suite réelle (2) Bac Math et sc exp .pdf


Nom original: suite réelle (2) Bac Math et sc-exp.pdf
Auteur: khammour

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Mr :Khammour.K

4éme

Série :Suite réelles(2)

Exercice n°1 :
Soient U et V deux suites définies par U0=2, V0=3, Un+1=
1)
2)
3)
4)

, Vn+1=

Montrer par récurrence que pour tout
, Un-Vn<0.
Montrer que la suite (Wn) définie par Wn=Vn-Un est géométrique.
Montrer que la suite U et V sont adjacentes.
Calculer Un+1+ Vn+1 en fonction de Un+Vn.Que peut-on dire de la suite (Xn) définie par
Xn=Un+Vn .Déduire la limite commune de (Un) et (Vn).

Exercice n°2 :
Soient U et V deux suites définies par U0=2 et pour tout

Vn=

, Un+1=

1) Calculer U1,U2,V0,V1,V2.
2) Montrer que les suites U et V sont minorées par 1 et majorées par 2.
3) Démontrer que pour tout

(1)

, Un+1-Vn+1=

4) Montrer que pour tout
, Un Vn.
5) Montrer que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante
6) Montrer que pour tout
Un-Vn
et en déduire que
7) Montrer que pour tout
Déduire que pour tout

Un+1-Vn+1

(Un-Vn) ( On pourra utiliser (1) et (2))

Un-Vn

8) Montrer que les deux suites U et V sont adjacentes et donner leur limite 
Exercice n°3 :
*

Soit (Un) et (Vn) deux suites définies sur
Un=

par :

et Vn= Un+

1) a) Calculer U3 et V3
b) Montrer que pour tout de

*

, Un+1-Un=

c) Déduire que la suite U est croissante et que la suite V est décroissante .
2) Montrer que U et V sont adjacentes
3) Soit

la limite commune des suites U et V

a) Montrer que pour tout n

*

, Un

b) Montrer alors que
Exercice n°4 :
Soit la suite U définie sur

U0=2
par :

Un+1=

Un-Vn (2)

Vn

1) a) Montrer que pour tout
b) Montrer que pour tout
2) a) Vérifier que pour tout

Un+2 - 1=
; Un>0 on a U2n+1<1<U2n
Un+2 – Un =

b) En déduire la monotonie de chacune des suites (U2n) et (U2n+1)
3) On pose : Tn=U2n – U2n+1 pour tout
a) Montrer que pour tout
b) En déduire que : Tn

Tn+1

Tn

pour tout

c) En déduire que la suite (Un) converge vers un réel L que l’on précisera.
Exercice n5 :
Soit U la suite définie par Un=
1) a)Vérifier que pour tout n de

*

U2n+2 – U2n=

b)Déduire la monotonie de la suite (U2n)
2) Montrer que la suite (U2n+1) est croissante
3) a) Montrer que pour tout n de

*

U2n> U2n+1

b) Calculer
4) Montrer que U est convergente vers un réel

avec U3< <U2

Exercice n°6 :
On considère la suite (Un) définie par Un=(1-x)n avec 0<x<1
1)
2)
3)
4)

Calculer U0 , U1
Déterminer la nature de la suite (Un).
Calculer
On pose la suite Sn=
a) Calculer en fonction de n Sn
b) Déterminer
.


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