tel
que
~v
v1~i + v2~j + v3~k
~uv =
= p
k~v k
v12 + v22 + v32
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs
Produit scalaire

Remarques II
• Le produit scalaire ne d´
epend pas pas de la base dans laquelle les
vecteurs sont exprim´
es.
Il est invariant dans un changement de base.
~u ⊥ ~v alors ~u · ~v = 0.
Les composantes d’un vecteur sont les
de la base :

v1
 u1 = ~u · ~i
~
u = ~u · j
v2
 2
u3 = ~u · ~k
v3
Pr. M. EL KACIMI

projections sur les vecteurs
= ~v · ~i
= ~v · ~j
= ~v · ~k


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs
Produit vectoriel ou produit ext´
erieur

Le produit vectoriel entre ~u et ~v , not´
e~
u ∧ ~v , est un vecteur d´
efini par :
d
, ~v ) | ;
• son module k~u ∧ ~v k = k~uk|~v k | sin(~u

• sa direction est orthogonale au plan form´
e par
~u et ~v .
• son sens est tel que le tri`
edre (~u, ~v , ~u ∧ ~v ) est
droit.

u∧ v

v
α

u

En utilisant les coordonn´
ees cart´
esiennes de chacun des vecteurs,
l’expression du produit vectoriel est donn´
ee par
~u ∧ ~v = (u1~i + u2~j + u3~k) ∧ (v1~i + v2~j + v3~k)

~i
~k
~j

~

~
~
= (u2 v3 − u3 v2 )i − (u1 v3 − u3 v1 )j + (u1 v2 − u2 v1 )k = u1 u2 u3
v1 v2 v3
qui peut ˆ
etre donc mise sous la forme d’un d´
eterminant d´
evelopp´
e suivant
la premi`
ere ligne.
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel








Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs
Produit vectoriel ou produit ext´
erieur

Propri´
et´
es
• antisym´
etrie : ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u ;
• distributivit´
e par rapport `
a l’addition : (~u1 + ~u2 ) ∧ ~v = (~u1 ∧ ~v ) + (~u2 ∧ ~v ) ;
• multiplication par un scalaire : λ~u∧~v = ~
u ∧ λ~v = λ ∧ (~u ∧ ~v ) ;
• non associativit´
e :~u1 ∧ (~u2 ∧ ~v ) 6= (~u1 ∧ ~u2 ) ∧ ~v
Remarques
• Deux vecteurs non nuls sont parall`
eles si leur produit vectoriel est nul
~u//~v =⇒ ~u ∧ ~v = ~0.
• Les vecteurs


 ~i · ~j =
~j · ~k =

 ~k · ~i =

de la base cart´
esienne v´
erifient les relations suivantes :

~
~

0
 i ∧ j = ~k
~j ∧ ~k = ~i
k~ik = k~jk = k~kk = 1
0


~
~
~
0
k∧i = j
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Op´
erations sur les vecteurs
Double produit vectoriel et produit mixte

Double produit vectoriel
Le double produit vectoriel est un vecteur d´
efini comme suit
~u ∧ (~v ∧ w)
~

=

(~u · w)~
~ v − (~u · ~v )w
~

C’est un vecteur qui appartient au plan engendr´
e par (~v , w).
~
Produit mixte
On appelle le produit mixte entre trois vecteurs ~
u, ~v et w
~ le scalaire, not´
e
(~u, ~v , w)
~ et d´
efini par
(~u, ~v , w)
~

=

~u · (~v ∧ w)
~

Si l’on explicite l’expression en fonction des coordonn´
ees cart´
esiennes des
trois vecteurs :


u1 v1 w1
~u = u1~i + u2~j + u3~k


=⇒ (~u, ~v , w)
~ =~
u · (~v ∧ w)
~ = u2 v2 w2
~v = v1~i + v2~j + v3~k
u3 v3 w3
w
~ = w1~i + w2~j + w3~k
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Chapitre I: Rappels et Compl´
ements Math´
ematiques
1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle et Calcul op´
eratoriel
Diff´
erentielle

Cas d’une fonction `
a une seule variable f (x)

eriv´
ee : On rappelle que la d´
eriv´
ee de f (x) en x0 est
donn´
ee par
f ′ (x0 ) = limh→0

f (x0 +h)−f (x0 )
h

Y

f(x0+h)

df(x 0)

