SERIE 3.4é.Tech.bis .pdf



Nom original: SERIE 3.4é.Tech.bis.pdf
Titre: L
Auteur: Boubaker

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L.S.C.J.Gafsa

SERIE N°4 ( 4è.Tech)

B.Tabbab

Exercice 1 :
On donne ci-dessous la courbe (C) d’une fonction f définie sur IR.
.(C) admet au voisinage de   et  deux branches paraboliques de direction l’axe des ordonnées.
. T est la tangente à (C) au point d’abscisse 2.
Par lecture graphique :
1.Donner f(-1),f( 0) f(2) et f(3).
2.a.Donner f ’(2) et f ’(3).
b.A l’aide d’une approximation affine,donner une valeur approchée de f(2.002) à 10 3 près.
c.Montrer qu’il existe un réel c de ]-1,1[ tel que f’(c)  1 .
f(x)
f(x)
f ( x ) 2
f ( x ) 2
3.Déterminer lim
, lim
, lim
et lim
.
x 1 x  1
x 1 x  1 x 1
x 1
x 1
x 1
4.Déterminer le point d’inflexion de (C) et déduire la valeur de f ’’(2).
2
5.Sachant que f admet un maximum local en
de valeur 1  2 ,dresser le tableau de variation de f.
2
1
6.Dresser la tableau de variation de la fonction g  .
f

Exercice 2 :
Dans la figure ci-dessous ,on a tracé la courbe (C) d’une fonction f définie sur 1, \ 1 .
.La droite y = x est une asymptote à (C) au voisinage de  .
.La droite x = 1 est une asymptote verticale à ( C ).
1 9
.T est la tangente à ( C ) au point  ,  .
2 5
 3
.( C ) passe par le point  0,  .
 2
Utiliser le graphique pour répondre aux questions .
f(x)
1.Donner lim
.
x 
x
2.Dresser le tableau de variation de f.
3.Soit g la restriction de f à l’intervalle  1,1 .
a.Montrer que g réalise une bijection de  1,1 sur un intervalle J que l’on précisera.
3
9
b.Déterminer g 1   et g 1   .
2
5
c.Montrer que g 1 est dérivable à droite de 1 et donner  g 1  '( 1) .
d

9
d.Montrer que g 1 est dérivable sur J.Calculer  g 1 '   .
5
1
e.Dresser le tableu de variation de g .

f.Tracer la courbe ( C’) de g 1 ( on précisera la demi-tangente à ( C’ ) au point d’abscisse 1).

Exercice 3:
x 1
.
x
1.Etudier la dérivabilité de f à droite en 1.Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

On considère la fonction f définie sur 1, par

f(x)

1
.
x 1
2x²
x
définie sur un intervalle J qu'on déterminera.

2.a.Montrer que f est dérivable sur  1 , +  et que pour tout réel x de  1 , +  on a f '( x ) 
b. En déduire que f admet une fonction réciproque f 1
 2
1  1 
c.Sans expliciter f 1  x  ,calculer f 1 
 et f 
.
 3
 2 

d.Par un raisonnement graphique,montrer que f 1 est dérivable à droite de 0 et donner  f 1  ( 0 ).
'

e.Montrer que f

1

d

est dérivable sur 0,1 .

f.Déterminer l'expression de f 1  x  pour x réel de J.
g.Calculer  f 1  ( x ) en utilisant :
'

.l’expression de f 1  x 

.. La formule donnant la dérivée de la fonction réciproque.

h.Dresser le tableau de variation de f 1 .

Exercice 4 :
 π
Soit la foncion f définie sur 0,  par f ( x )  tan x .
 2
 π
1.Montrer que f réalise une bijection de 0,  sur 0, .On note f 1 la fonction réciproque de f.
 2
1
1
2.Calculer f ( 1 ) et f ( 3 ) .
'
1
3.Montrer que f 1 est dérivable sur 0, et que pour tout x de 0, on a  f 1  ( x ) 
.
1  x²
1
4.Soit h la fonction définie sur 0, par h( x )  f 1 ( x )  f 1   .
 x
a.Montrer que h est dérivable sur 0, et que pour tout x de 0, on a h’(x) = 0.

b.En déduire que pour tout x de 0, on a h(x) 

π
.
2

Exercice 2 :
Soit la fonction f définie sur

x

 f (x )  1  x  x ² si x  0
par 
 f (x )  1  x ²  1 si x  0

x





( C ) est la courbe de f dans un repère orthonormé O , i , j .
1.Calculer lim f ( x) et lim f ( x) .Interpréter graphiquement ces résultats.
x  

x  

2.Etudier la continuité de f en 0.
3.Etudier la dérivabilité de f en 0.Interpréter graphiquement ce résultat.
4.a.Montrer que f est dérivable sur ,0 puis calculer f '(x) pour x appartenant à ,0 .
b.Montrer que f est dérivable sur 0,  et que f ' (x) =

1  x ² 1
pour tout x de 0,  .
x ² 1 x ²

c.Dresser le tableau de variation de f..
 
5.Soit la fonction g définie sur  0,  par g(x) = f ( tan(x)).
 2
On ne cherchera pas à déterminer l’expression de g(x) en fonction de x.
1  cos x
 
a.Montrer que g est dérivable sur  0,  puis montrer que g '(x ) 
.
sin ² x
 2
b.Dresser le tableau de variation de g.

Exercice 3:

2
 
1.En utilisant l’égalité des accroissements finis,montrer qu’il existe une réel c de 0,  tel que cos(c)  .

 2
2.Montrer que pour tous réels a et b on a : sin a  sin b  a  b .
3.En déduire que pour tout x de



on a : sin x  x .


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