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‫اﻻﺗﺼﺎل‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬
‫‪-‬‬

‫‪Ë‬اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ‪:‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫) ‪lim f ( x ) = f ( x 0‬‬
‫‪x ® x0‬‬

‫‪ f Û‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪x 0‬‬

‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر‪:‬‬

‫) ‪ f Û lim f ( x ) = f ( x 0‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ ‪x 0‬‬
‫‪x ® x0‬‬
‫>‬
‫) ‪ f Û lim f ( x ) = f ( x 0‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪x 0‬‬
‫‪x ® x0‬‬
‫<‬
‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪ f Û x 0‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪x 0‬‬

‫‪Ë‬اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‪:‬‬
‫ﺗﻜﻮن‬
‫ﺗﻜﻮن‬

‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح [‪ ]a, b‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [‪]a, b‬‬
‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻐﻠﻖ ]‪ [a,b‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻔﺘﻮح [‪]a, b‬‬

‫و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ ‪ a‬و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪b‬‬
‫‪Ë‬اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫· اﻟﺪوال ‪ kf , f ´ g , f + g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪f 1‬‬
‫· إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ g‬ﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ و‬
‫‪g g‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‪:‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬

‫ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡‬
‫ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪¡ +‬‬

‫‪Ë‬اﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺑﺤﯿﺚ‪f ( I ) Ì J :‬‬
‫ﻓﺈن‪ g 0f :‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪Ë‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ‪:‬‬
‫·‬
‫·‬

‫ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻗﻄﻌﺔ‬
‫ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻣﺠﺎل‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‪:‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
‫اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺿﺢ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬

‫‪8‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫] ‪[a,b‬‬
‫[‪[a,b‬‬
‫] ‪]a,b‬‬
‫[‪]a,b‬‬
‫[‪[a,+¥‬‬
‫[‪]a, +¥‬‬
‫]‪]-¥,a‬‬
‫[‪]-¥,a‬‬
‫¡‬

‫اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬
‫‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬
‫‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬
‫‪éëf ( b ) ;f ( a ) ùû‬‬
‫‪éëf ( a ) ;f ( b ) ùû‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ú lim- f ( x ) ;f ( a ) ú‬‬
‫‪êf ( a ) ; lim - f ( x ) ê‬‬
‫‪x ®b‬‬
‫‪û x ®b‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪êf ( b ) ; lim+ f ( x ) ê‬‬
‫‪ú lim+ f ( x ) ;f ( b ) ú‬‬
‫‪x ®a‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪û x ®a‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫;‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫;‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ú‬‬
‫‪ê‬‬
‫‪ú‬‬
‫‪ê‬‬
‫‪x ®a +‬‬
‫‪x ® b‬‬‫‪û x ® b‬‬‫‪ë‬‬
‫‪û x ®a +‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‪lim f ( x ) ;f ( a ) ú‬‬
‫‪f ( a ) ; lim f ( x ) ê‬‬
‫‪úû x ®+¥‬‬
‫‪ê‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ú lim f ( x ) ; lim+ f ( x ) ê ú lim+ f ( x ) ; lim f ( x ) ê‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x ®a‬‬
‫‪û x ®+¥‬‬
‫‪ë û x ®a‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪;f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫;‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪úû x ®-¥‬‬
‫‪úû‬‬
‫‪êë‬‬
‫‪êë‬‬
‫‪x ®-¥‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ú lim- f ( x ) ; lim f ( x ) ê ú lim f ( x ) ; lim- f ( x ) ê‬‬
‫‪x ®-¥‬‬
‫‪x ®a‬‬
‫‪û x ®a‬‬
‫‪ë û x ®-¥‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪é ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê ú lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê‬‬
‫‪úû x ®+¥‬‬
‫‪x ®-¥‬‬
‫‪ë û x ®-¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪ë‬‬

‫‪Ë‬ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ b‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ) ‪ f ( a‬و ) ‪f ( b‬‬
‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪ ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﺑﺤﯿﺚ‪f ( a ) = b :‬‬
‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬و ‪f ( a ) ´ f ( b ) < 0‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ ‪ a‬ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬و ‪f ( a ) ´ f ( b ) < 0‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ‪ a‬ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
‫‪Ë‬ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﺑﺤﯿﺚ‪f ( a ) ´ f ( b ) < 0 :‬‬
‫وﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬اﻟﺤﻞ اﻟﻮﺣﯿﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
‫‪æa + bö‬‬
‫‪æa + bö‬‬
‫إذا ﻛﺎن‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎن‪:‬‬
‫‪f (a ) ´ f ç‬‬
‫‪÷< 0‬‬
‫‪÷< 0‬‬
‫‪è 2 ø‬‬
‫‪è 2 ø‬‬
‫‪b-a‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪b-a‬‬
‫‪a+b‬‬
‫و ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ‬
‫< ‪ a < a‬و ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ‬
‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫ﻓﺈن‪< a < b :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪é a + b ù‬‬
‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪é a + b ù‬‬
‫‪êë 2 ; b úû‬‬
‫‪êë a; 2 úû‬‬
‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد ‪a‬‬
‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد ‪a‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ :‬وھﻜﺬا دواﻟﯿﻚ ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ أن ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ ﻟﻠﻌﺪد ‪ a‬ﺳﻌﺘﻪ ﻣﺮﻏﻮب ﻓﯿﮫﺎ‬
‫‪f (b ) ´ f ç‬‬

‫‪9‬‬


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