Remarque
α
f(x )
Le coefficient directeur de la tangente `
a la courbe
tg(α)=f’(x )
y = f (x) au point (x0 , f (x0 )) est donn´
e par tg(α) =
O
x
x +h
f ′ (x0 ).
Diff´
erentielle : On rappelle que la diff´
erentielle de f (x) en x0 est donn´
ee
par
0

0

0

df (x0 ) = f ′ (x0 )h
Remarque
• f (x0 + h) − f (x0 ) = df (x0 ) + hǫ(h) avec limh→0 ǫ(h) = 0
=⇒ f (x0 + h) − f (x0 ) 6= df (x0 ).
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

0

X

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle et Calcul op´
eratoriel
Diff´
erentielle

Cas d’une fonction `
a deux variables f (x, y)

eriv´
ee partielle : On d´
efinit la d´
eriv´
ee partielle de f (x, y) par rapport `
ax
en (x0 , y0 ) par
∂f (x,y)
|x=x0
∂x

= limhx →0

f (x0 +hx ,y0 )−f (x0 ,y0 )
hx

Remarques
• On fixe y et on d´
erive f par rapport `
a x et le r´
esultat est ´
evalu´
e en
(x0 , y0 ).
∂f
• Exemple : f (x, y) = log(x) (2y + 1) =⇒ ∂x
|x=x0 = 2yx00+1
Diff´
erentielle : On d´
efinit la diff´
erentielle de f (x, y) en (x0 , y0 ) par
df (x0 , y0 ) =

∂f (x,y)
|x0 ,y0 dx
∂x

+

∂f (x,y)
|x0 ,y0 dy
∂y

Remarques
• Exemple :
f (x, y) = log(x) (2y + 1) =⇒ df (x0 , y0 ) = 2yx00+1 dx + 2log(x0 )dy
erentielle est utilis´
ee dans le calcul des incertitudes.
• La diff´
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle et Calcul op´
eratoriel
Forme diff´
erentielle totale exacte

Forme diff´
erentielle : elle est d´
efinie par
M (x, y)dx + N (x, y)dy
La forme diff´
erentielle est dite totale exacte (d.t.e) s’il existe une fonction
g(x, y) telle que dg(x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy.
Une condition n´
ecessaire et suffisante pour une d.t.e : condition de
Schwarz :
∂M (x,y)
∂y



∂N(x,y)
∂x

=0

Th´
eor`
eme de Green :

RR
H
(x,y)
(M dx + N dy) = (D) ∂M∂y

(C)

∂N(x,y)
∂x



dxdy

=⇒ Si (M dx + N dy) est une d.t.e alors son int´
egrale sur un chemin ferm´
e
est nul.
=⇒ L’int´
egrale d’une d.t.e entre deux points A et B ne d´
epend pas du
chemin suivi.
Exemple de d.t.e : Les fonctions d’´
etat en th´
ermodynamique, U , H, S, · · ·
.
Pr. M. EL KACIMI

ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle et Calcul op´
eratoriel
Op´
erateurs

~ : L’op´
~ est un vecteur d´
Op´
erateur nabla ∇
erateur ∇
efini dans la base
cart´
esienne par
~ =


∂~
i
∂x

+

∂ ~
j
∂y

+

∂ ~
k
∂z

Gradient : Le gradient d’un scalaire f (x, y, z) est d´
efini dans la base
cart´
esienne par
~
~ )=
grad(f
) = ∇(f

∂f (x,y,z)~
i
∂x

+

∂f (x,y,z)~
j
∂y

+

∂f (x,y,z) ~
k
∂z

~ = Ax~i + Ay~j + Az ~k est d´
efinie
Divergence : La divergence d’un vecteur A
par
~ =
div(A)

∂Ax
∂x

+

∂Ay
∂y

+

∂Az
∂z

~ ·A
~
=∇

~ = Ax~i + Ay~j + Az~k est d´
efinie par
Rotationel : Le rotationel d’un vecteur A





∂A
∂A
∂A
∂A
y
y
∂A
∂A
~ ∧A
~
~ =
~ A)
rot(
− ∂yz ~i − ∂zx − ∂xz ~j + ∂yx − ∂x ~k = ∇
∂z
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle et Calcul op´
eratoriel
El´
ements de calcul op´
eratoriel

