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Titre: Microsoft Word - ملخصات مركزة لدروس مادة.doc
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‫اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪Ë‬ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت‬
‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺢ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬

‫ﻣﻌﻨﺎه‬

‫ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫‪ W‬ﻛﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت‬
‫ﺣﺪث ‪A‬‬
‫ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ‬
‫ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث ‪A Ç B‬‬
‫ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث ‪A È B‬‬
‫اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث ‪A‬‬

‫ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﻘﺒﻞ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺘﯿﺠﺔ‬
‫ھﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫‪ A‬ﺟﺰءا ﻣﻦ ﻛﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ‪W‬‬
‫ﻛﻞ ﺣﺪث ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻋﻨﺼﺮا وﺣﯿﺪا‬
‫إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪﺛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻓﻲ آن واﺣﺪ‬
‫إذا ﺗﺤﻘﻖ ‪ A‬أو ‪ B‬أو ھﻤﺎ ﻣﻌﺎ‬

‫ھﻮ اﻟﺤﺪث ‪A‬‬

‫) ‪A È A = W‬و ‪( A Ç A = Æ‬‬
‫‪AÇB=Æ‬‬

‫‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﯿﻦ‬

‫‪Ë‬اﺳﺘﻘﺮار ﺣﺪث ‪ -‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ W‬ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫· ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺴﺘﻘﺮ اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪ ث اﺑﺘﺪاﺋﻲ }‪ {wi‬ﻓﻲ ﻗﯿﻤﺘﻪ ‪ pi‬ﻧﻘﻮل أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث }‪ {wi‬ھﻮ‪pi :‬‬

‫وﻧﻜﺘﺐ‪P ({wi }) = pi :‬‬

‫· اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ھﺬا اﻟﺤﺪث‬
‫أي إذا ﻛﺎن } ‪ A = {w1 ; w2 ; w3 ;...; wn‬ﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ‪ W‬ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬ھﻮ‪:‬‬

‫) ‪p ( A ) = p ( w1 ) + p ( w2 ) + p ( w3 ) + ... + p ( wn‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺎت‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ W‬ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫· ‪ p (Æ ) = 0‬و ‪p ( W) = 1‬‬

‫· ‪ 0 £ p ( A ) £ 1‬ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬ﻣﻦ ‪W‬‬

‫· اﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﯿﻦ‪:‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ ‪W‬‬

‫)‪p ( A È B) = p ( A ) + p ( B) - p ( A Ç B‬‬

‫) ‪ p ( A È B ) = p ( A ) + p ( B‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﯿﻦ‬

‫· اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد‪:‬‬

‫) (‬

‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬ﻣﻦ ‪ W‬ھﻮ‪p A = 1 - p ( A ) :‬‬

‫‪Ë‬ﻓﺮﺿﯿﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟﻤﯿﻊ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺘﮫﺎ ‪W‬‬
‫‪cardA‬‬
‫= )‪p(A‬‬
‫ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﺣﺪث ‪ A‬ﻣﻦ ‪ W‬ھﻮ‪:‬‬
‫‪cardW‬‬
‫‪Ë‬اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ‪ -‬اﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ ﺣﺪﺛﯿﻦ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚ‪p ( A ) ¹ 0 :‬‬

‫)‪p ( A Ç B‬‬
‫= ‪p ( B) = p B‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ B‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ھﻮ اﻟﻌﺪد‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p‬‬
‫‪A‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪A‬‬

‫) (‬

‫‪28‬‬

‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‪:‬‬

‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚ‪p ( A ) ´ p ( B ) ¹ 0 :‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‪( A ) = p ( B) ´ p ( A B) :‬‬

‫‪p ( A Ç B) = p ( A ) ´ p B‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫) ‪ A Û p ( A Ç B ) = p ( A ) ´ p ( B‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ W‬ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ و ‪ W1‬و ‪ W 2‬ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ل ‪W‬‬
‫) ‪W1 È W2 = W‬و ‪( W1 Ç W2 = Æ‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬ﻣﻦ ‪: W‬‬
‫‪p ( A ) = p ( W1 ) ´ p A‬‬
‫‪+ p ( W2 ) ´ p A‬‬
‫‪W1‬‬
‫‪W2‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫‪Ë‬ﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ‪:‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ X‬ﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻋﻠﻰ ‪ W‬ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﻤﺮﺣﻠﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ‪:‬‬
‫· ﺗﺤﺪﻳﺪ } ‪ : X ( W ) = {x1; x 2 ;x 3 ;...;x n‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺘﻲ ﻳﺄﺧﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ‪X‬‬
‫·‬

‫ﻧﺤﺴﺐ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) ‪ p ( X = x i‬ﻟﻜﻞ‬

‫‪ i‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ }‪{1;2;...;n‬‬

‫‪Ë‬اﻷﻣﻞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ‪ -‬اﻟﻤﻐﺎﻳﺮة‪ -‬اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻄﺮازي ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ‪:‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ X‬ﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻗﺎﻧﻮﻧﻪ‬
‫ﻣﻌﺮف ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‪:‬‬

‫اﻷﻣﻞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ ‪X‬‬

‫‪xn‬‬

‫‪x 3 ...‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪pn‬‬

‫‪p3 ...‬‬

‫‪p2‬‬

‫‪p1‬‬

‫) ‪p(X = x i‬‬

‫‪E ( X ) = x1 ´ p1 + x 2 ´ p 2 + x 3 ´ p3 + ... + x n ´ p n‬‬

‫اﻟﻤﻐﺎﻳﺮة ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ ‪X‬‬

‫‪V ( X ) = E ( X² ) - éë E ( X ) ùû ²‬‬

‫اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻄﺮازي ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ ‪X‬‬

‫)‪s(X) = V(X‬‬

‫‪Ë‬اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺤﺪاﻧﻲ‪:‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ p‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ A‬ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬
‫ﻧﻌﯿﺪ ھﺬه اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪ n‬ﻣﺮة‬
‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬اﻟﺬي ﻳﺮﺑﻂ ﻛﻞ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﺑﻌﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻓﯿﮫﺎ اﻟﺤﺪث ‪A‬‬
‫ﻳﺴﻤﻰ ﺗﻮزﻳﻌﺎ ﺣﺪاﻧﯿﺎ وﺳﯿﻄﺎه ‪ n‬و ‪p‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫‪n -k‬‬

‫) ‪"k Î {0;1;2;...;n} p ( X = k ) = Ckn ´ p k ´ (1 - p‬‬

‫و‬

‫‪E(X) = n ´ p‬‬

‫و‬

‫) ‪V ( X ) = np (1 - p‬‬

‫‪29‬‬


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