Generalisation Carleman (2).pdf


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2

Mohammed Aassila

as1 ln a1 + as2 ln a2 + · · · + ask ln ak
s→0
as1 + as2 + · · · + ask

=

= exp lim

1

= exp ln(a1 a2 · · · ak ) k

ln a1 + ln a2 + · · · + ln ak
k

exp

1

=

(a1 a2 · · · ak ) k .


2. un peu d’histoire

Dans la littérature mathématique (voir [2] par exemple), une des fameuses inégalités
en analyse est :
Théorème 2 (Inégalité de Hardy)
Si p > 1 et si (an )n≥1 est une suite de nombres réels > 0 alors on a :
+∞
X

n=1



a1 + a2 + · · · + an
n

De plus, la constante

p
p−1

!p

p

p
p−1



!p

+∞
X

apn .

n=1

est optimale (on ne peut pas la remplacer par une

constante plus petite).



Le point de départ dans la recherche de Hardy était une autre fameuse inégalité
X
X
dûe à Hilbert et datant de 1900 : si
a2n et
b2n sont deux séries convergentes
n≥1

n≥1

(avec an ≥ 0 et bn ≥ 0) alors on a :
+∞
X +∞
X

am + bn
n=1 m=1 m + n



π

+∞
X

m=1

a2m

! 21

+∞
X

b2n

n=1

! 12

de plus, la constante π est optimale. Pour une démonstration de cette inégalité voir
par exemple [1, page 289].
Le théorème 2, dans le cas particulier p = 2, a été démontré par Hardy en 1919 [3].
De plus, dans son article [4], datant de 1920, Hardy donne une démonstration du
théorème 2 et qui
lui a été communiquée par M. Riesz mais avec la constante (non

p2 p
optimale) p−1 . Finalement, dans son fameux article [5] de 1925, il donne une
démonstration de cette inégalité
mais qui lui a été communiquée par E. Landau et
p

p
avec la constante optimale p−1 . Hardy écrit dans cet article : « In a letter dated
21 June 1921, Landau communicated
to me a direct proof of the inequality which

p
p
gives the correct value p−1 ». Ensuite, Hardy donne dans ce même article une
version intégrale de cette inégalité : si p > 1 et si f est une fonction positive avec
f p intégrable alors on a :
Z

0

+∞



p

1Zx
f (t) dt
x 0

dx



p
p−1

!p Z

0

+∞

f p (x) dx.