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‫اﻟﺪوال اﻷﺳﯿﺔ‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪Ë‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ اﻟﻨﺒﯿﺮﻳﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a e x‬ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ ln‬و ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ اﻟﻨﺒﯿﺮﻳﺔ‬
‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت وﺧﺎﺻﯿﺎت‪:‬‬
‫‪ex > 0‬‬

‫‪"r Î ¤‬‬

‫¡ ‪"x Î‬‬

‫‪ex ´ e y = ex + y‬‬

‫‪ln e x = x‬‬
‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬
‫‪eln x = x‬‬

‫[‪"y Î ]0; +¥‬‬

‫‪" ( x; y ) Î ¡ ²‬‬
‫‪= erx‬‬

‫¡ ‪"x Î‬‬

‫) (‬

‫‪1‬‬
‫‪= e- x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬

‫‪e x = y Û x = ln y‬‬

‫‪" ( x; y ) Î ¡ ²‬‬

‫‪ex = ey Û x = y‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ex‬‬

‫‪x-y‬‬

‫‪ex > e y Û x > y‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫‪f ( x ) = ex‬‬

‫‪=e‬‬

‫‪ex‬‬
‫‪ey‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ‬

‫¡ = ‪Df‬‬

‫} ‪Df = {x Î ¡ / x Î D u‬‬

‫‪u x‬‬
‫) ( ‪f (x) = e‬‬

‫اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت‪:‬‬
‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت‪:‬‬

‫ﻧﮫﺎﻳﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ‪:‬‬

‫‪u x‬‬
‫‪lim u ( x ) = +¥ Þ lim e ( ) = +¥‬‬

‫‪lim e x = +¥‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪u x‬‬
‫‪lim u ( x ) = -¥ Þ lim e ( ) = 0‬‬

‫‪lim e x = 0‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫‪= +¥‬‬

‫‪ex‬‬
‫‪xn‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫)* ‪( n Î ¥‬‬

‫‪lim x n e x = 0‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫‪ex - 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x ®0 x‬‬

‫‪= +¥‬‬

‫‪u x‬‬
‫) ( ‪e‬‬
‫‪n‬‬

‫‪éë u ( x ) ùû‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪lim u ( x ) = +¥ Þ lim‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪n u x‬‬
‫‪lim u ( x ) = -¥ Þ lim éë u ( x ) ùû e ( ) = 0‬‬
‫‪x®x‬‬
‫‪x ®x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪u(x‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪= +¥‬‬
‫)‪u(x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪0‬‬

‫‪lim u ( x ) = 0 Þ lim‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫‪x ® x0‬‬

‫ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ ‪ x 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪ ‪x 0‬‬
‫اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ ‪ +¥‬أو ﻋﻨﺪ ‪-¥‬‬

‫اﻻﺗﺼﺎل‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a e x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡‬

‫‪u x‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ‪ u‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ) ( ‪ x a e‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪24‬‬

‫ﻋﻠﻰ‬

‫اﻻﺷﺘﻘﺎق‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a e x‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ¡‬
‫‪¢‬‬
‫¡ ‪"x Î‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‪e x = e x :‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈن‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ) ( ‪ x a e‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
‫‪u x ¢‬‬
‫‪u x‬‬
‫‪"x Î I‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‪e ( ) = u ¢ ( x ) ´ e ( ) :‬‬
‫‪u x‬‬

‫) (‬

‫(‬

‫)‬

‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ‪:‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻸﺳﺎس ‪ a‬ﺣﯿﺚ‪a Î ¡*+ - {1} :‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a a x‬ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ log a‬و ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻸﺳﺎس ‪a‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت و ﺧﺎﺻﯿﺎت‪:‬‬
‫‪" ( x; y ) Î ¡ ²‬‬

‫¡ ‪"x Î‬‬

‫‪a x = e xln a‬‬

‫) (‬

‫‪ax ´ ay = ax+y‬‬

‫‪log a a x = x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪a log a = x‬‬

‫‪= a rx‬‬

‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬

‫‪ax = ay Û x = y‬‬
‫[‪"x Î ¡ "y Î ]0; +¥‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫‪x r‬‬

‫‪1‬‬
‫‪= a -x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬

‫) ‪a x = y Û x = log a ( y‬‬

‫‪= ax-y‬‬

‫‪ax‬‬
‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫ﻧﮫﺎﻳﺎت و ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت‪:‬‬
‫‪0 < a <1‬‬
‫‪ax > ay Û x < y‬‬

‫‪a >1‬‬
‫‪ax > ay Û x > y‬‬

‫‪lim a x = 0‬‬

‫‪lim a x = +¥‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪lim a = +¥‬‬

‫‪lim a x = 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫‪a -1‬‬
‫‪= ln a‬‬
‫‪x ®0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪( a )¢ = ( ln a ) ´ a‬‬
‫‪x‬‬

‫‪25‬‬

‫)‪( r Î ¤‬‬


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