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‫اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪Ë‬اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﻧﻘﻮل أن ‪ F‬ھﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
‫إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺎن‪:‬‬
‫·‬

‫‪ F‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫·‬

‫) ‪F' ( x ) = f ( x‬‬

‫‪"x Î I‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺎت‪:‬‬
‫ﻛﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺠﺎل‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ F‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈن‪:‬‬
‫ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫)¡ ‪(k Î‬‬

‫‪x a F( x ) + k‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫وﻟﯿﻜﻦ ‪ x 0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪ I‬و ‪ y0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ¡‬
‫ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ وﺣﯿﺪة ‪ F‬ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‪:‬‬

‫‪F ( x 0 ) = y0‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ‪ :‬ﻟﻤﺠﻤﻮع داﻟﺘﯿﻦ‪ -‬ﻟﺠﺪا ء داﻟﺔ و ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‪:‬‬
‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﯿﻦ ﻋﺪدﻳﺘﯿﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ k‬ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ F‬و ‪ G‬داﻟﺘﯿﻦ أﺻﻠﯿﺘﯿﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻋﻠﻰ‬
‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈن‪:‬‬
‫·‬

‫‪ F + G‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f + g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫·‬

‫‪ kF‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ kf‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
‫‪18‬‬

:‫ﺟﺪول اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺪوال اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ‬Ë
f (x)

F(x)

aΡ

ax + k

x

1
x² + k
2

1


-1
+k
x

1

2 x +k

x

( r Î ¤ * - {-1})

xr

x r +1
+k
r +1

1
x

ln x + k

ex

ex + k

:‫اﺳﺘﻌﻤﺎل ﺻﯿﻎ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ‬Ë

(a Î ¡)

f (x)

F(x)

u '( x ) + v '( x )

u (x) + v(x) + k

a u '( x )

a u (x) + k

u '( x) ´ v ( x ) + u ( x ) ´ v '( x )

u (x) ´ v(x) + k

-v ' ( x )

1
+k
v(x)

éë v ( x ) ùû ²

u (x)

u '( x ) ´ v ( x ) - u ( x ) ´ v '( x )

v(x)

éë v ( x ) ùû ²

u '( x)

2 u (x) + k

u (x)

( r Î ¤ * - {-1})

+k

u ' ( x ) ´ éë u ( x ) ùû r

éë u ( x ) ùû r +1
+k
r +1

u '( x )

ln u ( x ) + k

u (x)

u '( x ) ´ e

u(x)

e

19

u(x)

+k

(k Î R)


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