العكسية .pdf


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‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪ Ë‬ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﻓﺈن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪ f ( I‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪f -1 :‬‬
‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‪:‬‬

‫‪ìïf ( y ) = x‬‬
‫‪ìf ( x ) = y‬‬
‫‪Û‬‬
‫‪í‬‬
‫‪í‬‬
‫‪îx Î I‬‬
‫) ‪ïî y Î f ( I‬‬
‫‪"x Î I‬‬
‫‪f -1of ( x ) = x‬‬
‫‪-1‬‬

‫·‬
‫·‬
‫·‬

‫) (‬
‫‪( fof ) ( y ) = y‬‬
‫‪-1‬‬

‫) ‪"y Î f ( I‬‬

‫‪ Ë‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺻﯿﻐﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪ f ( I‬و ‪ y‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪f -1 ( x ) = y Û f ( y ) = x :‬‬
‫و ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺻﯿﻐﺔ ) ‪ f -1 ( x‬ﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ ‪ x‬ﻣﻦ ) ‪f ( I‬‬

‫‪Ë‬اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ‪ f -1‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬

‫‪Ë‬اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫و ﻟﯿﻜﻦ ‪ x 0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪ f ( I‬و ) ‪y0 = f ( x 0‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪ x 0‬و ‪f ' ( x 0 ) ¹ 0‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ‪ f -1‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪y 0‬‬
‫'‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪f -1 ( y 0‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫) ‪f '( x 0‬‬

‫) (‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻞ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬و داﻟﺘﮫﺎ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ‪ f -1‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬
‫'‬
‫‪1‬‬
‫) ‪"x Î f ( I‬‬
‫= ) ‪f -1 ( x‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫‪f ' éëf -1 ( x ) ùû‬‬

‫) (‬

‫‪14‬‬

‫‪Ë‬رﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ‪ f -1‬ﻟﮫﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻼن اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﯿﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪ f‬و‬

‫‪-1‬‬

‫‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬

‫ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ اﻷول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

‫‪Ë‬ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ‪:‬‬
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬

‫) ‪( Cf‬‬

‫‪f -1‬‬

‫)‬

‫) ‪A ( a, b ) Î ( Cf‬‬

‫‪f -1‬‬

‫(‬

‫‪A ' ( b,a ) Î C‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = a :‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = a :‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = b :‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = b :‬‬
‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y= x+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = ax + b :‬‬

‫و ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‪x = ay + b :‬‬
‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(‬

‫ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬

‫أﻓﻘﯿﺎ‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(‬

‫أﻓﻘﯿﺎ‬

‫ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬

‫‪15‬‬


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