~ = dx~i + dy~j + dz~k,
Quelques relations du calcul op´
eratoriel Soit dl







df
~ A)
~
∇(f
~ A
~ · B)
~
∇(
~ · (∇
~ ∧ A)
~

~ ∧ (∇
~ ∧ A)
~


=
=
=
=
=

~
~
grad(f
) · dl
~
~ · ∇)f
~ + f∇
~ ·A
~ = grad(f
~ + f div(A)
~
(A
)·A
~ ∇)
~ ·B
~ +B
~ · (∇
~ A)
~
(A
~
0 soit div(rotA)
=0
~ ∇
~ · A)
~ − ∇2 A
~
∇(
~
~ = grad(div
~ − ∆A
~
~ rot
~ A)
soit rot(
A)

∆´
etant le laplacien d´
efini par


=

2
2
2
~ ·∇
~ = ∇2 = ∂ + ∂ + ∂

2
2
∂x
∂y
∂z 2

Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Equations diff´
erentielles
Premier ordre

Equation diff´
erentielle de premier ordre
y ′ + f (x)y = g(x)
o`
u f (x) et g(x) sont des fonctions de x bien d´efinies.
Remarque : Lin´earit´e de l’´equation=⇒ la solution compl`
ete = la solution


en´
erale sans second membre ysm , ysm
+ f (x)ysm (x) = 0, + une solution
particuli`
ere yp
y = ysm + yp .
Solution g´
en´
erale sans second membre ysm
y ′ + f (x)y = 0 =⇒ ysm = Ke−

R

f (x)dx

K est une constante r´
eelle

Solution particuli`
ere yp : M´
ethode de la variation de la constante
y = K(x)ysm

R
R
g(x)eF (x)dx e−F (x) o`
u F (x) = f (x)dx
yp =
Pr. M. EL KACIMI


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eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Equations diff´
erentielles
Premier ordre

Solution compl`
ete
y = ysm + yp =

i

hR
g(x)eF (x) dx e−F (x)
K+

o`
u

F (x) =

R

f (x)dx.

Exemple : y ′ + sin(x)y = sin(x)
´
equation sans second membre y ′ + sin(x)y = 0, ainsi f (x) = sin(x) alors
F (x) = −cos(x) =⇒ ysm = C1 ecos(x)
R

g(x)eF (x) dx =

R

sin(x)e−cos(x) dx = e−cos(x) + C2 =⇒ yp = C2 ecos(x) + 1







y = ysm +yp = C1 + C2 + e−cos(x) ecos(x) = 1+Kecos(x)
On v´
erifie bien que y = 1 + Ke

cos(x)

avec

K = C1 +C2

satisfait l’´
equation diff´
erentielle.

Equation `
a variables s´
epar´
ees : f (y)y ′ = g(x)
La solution d’une telle ´
equation est
R
F (y) = G(x) + K F (y) = f (y)dy
Pr. M. EL KACIMI

et

G(x) =


ecanique du Point Mat´
eriel

R

g(x)dx.

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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Equations diff´
erentielles
Second ordre `
a coefficients constants

L’´
equation est sous la forme
ay ′′ + by ′ + cy = f (x) o`
u

a, b, c

constantes r´
eelles avec

a 6= 0.

Solution sans second membre : On cherche une solution de la forme
equation caract´
eristique dont le
ysm = erx =⇒ ar 2 + br + c = 0, appel´
ee l’´
discriminant est ∆ = b2 − 4ac.
•∆ > 0 : 2 solutions r´
eelles r1 , r2 =⇒
ysm = K1 er1 x + K2 er2 x

•∆ < 0 : 2 solutions complexes λ1 = α + iβ et λ2 = α − iβ =⇒

ysm = K1 eλ1 x + K2 eλ2 x = eαx K1 eiβx + K2 e−iβx
•∆ = 0 : racine double r´
eelle r12

r12 =⇒ ysm = er12 x (K1 + K2 x)

La solution compl`
ete est de la forme
y = ysm + yp yp ´
etant une solution particuli`
ere.
Pr. M. EL KACIMI


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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Chapitre I: Rappels et Compl´
ements Math´
ematiques
1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


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Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Introduction

On consid`
ere le r´
ef´
erentiel form´
e par l’espace physique spatial, par
ene une exp´
erience, muni
exemple le laboratoire dans lequel on m`
d’une horloge.
Pour ´
etudier le mouvement d’un point mat´
eriel, on dote ce

ef´
erentiel d’un syst`
eme de coordonn´
ees.
Les syst`
emes de coordonn´
ees que nous utiliserons sont
• coordonn´
ees cart´
esiennes (x, y, z) ;
• coordonn´
ees cylindriques (ρ, ϕ, z) ;
• coordonn´
ees sph´
eriques (r, θ, ϕ).

