اللوغاريتمية .pdf


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‫اﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﺗﻤﯿﺔ‬

(‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل‬

:‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﺒﯿﺮي‬Ë
:‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

]

[

1 ‫ واﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ‬0; +¥ ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬x a

"x Î ]0; +¥[

1

‫داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﺒﯿﺮي ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

x

:‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت وﺧﺎﺻﯿﺎت‬

"y Î ]0; +¥[

ln1 = 0

( r Î ¤)

r

ln x = r ln x

ln

1
x
x

ln e = 1

"x Î ]0; +¥[
"y Î ]0; +¥[
ln x = ln y Û x = y
ln x > ln y Û x > y

ln xy = ln x + ln y

ln

ln :‫وﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬

= - ln x
= ln x - ln y

y

"x Î ¡ * ln x = n ln x
n

"x Î ]0; +¥[

"y Î ¡

ln x = y Û x = e

y

:‫ ﻋﺪدا زوﺟﯿﺎ ﻓﺈن‬n ‫إذا ﻛﺎن‬

:‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ‬
Df = ]0; +¥[

‫ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬f ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
f ( x ) = ln x

}

Df = {x Î ¡ / x Î D u ‫ و‬u ( x ) > 0

f ( x ) = ln éë u ( x )ùû

:‫اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت‬
:‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت‬é
lim u ( x ) = +¥ Þ lim ln éë u ( x ) ùû = +¥
x ® x0
x ® x0

:‫ﻧﮫﺎﻳﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ‬é
lim ln x = +¥
x ®+¥

lim u ( x ) = 0 Þ lim ln éë u ( x ) ùû = -¥
x ® x0
x ® x0
+

ln éë u ( x ) ùû
lim u ( x ) = +¥ Þ lim
=0
x ® x0
x ® x0 éu ( x )ù n
ë
û

lim u ( x ) = 0 Þ lim éë u ( x ) ùû ln éë u ( x ) ùû = 0
x ® x0
x ® x0
+

n

ln éë u ( x ) ùû
lim u ( x ) = 1 Þ lim
=1
x ® x0
x ® x0 u ( x ) - 1
lim u ( x ) = 0 Þ lim
x ® x0
x ® x0
‫ﻋﻠﻰ‬

ln éë u ( x ) + 1ùû
u(x)

lim ln x = -¥
x ® 0+

( n Î ¥ *)

ln x
lim
=0
x ®+¥ x n
n

lim x ln x = 0
x ®0

+

ln x
lim
=1
x ®1 x - 1
=1

x 0 ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪ‬x 0 ‫ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ‬
-¥ ‫ أو ﻋﻨﺪ‬+¥ ‫اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ‬

22

lim
x ®0

ln ( x + 1)
x

=1

‫اﻻﺗﺼﺎل‪:‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a ln x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪]0; +¥‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a ln éë u ( x )ùû‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫اﻻﺷﺘﻘﺎق‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a ln x‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ u‬داﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬

‫[‪]0, +¥‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ I‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪x a ln éë u ( x )ùû‬‬

‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬

‫= ‪( ln x )¢‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫) ‪u '( x‬‬
‫)‪u (x‬‬

‫=‬

‫'‬

‫)‬

‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ‪:‬‬

‫‪ln éë u ( x )ùû‬‬

‫ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫(‬

‫‪"x Î I‬‬

‫إﺷﺎرة ‪: ln‬‬
‫‪1 +¥‬‬
‫‪+‬‬

‫‪0‬‬
‫‪-‬‬

‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻟﻸﺳﺎس ‪ a‬ﺣﯿﺚ‪a Î ¡*+ - {1} :‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻟﻸﺳﺎس ‪ a‬ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪log a :‬‬
‫ﺣﯿﺚ‪:‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ln a‬‬

‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬

‫= ‪log a x‬‬

‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‪é:‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ l og10‬ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺸﺮي و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﻛﺬﻟﻚ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪l og :‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت و ﺧﺎﺻﯿﺎت‪:‬‬

‫[‪"y Î ]0; +¥‬‬

‫‪l og 1 = 0‬‬
‫‪a‬‬

‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬

‫‪l og a xy = l og a x + l n g a y‬‬

‫‪l og a = 1‬‬
‫‪a‬‬

‫‪= rl og a x‬‬

‫‪"r Î ¤‬‬
‫‪r‬‬

‫[‪"x Î ]0; +¥‬‬

‫‪= - l og a x‬‬

‫‪l og a x = r Û x = a‬‬

‫‪r‬‬

‫‪( r Î ¤ ) l og a x‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪l og a‬‬

‫‪æxö‬‬
‫‪l og a ç ÷ = l og a x - l og a y‬‬
‫‪èyø‬‬

‫ﻧﮫﺎﻳﺎت و ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت‪:‬‬
‫‪a >1‬‬

‫‪0 < a <1‬‬
‫‪log a x > log a y Û x < y‬‬

‫‪log a x > log a y Û x > y‬‬

‫‪lim l og a x = -¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪lim l og a x = +¥‬‬
‫‪x ® 0+‬‬

‫‪lim l og a x = +¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪lim l og a x = -¥‬‬
‫‪x ® 0+‬‬

‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ln a‬‬

‫= ' ) ‪( l og a x‬‬
‫‪23‬‬

‫[‪"x Î ]0, +¥‬‬


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