العكسية .pdf
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اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﺧﺎﺻﯿﺔ:
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
ﻓﺈن fﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل I
و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ f -1 :
ﻧﺘﺎﺋﺞ:
ìïf ( y ) = x
ìf ( x ) = y
Û
í
í
îx Î I
) ïî y Î f ( I
"x Î I
f -1of ( x ) = x
-1
·
·
·
) (
( fof ) ( y ) = y
-1
) "y Î f ( I
Ëﺗﺤﺪﻳﺪ ﺻﯿﻐﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ:
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
ﻟﯿﻜﻦ xﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iو yﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل I
ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﺘﺎﻟﻲf -1 ( x ) = y Û f ( y ) = x :
و ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ yﺑﺪﻻﻟﺔ xﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺻﯿﻐﺔ ) f -1 ( xﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ xﻣﻦ ) f ( I
Ëاﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ:
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I
Ëاﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ:
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
و ﻟﯿﻜﻦ x 0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iو ) y0 = f ( x 0
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x 0و f ' ( x 0 ) ¹ 0
ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ y 0
'
1
= ) f -1 ( y 0
و ﻟﺪﻳﻨﺎ:
) f '( x 0
) (
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻞ اﻟﻤﺠﺎل Iو داﻟﺘﮫﺎ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' fﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I
'
1
) "x Î f ( I
= ) f -1 ( x
و ﻟﺪﻳﻨﺎ:
f ' éëf -1 ( x ) ùû
) (
14
Ëرﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ:
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻟﮫﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ f
Ëاﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ:
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
اﻟﺘﻤﺜﯿﻼن اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﯿﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ fو
-1
fﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ
ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ اﻷول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
Ëﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ:
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C
) ( Cf
f -1
)
) A ( a, b ) Î ( Cf
f -1
(
A ' ( b,a ) Î C
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = a :
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = a :
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = b :
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = b :
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ :
1
b
y= x+
a
a
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = ax + b :
و ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ
اﻟﻌﻼﻗﺔx = ay + b :
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻋﻤﻮدﻳﺎ
أﻓﻘﯿﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
أﻓﻘﯿﺎ
ﻋﻤﻮدﻳﺎ
15
