EXERCICES.4è.X .pdf

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EXERCICES ( 4è.Sc.exp.)
(continuité et complexes)

B.Tabbabi

Exercice 1 :

1
2
1  x sin  
On considère la fonction f définie sur  par f ( x )  
 x
1  x  x 3


si x < 0
si x  0

1.Calculer lim f ( x)
x 

2.On considère la fonction définie sur IR * par u ( x) 

sin x
.
x

1
a.Vérifier que pour tout x<0 on a : f ( x)  1  x.u   .
 x
1
b.Calculer lim u   et en déduire lim f ( x) .
x 
x 
 x
3.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1  x 2  f ( x )  1  x 2 .
b.Calculer alors lim f ( x ).
x 0 

c.Etudier la continuité de f en 0.
d.Montrer que f est continue sur IR.
4.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .
b. Vérifier que 1   2 

1
.

x 1

5.Etudier chacune des limites suivantes : lim f 

x 
 x 1 

 x 1
.
 x 1

et lim f 
x 1 +

Exercice 2 :

 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v .





On note A et B les points d’affixes respectives i et –i.

iz  1
.
z i
1.Calculer z’ dans le cas où z = 2  i et donner dans ce cas l’écriture exponentielle de z’.
i( z  i)
2.a.Vérifier que z ' 
.
z i
b.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est réel.
c.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est imaginaire pur.
d.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que |z’| = 1.
2
3.a.Vérifier que pour tout z  i on a : | z’- i| 
.
z i

A tout point M d’affixe z  i,on associe le point M’ d’affixe z ' 

2 ,le point M’ varie sur le même cercle.
iz  1
4.a.Vérifier que pour tout nombre complexe z différent de i on a : z '  i
iz  1

b.Soit  un réel différent de 2k ; k   .On pose z  ei .
2
  
Montrer que z’   tan    .
2 4
c.En déduire l’ensemble sur lequel varie le point M’ lorsque M varie sur le cercle trigonométrique.
b.En déduire que si M varie sur le cercle de centre A et de rayon



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