Pr. M. EL KACIMI


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Notions de vecteurs
Diff´
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eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees cart´
esiennes

Consid´
erons un rep`
ere R(O, x, y, z) d’origine O et d’axes

ectangulaires Ox, Oy et Oz. Chacun des axes est muni d’un
vecteur unitaire respectivement ~i, ~j et ~k tel que (~i, ~j, ~k) forme une
base orthonorm´
ee directe tels que


k~ik = k~jk = k~kk = 1


 ~ ~
i ∧ j = ~k
~

j ∧ ~k = ~i


 ~ ~
k ∧ i = ~j
Un point M est r´
ep´
er´
e dans ce syst`
eme par ses coordonn´
ees
−−→
cart´
esiennes x,y et z et par le vecteur OM = x~i + y~j + z~k.
−−→
Le vecteur OM peut ˆ
etre repr´
esent´
e par un vecteur colonne
comme suit


x
−−→
OM =  y 
z ~i,~j,~k
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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees cart´
esiennes

Les coordonn´
ees peuvent ˆ
etre reconstruites g´
eom´
etriquement.
Soit H la projection du point M sur
le plan (x, y) :
• x : la perpendiculaire `
a l’axe Ox
men´
ee de H coupe l’axe Ox en x ;
• y : la perpendiculaire `
a l’axe Oy
men´
ee de H coupe l’axe Oy en x ;
• z : la perpendiculaire `
a l’axe Oz
men´
ee de M coupe l’axe Oz en z ;
Z
z

M

k

O

j

i

x

X

Si x,y et z d´
ependent du temps, alors x(t), y(t) et z(t) sont
les ´
equations horaires du mouvement.
Le domaine de variation des coordonn´
ees cart´
esiennes est

 x ∈] − ∞, +∞[
y ∈] − ∞, +∞[

z ∈] − ∞, +∞[
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

y

Y

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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees cylindriques

Le point M de coordonn´
ees cart´
esiennes (x, y, z) peut ˆ
etre rep´
er´
e par (ρ, ϕ, z)

efinies par
Z


−→
kOHk

−→ −


M
(OX, OY )


z




=
=
=

ρ
ϕ
HM

z
M

ρ ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2π[ et z ∈] − ∞, +∞[.

(ρ, ϕ, z) : coordonn´
ees cylindriques du point M :
−−→
−−→ −−→
eρ + z~k
OM = OH + OM = ρ~
avec ~
eρ =

Y
O

ρ

k

ϕ




OH



kOHk

X

Remarques
• ρ et ϕ varient et z constants : M d´
ecrit une droite orient´
ee par ϕ ;
• ϕ varie et ρ et z constants : M d´
ecrit un cercle de centre O dans le plan
d’´
equation z =constante ;
• z varie et ρ et ϕ constants : M d´
ecrit une droite // `
a OZ.
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel


H



Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees cylindriques : base cylindrique

On peut construire la base cylindrique, orthonorm´
ee directe, comme suit :
• ~eρ =




OH


→ ,
kOHk

qui rep`
ere les variations de ρ ;

• ~eϕ ⊥ `
a~
eρ et contenu dans le plan (X, Y ) : il rep`
ere les variations de ϕ ;
• ~eZ =~k, qui rep`
ere les variations de z.
(~
eρ , ~eϕ , ~k) est la base cylindrique et R(O, ~eρ , ~
eϕ , ~k) est le rep`
ere d’origine O muni
de cette base.
Notons que quand M se d´
eplace, les vecteurs de la base varient.
La base cylidrique est une base mobile.
Relations entre les coordonn´
ees cart´
esiennes et cylindriques
−−→
OM = ρ~
eρ + z~k, exprimons ~
eρ dans la base cart´
esienne :

 x = ρcosϕ
y = ρsinϕ
~
eρ = cosϕ~i + sinϕ~j =⇒

z =
z

~ peut s’exprimer dans la base cylindrique comme suit
Un vecteur V
~.
~
u Vρ ,Vϕ et Vz sont les composantes cylindriques de V
V = Vρ ~
eρ + Vϕ~eϕ + Vz ~k o`
Pr. M. EL KACIMI


