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‫اﻟﺘﻌﺪاد‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪Ë‬رﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫رﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ‪ E‬ھﻮ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ E‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪CardE :‬‬
‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‪CardÆ = 0 :‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬
‫‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﺎن ﻣﻨﺘﮫﯿﺘﺎن‬

‫) ‪Card ( A È B ) = CardA + CardB - Card ( A Ç B‬‬

‫‪Ë‬ﻣﺘﻤﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬ﺟﺰءا ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ‪E‬‬
‫ﻣﺘﻤﻢ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ E‬ھﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪A :‬‬
‫ﺣﯿﺚ }‪A = {x Î E / x Ï A‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‪:‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬

‫‪AÇA=Æ‬‬
‫‪AÈA=E‬‬
‫‪cardA = cardE - cardA‬‬

‫‪Ë‬اﻟﻤﺒﺪأ اﻷﺳﺎﺳﻲ ﻟﻠﺘﻌﺪاد‪:‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﻧﺘﺎﺋﺠﮫﺎ ‪ p‬اﺧﺘﯿﺎرا )* ‪( p Î ¥‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻷول ﻳﺘﻢ ب ‪ n1‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﺘﻢ ب ‪ n 2‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬
‫‪.........................................‬‬
‫و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر ‪ p‬ﻳﺘﻢ ب ‪ n p‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫ﻓﺈن ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ اﻟﺠﺪاء ‪n1 ´ n 2 ´ n 3 ´ ... ´ n p :‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار‪ -‬اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬
‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ n‬و ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ‪( p £ n ) ¥‬‬
‫ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ھﻮ‪n p :‬‬

‫‪26‬‬

‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬

‫· ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ n‬و ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ‪( p £ n ) ¥‬‬

‫ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ھﻮ‪:‬‬

‫)‪A pn = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ ( n - p + 1‬‬
‫‪ p‬ﻣﻦ اﻟﻌﻮاﻣﻞ‬
‫· ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‪:‬‬
‫ﻛﻞ ﺗﺮﺗﯿﺒﺔ ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﺗﺴﻤﻰ ﻛﺬﻟﻚ ﺗﺒﺪﻳﻠﺔ ل ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‬
‫و ﻋﺪدھﺎ ‪n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1 :‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ ‪n‬‬
‫ﻛﻞ ﺟﺰء ‪ A‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮه ‪( p £ n ) p‬‬
‫ﻳﺴﻤﻰ ﺗﺄﻟﯿﻔﺔ ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‬
‫‪A pn‬‬
‫و ﻋﺪد ھﺬه اﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت ھﻮ ‪:‬‬
‫!‪p‬‬
‫‪Ë‬اﻷﻋﺪاد‪ n! :‬و ‪ Apn‬و ‪: Cpn‬‬

‫= ‪Cpn‬‬

‫‪n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1‬‬
‫‪0! = 1‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪Cpn‬‬
‫!) ‪p!( n - p‬‬
‫‪C1n = n‬‬

‫‪Cnn = 1‬‬

‫* ‪nÎ¥‬‬
‫!‪n‬‬
‫!) ‪( n - p‬‬

‫‪C0n = 1‬‬

‫‪Cpn = Cnn - p‬‬

‫= ‪A pn‬‬
‫‪Cnn -1 = n‬‬

‫‪Cpn -1 + Cpn = Cpn +1‬‬

‫‪Ë‬ﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻨﮫﺎ‬
‫‪ n1‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪A‬‬

‫) ‪( n1 + n 2 + n 3 = n‬‬

‫و ‪ n 2‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪B‬‬
‫و ‪ n 3‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪C‬‬

‫!‪n‬‬
‫ﻓﺈن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ ھﺬه اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ھﻮ ‪:‬‬
‫! ‪n1 !´ n 2 !´ n 3‬‬

‫‪Ë‬ﺑﻌﺾ أﻧﻮاع اﻟﺴﺤﺐ‪:‬‬
‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ) ‪ ( p £ n‬و ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﻧﻮع اﻟﺴﺤﺐ‬

‫ﻋﺪد اﻟﺴﺤﺒﺎت اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ‪:‬‬

‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬

‫آﻧﻲ‬

‫‪Cpn‬‬

‫ﻏﯿﺮ ﻣﮫﻢ‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل‬

‫‪np‬‬
‫‪A pn‬‬

‫ﻣﮫﻢ‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل‬

‫‪27‬‬

‫ﻣﮫﻢ‬



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