Generalisation Carleman (2).pdf


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3

Mohammed Aassila

En conclusion, pour des raisons historiques, l’inégalité de Hardy devrait s’appeler
inégalité de Hardy-Riesz-Landau.
3. inégalité de carleman
Dans ce paragraphe, on présente l’inégalité de Carleman, et puis nous donnons 3
versions différentes pour des démonstrations de cette relation :
Théorème 3 (Inégalité de Carleman)
Soit (an )n≥1 une suite convergente de nombres réels > 0, alors on a :
+∞
X

1

(a1 a2 · · · an ) n

<

e

+∞
X

an .

n=1

n=1

Cette inégalité a été démontrée en 1922 par le mathématicien suédois Torsten
Carleman (1892 - 1942) dans son article [6] lorsqu’il travaillait sur les fonctions
complexes quasi-analytiques.
On se propose de donner 3 pistes de démonstrations de l’inégalité de Carleman :
Démonstration

1ère méthode : démonstration originale de Carleman (1922)
il faut trouver le maximum de l’expression

k
X

1

(a1 a2 · · · ai ) i sous la contrainte

On pose ai = e−xi , alors il faut maximiser l’expression
k
X

e−

x1 +···+xi
i

ai = 1.

i=1

i=1

G =

k
X

sous la contrainte

H =

i=1

k
X

e−xi = 1.

i=1

Ensuite, Carleman a utilisé la méthode des multiplicateurs de Lagrange, nous ne donnons
pas les détails et nous envoyons le lecteur à l’article [6].
2ème méthode : à partir de l’inégalité de Hardy
dans l’inégalité de Hardy
+∞
X

k=1

a1 + a2 + · · · + ak
k

p

<



p
p−1

p +∞
X

apk ,

p>1

k=1

1

on remplace ai par aip et on fait tendre p vers l’infini alors on obtient


1
p

1
p

 a1 + · · · + ak 


lim 

p→+∞

p

k

=

1

(a1 a2 · · · ak ) k .

Cependant, cette méthode donne une inégalité non stricte.
3ème méthode
de Pòlya (1926), article [7]

: démonstration
1 n
, alors on a : m1 × · · · × mn = (n + 1)n . Maintenant, si bn = mn an ,
Soit mn := n 1 +
n
alors on a d’après l’inégalité entre la moyenne arithmétique-géométrique :
1

(n + 1)(a1 × · · · × an ) n

=

1

(b1 × · · · × bn ) n



b1 + · · · + bn
.
n