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UNE GÉNÉRALISATION DE L’INÉGALITÉ DE CARLEMAN
MOHAMMED AASSILA

« Je consacrerai toutes mes forces à répandre de la lumière sur l’immense obscurité
qui règne aujourd’hui dans l’Analyse. Elle est tellement dépourvue de tout plan et
de tout système, qu’on s’étonne seulement qu’il y ait tant de gens qui s’y livrent, et
ce qui pis est, elle est absolument dépourvue de rigueur. (Abel 1826) »
1. introduction
Dans cette note on se propose de donner une généralisation des inégalités de Kurliancik et de Carleman. On montre le résultat suivant :
Théorème 1
Soient a1 , a2 , · · · , an > 0 des nombres réels, et s < 1, s 6= 0 un nombre réel, alors
on a :
1
n
n s
X
X
a1 + as2 + · · · + ask s
− 1s
< (1 − s)
ak .
k
k=1
k=1
Corollaire 1 Inégalité de Kurliancik

Pour s = −1, on retrouve l’inégalité :
n
X

1
k=1 a1

+

1
a2

k
+ ··· +

2

<

1
ak

n
X

ak .

k=1

Corollaire 2 Inégalité de Carleman (1922)

En faisant tendre s vers 0 dans le théorème 1, on obtient :
n
X

1

(a1 a2 · · · ak ) k

<

e

n
X

ak .

k=1

k=1

Démonstration (du corollaire 2 à partir du théorème 1). On a :
− 1s

lim (1 − s)

s→0

=

lim

s→0

"

s
1+
1−s

1
1−s # 1−s
s

=

e.

D’autre part, par la règle de l’Hôpital (voir Aassila [1, p. 192] par exemple) :
lim

s→0



as1 + as2 + · · · + ask
k

1
s

=

exp lim

s→0

Date: Octobre 15, 2013.
1

ln

as1 +as2 +···+ask
k

s