Generalisation Carleman (2).pdf


Aperçu du fichier PDF generalisation-carleman-2.pdf

Page 1 2 3 4 5 6 7




Aperçu texte


5

Mohammed Aassila

n+1
+ 1+
1−s




as1 + as2 + · · · + asn+1
n+1

On note
x =
et montrons que



n+1
f (x) := 1 +
1−s


nxs + y s
n+1

1
s



s

1

≤ (1 − s)− s

n+1
X

ak .

k=1

1

et

n
1−s



as1 + as2 + · · · + asn
n



1

s

y = an+1

1

(1 − s)− s y,

x, y > 0.

On fait une étude de fonction. On a


f (x)

n+1
1+
1−s



=

nxs + y s
n
xs−1
n+1
n+1




1−s
s

et

n
1−s



1



(n + 2 − s) 1−s

x=y= h
1 := α.
1 is
1
1−s
1−s
− n(n + 2 − s)
(n + 1)
n
De plus, lim f ′ (x) = ∞, lim f ′ (x) = −
, et f ′ (x) ≥ 0 sur ]0, α], f ′ (x) ≤ 0 sur
x→+∞
x→0
1−s
[α, +∞[.
Donc
f (x) = 0

⇐⇒





n+1 

f (x) ≤ f (x) = 1 +

1−s 


s

1
s

(n + 2 − s) 1−s

ny s

s

1

+

ys

(n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s
n+1
1

n
(n + 2 − s) 1−s

yh
i1 =
1
s
1−s
s
(n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s
1




 −



1

(n + 1) 1−s
(n + 2 − s) 1−s
n+2−s
n
yh
yh
=
1 −
1 =
i
s
s is
1
1
1−s
1−s
s
1−s
1−s
1−s
1−s
− n(n + 2 − s)
− n(n + 2 − s)
(n + 1)
(n + 1)
s

1

s−1
1
s i s
n + 2 − s (n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s
n+2−s h
1−s − n(n + 2 − s) 1−s
(n
+
1)
y
=
y
.
1
s is
1
1−s h
1

s
(n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s

On doit montrer que :
y

s−1
1
s i s
1
n+2−s h
(n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s
≤ (1 − s)− s y ⇐⇒
1−s

h

s

1

⇐⇒ (n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s
1

s

i s−1
s

≤ (1 − s)

s−1
s

(n + 2 − s)−1 ⇐⇒
s

⇐⇒ (n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s ≥ (1 − s)(n + 2 − s) 1−s
⇐⇒ n + 1 ≥ (n + 1 − s)1−s (n + 2 − s)s .

⇐⇒