Correction Maths 1 .pdf


Nom original: Correction Maths 1.pdfAuteur: CitronBleu

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MATHÉMATHIQUES
CORRECTION EXERCICE 1
1) Nature de ABC
CB² =(x C −x B ) ²+( y C −y B) ²
7
13 1
= (2 − ) ²+( − )²
3
3
3
1
12
=− ² + ²
3
3
1 144
= +
9
9
145
CB² =
9
AB² = (x A −x B ) ²+( y A − y B ) ²
2 7
1
= ( − ) ²+(1− )²
3 3
3
5
2
= − ²+ ²
3
3
25 4
=
+
9
9
29
AB² =
9
AC² =(x A −xC ) ²+( y A − y C ) ²
2
13
= (2− ) ²+( −1) ²
3
3
4
10
= ²+ ²
3
3
16 100
= +
9
9
116
AC² =
9
116 29 145
+ =
or
9
9
9
d'où CB²=AB²+AC²,
donc le triangle ABC est rectangle en A .

2)

Soit M le milieu de [CB] et de [AD]
D doit respecter
1
1
( x A+ x D )= ( xC +x B)
2
2
d ' où x A+x D= x C + x B
d ' où x D= xC +x B −x A
7 2
d ' où x D= 2+ −
3 3
6 7 2
d ' où x D= + −
3 3 3
11
d ' où x D=
3
1
1
( y A + y D )= ( y C + y B )
2
2
d ' où y A+ y D = y C + y B
d ' où y D = y C + y B − y A
13 1
d ' où y D = + −1
3 3
13 1 3
d ' où y D = + −
3
3 3
11
d ' où y D =
3
Pour que ACDB soit un parallélogramme, D doit avoir pour coordonnées (

11 11
; ) .
3 3

Dans l'exercice 1, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore (si dans un triangle le
carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des longueurs des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle) pour prouver que le triangle ABC est rectangle. On calcule donc les
carrés des longueurs CB, AB et DC. La formule de la longueur dans un repère orthonormé vue en
cours est AB=√ (x A−x B ) ²+( y A−y B) ² , sauf que là, on cherche le carré de la longueur. On enlève
donc la racine carré dans le deuxième membre de l'équation et on rajoute un carré à la longueur.
On calcule et on trouve l'égalité CB²=AB+AC². Le triangle est donc rectangle.
Dans l'exercice 2, on se sert de la propriété du parallélogramme qui dit que “si un
quadrilatère a ses diagonales de mêmes milieux, alors c'est un parallélogramme”. On appelle donc
M le milieu de [CB] et de [AD], puis on pose l'équation “milieu de [AD]=milieu de [CB]”. On
1
multiplie chaque branche de l'équation par 2, ce qui permet de supprimer le facteur
. On isole
2
ensuite x D et y D , puis on résout l'équation. L'écriture diffère légèrement de celle vue en
cours, mais permet une meilleure lecture, ainsi que des calculs simplifiés. Pour finir, on obtient les
coordonnées du point D tel que ACDB est un parallélogramme (il y a une faute dans le sujet, c'est
écrit ABCD).


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