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Ce qu'il y a de plus beau dans la vie, et dans toute espèce de vie, c'est sa continuité - [Sylvie Angel]
Limiter la pauvreté sans limiter la richesse. [Victor Hugo]

Pour chacune des questions choisir la bonne réponse
Questions
1−𝑥 2 +3𝑥

1

lim𝑥→+∞ ( 2−3𝑥 3 −𝑥 2 )

2
3

lim𝑥→+∞ ( 𝑥 2 + 2 − 2𝑥)

4

lim𝑥→−∞ (

5

lim𝑥→2 (

lim𝑥→1+ (

1+2𝑥 2 −3𝑥
2−𝑥−𝑥 2

2−3𝑥 3 −𝑥 2

1− 3𝑥−5
𝑥−2
1−𝑥

a. 0

)

3−𝑥

lim𝑥→1 (

7

lim𝑥→+∞ ( 2−3𝑥 3 −𝑥 2 )

a. +∞
a. +∞

b.−∞

−3

b. 6

c.− 3

b. +∞

c.4

b. −∞

c.

a. 2

b. +∞

c. -1

a. 0

b. -1

c. +∞

a.
a.

)

)

6

Les propositions
b. −∞
c. +∞

)

1− 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 −1

c. 0

1

2

1

A- Calculer les limites suivantes si elles existent :
x+5 + 1

1. lim

x

𝑥→+∞

2. lim

𝑥→−∞

3𝑥2 + 2 − 2𝑥

3. 𝑥→+∞
lim 6 x − x x

B- Justifier la continuité de chacune des fonctions
2𝑥−1

1. f(x) = 𝑥 2 +1 ; I =IR

2.f(x) =

1− 3𝑥−5
𝑥−2

3. f(x) =

𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑥
3𝑥 3 −𝑥 2

1

; 𝐼 =]2 , +∞[,

1) Soit f(x) = 2x3-3x2-1 , x de IR , Justifier la continuité de f sur IR
2) On donne le tableau de variation de f
x
-
0
1
+
f(x)

-

+

-1

-2
a- Déterminer l'image par f des intervalles : [-1,0] , [0,1]
et [1,2]
b- Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans [1,2] une seule solution a
c- Vérifier que aϵ ] 1,6 ; 1,7 [ puis donner le signe de f(x).
Soit la fonction f définie sur 0; +∞ par f x = x + x − 3
1/ calculer lim+∞ f(x) et f(1) et f(2)
2/ Montrer que f est continue sur 0; +∞
3/ Montrer que f est croissante sur 0; +∞
4/ Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution ∈ 1; 2
5/ Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 .
6/ a/ Complete le tableau des valeurs suivant
x
f(x)

0

1

4

9

b/ Tracer la courbe (f) de f et la courbe (f −1 ) de f −1 par deux couleurs différentes dans un
même repère orthonormé (O, i , j ).

Soit la fonction f définie sur IR par f(x)=
1) a- Etudier la continuité de f en 1

Série 1

1

x 2 − 1 + πx + cos πx + 1 ; si x > 1
𝑥2 − 𝑥 + 𝜋
; 𝑥 ≤ 1
proposer par / Mantadher

Ben Marzouk

b- Déterminer le domaine de continuité de f
2) a- Montrer que pour x>1 ; f(x) > 𝑥 2 − 1 +𝜋
b- En déduire lim𝑥→+∞ 𝑓( 𝑥)
1
3)a- Montrer que f est strictement décroissante sur ]-∞ ,2[
b- En déduire f( ]-1 ,0]) et f([-3, -1])
4) a- Enoncer le théorème de valeurs intermédiaires
b – Montrer que l'équation f(x) = 4admet au moins une solution dans ]1 ,2[

x  cos x 

si x  1
 f x  
x 1
Soit la fonction f définie par 
 f x   x 2  x  2  x
si x  1

1) Calculer lim𝑥→+∞ 𝑓( 𝑥)
x 1
2) Montrer que : pour tout x   ,1 on a :
 f  x   1 ; et en déduire lim𝑥→−∞ 𝑓( 𝑥)
x 1
3) Montrer que f est continue sur IR.
1
4)a/ Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au mois une solution dans ]− 2 ,0[
b/ En déduire que sin     1   2

On considère la fonction f définie comme suit:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥
; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑠𝑖𝑛

1
𝑥

+ 2𝑥 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 > 0

1/ a/ Montrer que pour x > 0 on a 2x² - x ≤ f(x) ≤ 2x² + x
b/ Déduirelim𝑥→0+ 𝑓( 𝑥)
c/ Etudier la continuité de f en 0.
d/ Etudier la continuité de f sur chacun des intervalles]-∞, 0[ et ]0, +∞ [, en déduire le
domaine de continuité de f.
2/ Déterminer lim𝑥→+∞ 𝑓( 𝑥) , lim𝑥→−∞ 𝑓( 𝑥)
3/ Montrer que l'équation f(x) = -7 admet une unique solution α sur ]-2, -1[
(On pourra considérer g(x) = f(x) + 7 sur [-2, -1])
Soit la fonction f définie par son tableau de variation suivant :
x
−∞
−2
0
f (x)

+∞

+∞

0

−5
−∞
1/ Donner les limites suivantes sans justification
lim−∞ f x
; lim0 + f(x) ; lim+∞ f x ; lim+∞ (

−2
1
f x +5

)

2/Donner la réponse exacte sans justification
a)ℝ
b) ℝ∗
a) Le domaine de la fonction f est
c) ℝ ∖ −5; −2
a)exactement 2solutions
b) L’équation f(x) = 0 admet b) exactement 3 solutions
c) aucune solution
a)exactement 1 solution
c) L’équation f(x) = 8 admet b) exactement 3 solutions
c) aucune solution

Série 1

2

proposer par / Mantadher

Ben Marzouk


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