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eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Cas particulier : coordonn´
ees polaires

Lorsque M se d´
eplace dans un plan d’´
equation z =constante, son
mouvement peut ˆ
etre rep´
er´
e seulement par ρ et ϕ que l’on appelle
les coordonn´
ees polaires :
(
−−→
ρ =
kOM k rayon polaire
M
−→ −−→
ϕ = (Ox, OM ) angle polaire
M
Ainsi

j



−−→
OM = ρcosϕ~i + ρsinϕ~j
y
= x~i + y~j =⇒ tan ϕ =
x


ϕ
ϕ

i

k

~ peut se d´
Un vecteur V
ecomposer comme V~ = Vρ~eρ + Vϕ~eϕ , Vρ est
la composante radiale et Vϕ est la composante orthoradiale.
Pr. M. EL KACIMI


ecanique du Point Mat´
eriel

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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees sph´
eriques

Un point M de coordonn´
ees cart´
esiennes (x, y, z) ou cylindriques (ρ, ϕ, z),
peut ˆ
etre rep´
er´
e par les coordonn´
ees sph´
eriques (r, θ, ϕ) d´
efinies par


 r
M
θ


ϕ

Z

=
=
=

−−→
kOM k
−→ −−→
(OZ, OM )
−−→ −−→
(OX, OH)

r ≥ 0;
θ ∈ [0, π];
ϕ ∈ [0, 2π].

Remarques
• Si r varie et θ et ϕ sont constants, M d´
ecrit
la droite orient´
ee par θ et ϕ ;
• Si ϕ est variable et r et θ sont constants alors
M d´
ecrit un cercle de rayon rsinθ ;
• Si θ est variable et r et ϕ sont constants, M

ecrit le demi cercle m´
eridien passant par M .

Pr. M. EL KACIMI

ur
θ M

r
O

ρ
ϕ

X


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eriel



Y

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Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Syst`
eme de coordonn´
ees
Coordonn´
ees sph´
eriques

Le tri`
edre (~er , ~rθ , ~eϕ ) d´
efinit la base sph´
erique tel que :
−−→
OM
ere les variations de r ;
~er = −−→ rep`
kOMk

~eθ tangent en M au m´
eridien dans le sens croissant de θ ;
~eϕ tangent en M `
a la parall`
ele dans le sens croissant de ϕ.
Relations entre les coordonn´
ees cat´
esiennes, cylindriques et sph´
eriques
−−→
On exprime ~er dans la base cart´
esienne et on le substitue dans OM :
−−→
OM

=
=
=


 x
y
=⇒
 z

 x
y
=⇒
 z

r~
er = rcosθ~
k + rsinθ~


rcosθ~
k + rsinθ cosϕ~i + sinϕ~j
rsinθcosϕ~i + rsinθsinϕ~j + rcosθ~
k
=
=
=
=
=
=

rcosϕsinθ
rsinϕsinθ
rcosθ
ρcosϕ =
ρsinϕ =
z
=

M
k
θ

rcosϕsinθ
rsinϕsinθ
rcosθ

X



er

θ


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eriel

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Notions de vecteurs
Diff´
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eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

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ements Math´
ematiques
1

Introduction

2

Notions de vecteurs

3

Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

Pr. M. EL KACIMI


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eriel

Introduction
Notions de vecteurs
Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle d’un vecteur

efinition

~ est la modification dA
~ engendr´
La diff´
erentielle d’un vecteur A
ee par la
variation de l’un ou de plusieurs param`
etres dont d´
epend cette grandeur :
temps, angle, longueur,· · · . Consid´
erons une base (~e1 , ~e2 , ~e3 ), alors
X
~
A = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 =
ai~ei
i=1,3

.D´
~ est d´
efinition : La diff´
erentielle du vecteur A
efinie par
X
~=
dA
(dai~ei + ai d~ei )
i=1,3

