SERIE 4.4è.Math(suites réelles) .pdf


Nom original: SERIE 4.4è.Math(suites réelles).pdfTitre: EXERCICES ( suites réelles 4èAuteur: BOUBAKER TABBABI

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L.S.C.J.Gafsa

SERIE 4 ( 4è.math )
( suites réelles )

Prof:B.Tabbabi

Exercice 1:
 1
1.On note I l'intervalle 0 ,  .Soit f la fonction définie sur I par f ( x )  x  x² .
 2
a.Vérifier que pour tout x de I on a : f(x)  x .
b.Donner le sens de variation de f sur I .
1
2.On définit la suite u sur IN par : u0  et un1  un  un ² pour tout n de IN.
2
1
a.Montrer que pour tout n de IN ; 0  un  .
2
1
b.Montrer alors que pour tout n de IN ; u n 
.En déduire la limite de la suite u.
n 1
1
1
1
3.a.Montrer que pour tout n de IN*,on a : 1 
  1 .
un 1 un
n
n 1
1
1
b.En déduire que pour tout entier n  1 ; n   3  n   .
un
k 1 k

4.a.Montrer que pour tout n de IN*,on a : n  n 1 

1
.En déduire que pour tout de IN* ;
2n

b.Calculer alors lim ( nun ) .
n

Exercice 2:
2un  vn

u0  0;un 1 
3
On considère les deux suites réelles ( un ) et ( vn ) définies sur IN par 
v  1;v  3un  2vn
n 1
 0
5
1.Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a : un  vn .
2.Montrer que la suite ( un ) est croissante et que la suite ( vn ) est décroissante.
3.Montrer que les deux suites ( un ) et ( vn ) convergent et qu'elles ont la même limite.
4.Soit la suite ( wn ) définie sur IN par wn  9un  5vn .
a.Montrer que la suite ( wn ) est constante .
b.En déduire la limite commune des deux suites ( un ) et ( vn ) .

Exercice 3:
On considère la suite ( un ) définie sur IN
par u0  IR et pour tout n de IN ; un 1 

1
.
1  2un

1
;
1  2x
on notera a et b les solutions telles que a < b.
b.Montrer que ( un ) est constante
1.a.Résoudre dans IR l'équation x 

 1
si et seulement si u0  1,  .
 2
Dans la suite de l'exercice,on suppose que u 0  1 .
2.Sur la figure ci-contre,on a tracé
la partie de la courbe ( C ) sur 0,  de

la fonction x

1
ainsi que la droite y = x.
1  2x

 

a.Placer sur O,i les termes u k avec 0  k  3 .

n 1

1

k 2
k 1

n 1

b.Qu'en déduit-on graphiquement quant à la convergence de la suite ( un ) ?
c.Montrer que pour tout n de IN ; u n  0 .
1
1
1
d.Soit k  IN .Montrer que si uk  alors u k 1  et u k  2  . ( un ) est -elle monotone ?
2
2
2
e.Exprimer un 2 en fonction de un .
3.On pose pour tout n de IN ; vn  u2n et wn  u2n 1 .
1
1
a.Montrer que la suite ( vn ) est décroissante et minorée par
et que la suite ( wn ) est croissante et majorée par .
2
2
b.Vérifier que les deux suites ( vn ) et (wn ) sont adjacentes.
c.Montrer alors que ( un ) est convergente et calculer sa limite.
2u  1
4.Soit la suite ( tn ) définie sur IN par tn  n
.
2un  2
a.Donner la nature de la suite  tn  .Retrouver la limite de ( un ) grâce à la suite ( tn ).

Exercice 4 :
Soit n un entier naturel non nul.On considère la fonction f n définie sur IR par f n ( x )  x 3  nx  n .
1.a.Vérifier que la fonction f n est strictement croissante sur IR .
b.Montrer alors que l’équation f n ( x )  0 admet dans ]0,1[ une solution unique a n .Vérifier an 

n
.
n  an2

2.a.Vérifier que f n 1 ( an )  an  1 .

b.Montrer alors que la suite  an  est croissante,et déduire qu’elle est convergente.

3.Vérifier an 

n
.En déduire que la limite de la suite  an  .
n1

Exercice 5 :
1.On considère la suite  Sn  définie sur IN* par S n 
a.Vérifier que  Sn  est croissante.
b.Montrer que pour tout n de IN* on a : S2n  S n 

n

1

k .
k 1

1
.
2

b.En déduire que la suite  Sn  n’est pas majorée.Quelle est alors sa limite ?
2.On considère la suite réelle  un  définie sur IN* par un 

n

1

 k² .
k 1

On suppose de montrer de deux manières que  un  est convergente.
1ère méthode
a.Montrer que pour tout k de IN*\{1} on a :
b.En déduire que  un  est convergente.

1
1
1

 .En déduire que  un  est majorée par 2.
k² k  1 k

2 ème méthode
a.On considère la suite réelle  vn  définie sur IN* par vn  un 
b. Montrer que  un  et  vn  sont adjacentes.

1
.
n

c.En déduire que  un  est convergente.
3.Montrer que la suite définie sur IN* par Tn 

n

1

k
k 1

3

est convergente.

* * * * * * * * * *

**************************************

.


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