Generalisation Carleman (2).pdf


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6

Mohammed Aassila

s

1

s

L’inégalité (n + 1) 1−s − n(n + 2 − s) 1−s ≥ (1 − s)(n + 2 − s) 1−s est vérifiée dane l’autre
sens si s < 0. Pour montrer la dernière inégalité, on utilise l’inégalité de la moyenne
MA-MG avec poids :
xα y β ≤ αx + βy,

et

α + β = 1, α, β, x, y > 0.

Pour s ∈ ]0, 1[, on a par cette inégalité
(n + 1 − s)1−s (n + 2 − s)s ≤ (1 − s)(n + 1 − s) + s(n + 2 − s) = n + 1,
et pour s < 0 on a :
n + 1 ≤ (n + 1)1−s (n + 2 − s)s ⇐⇒ (n + 1)
1
s
s
Comme 1−s
> 0, − 1−s
> 0 et − 1−s
+
MA-MG avec poids on a :

= 1, alors par l’inégalité de la moyenne

s
1
(n + 1) −
(n + 2 − s) = n + 1.
1−s
1−s

s

1

1
1−s

s
1
(n + 2 − s)− 1−s ≤ n + 1 − s.
1−s

(n + 1) 1−s (n + 2 − s)− 1−s ≤
1

Pour montrer que (1 − s)− s est la meilleure constante possible, il suffit de trouver un
choix des nombres a1 , a2 , · · · , an tels que

lim

n→+∞

"

1


n s
X
a1 + as2 + · · · + ask s

k

k=1

n
X

#

1

(1 − s)− s .

=

ak

k=1

Avec le choix ak = k1 , k ∈ J1, nK, cette limite devient :


lim

n→+∞



n
X

1
1s

+

1
2s

k=1

+ ··· +
k

n
X
1

k=1

1
ks

!1 
s



.

k

Par le théorème de Stolz-Cesàro ([1, page 120]) on a :


lim

n→+∞

1
1
1
+ s + ··· + s
s
1
2
n
n
1
n

1
s

1
 1
1
1 s
+ s + ··· + s
 1s
2
n 


1−s

n

=
1

lim

n→+∞



s
1




n
=  lim
=
 lim

n→+∞ n1−s − (n − 1)1−s
n→+∞


x
= lim
x→0 1 − (1 − x)1−s


1
s

.

n1−s

1

s
1


n
=

1−s 

1
1− 1−
n

=