Diff´
erentielle d’un vecteur unitaire ~u :
•~
u · ~u = 1 =⇒ d~u · ~u = 0 =⇒ d~u ⊥ ~u
• k~uk = 1 =⇒ seule sa direction varie. Soit
θ l’angle qui rep`
ere sa rotation.
• d~u = ~u(θ + dθ) − ~u(θ) = kd~uk~v avec ~v ⊥ ~
u.
• dθ → 0 alors kd~uk = k~ukdθ = dθ ;
• soit (~u, ~v , w)
~ une base orthonorm´
ee directe
˙ w
=⇒ d~u = dθ~v = θdt
~ ∧ ~u
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v(θ)


ecanique du Point Mat´
eriel

u (θ+dθ)

du
u (θ)


θ

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Notions de vecteurs
Diff´
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eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

Diff´
erentielle d’un vecteur
~ = θ˙ w
Notons par Ω
~ le vecteur rotation de ~
u, la diff´
erentielle de ~
u est alors ´
egale `
a
~ ∧~
d~
u=Ω
udt
~ On peut appliquer le r´
Revenons au vecteur A.
esultat pr´
ec´
edent aux vecteur de la
base (~
e1 , ~e2 , ~
e3 ) et on obtient

X
X
~=
~ ∧ ~ei dt =
~ ∧A
~
dA
dai ~
ei + ai Ω
dai ~
ei + dtΩ
i=1,3

i=1,3

~ ´etant le vecteur rotation des vecteurs de la base utilis´ee.

Remarque :
les vecteurs de la base ont le mˆ
eme vecteur rotation puisqu’ils
forment un tri`
edre solide et tournent donc de la mˆ
eme fa¸con.
~
Notons que la d´
eriv´
ee par rapport au temps d’un vecteur A
s’obtient en divisant par dt
X
~
dA
~ ∧A
~
~˙ =
a˙ i~ei + Ω
=A
dt
i=1,3
Pr. M. EL KACIMI


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eriel

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Diff´
erentielle, calcul op´
eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire

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1

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2

Notions de vecteurs

3

Diff´
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eratoriel et ´
equations diff´
erentielles

4

Syst`
emes de coordonn´
ees

5

Diff´
erentielle d’un vecteur

6


eplacement ´
el´
ementaire

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eratoriel et ´
equations diff´
erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire


eplacement ´
el´
ementaire

efinition

Consid´
erons un d´
eplacement infinit´
esimale de M en M ′ par
rapport un rep`
ere R(O,~i, ~j, ~k) tel que
−−→ −−→ −−→
−−→ −−−→
dOM = dM = OM ′ − OM = M M ′
Pour d´
eterminer les d´
eplacements ´
el´
ementaires dans les diff´
erents
syst`
emes de coordonn´
ees, nous appliquons les resultats pr´
ec´
edents
´
etablis sur la diff´
erentielle d’un vecteur.
Coordonn´
ees cart´
esiennes :
−−→
OM = x~i + y~j + z~k, sachant que les vecteurs ~i, ~j et ~k sont fixes ce
qui implique d~i = d~j = d~k = ~0, le d´
eplacement est ´
egal `
a
−−→
dM = dx~i + dy~j + dz~k.

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eratoriel et ´
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erentielles
Syst`
emes de coordonn´
ees
Diff´
erentielle d’un vecteur

eplacement ´
el´
ementaire


eplacement ´
el´
ementaire

efinition

Coordonn´
ees cylindriques :
−−→
OM = ρ~eρ + ~k, sachant que le vecteur rotation de la base
~ = ϕ˙ ~k, le d´
eplacement est
cylindrique est Ω
−−→
dM = dρ~eρ + ρd~eρ + dz~k
= dρ~eρ + ρdϕ~k ∧ ~eρ + dz~k
= dρ~eρ + ρdϕ~eϕ + dz~k
Coordonn´
ees sph´
eriques :
−−→
OM = r~er et le vecteur rotation de la base sph´
erique est
˙ eϕ + ϕ˙ ~k = θ~
˙ eϕ + ϕ˙ (cosθ~er − sinθ~eθ ) .
~ = θ~

Le d´
eplacement s’exprime comme suit :
−−→
dM = dr~er + rd~er
= dr~er + r [dθ~eϕ + dϕ (cosθ~er − sinθ~eθ ) ∧ ~er ]
= dr~er + rdθ~eθ + rdϕsinθ~eϕ
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