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Le modèle de régression linéaire

Chapitre 1 Le modèle de régression
linéaire

Maher Chatti
FSEGT
Année Universitaire : 2013-2014
2M EGRFA
Econométrie de la …nance et de l’assurance
Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

En réarrangant et manipulant ces deux
expressions, on obtient :

b
β0 = y

b
β1 x

T
∑t =1 (xt x ) (yt y )
b
β1 =
2
T
∑t =1 (xt x )
d (x, y )
d (x, y )
T Cov
Cov
=
=
d (x )
d (x )
T Var
Var

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Si le modèle ne comporte pas de terme
constant, la formule de l’estimateur est donnée
par :
b
β1 =

∑T
t = 1 xt yt
2
∑T
t = 1 xt

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.2 Propriétés statistiques

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.2 Propriétés statistiques
Les estimateurs b
β0 et b
β1 dépendent des yt et
sont donc des variables aléatoires qui
admettent des propriétés statistiques.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.2 Propriétés statistiques
Les estimateurs b
β0 et b
β1 dépendent des yt et
sont donc des variables aléatoires qui
admettent des propriétés statistiques.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.2 Propriétés statistiques
Les estimateurs b
β0 et b
β1 dépendent des yt et
sont donc des variables aléatoires qui
admettent des propriétés statistiques.
Si les hypothèses 1 à 6 sont véri…ées, on
montre que les estimateurs MCO sont BLUE
(Best Linear Unbiased Estimator) : dans la
famille des estimateurs linéaires et sans biais,
ils présentent la variance la plus faible.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Absence de biais

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Absence de biais

On montre que :
E b
β0 = β0 et E b
β1 = β1

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Absence de biais

On montre que :
E b
β0 = β0 et E b
β1 = β1

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Absence de biais

On montre que :
E b
β0 = β0 et E b
β1 = β1

Les distributions des estimateurs sont centrées
autour de leurs vraies valeurs respectives.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.
On montre que :

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.
On montre que :

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.
On montre que :
Var b
β1 =

σ2
TVar (xt )

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Précision
Un estimateur est d’autant plus précis que sa
variance est plus faible.
On montre que :
2
Var b
β1 = TVarσ (xt )
h
2
2 1
b
Var β0 = σ T + T xx

∑ t =1 (

t

x )2

i

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

La précision d’un estimateur dépend de 3
facteurs :

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

La précision d’un estimateur dépend de 3
facteurs :

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

La précision d’un estimateur dépend de 3
facteurs :
σ2 qui la réduit : plus la variance des facteurs que
l’on a omis de considérer est importante et moins
l’estimateur est précis ;

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

La précision d’un estimateur dépend de 3
facteurs :
σ2 qui la réduit : plus la variance des facteurs que
l’on a omis de considérer est importante et moins
l’estimateur est précis ;

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

La précision d’un estimateur dépend de 3
facteurs :
σ2 qui la réduit : plus la variance des facteurs que
l’on a omis de considérer est importante et moins
l’estimateur est précis ;
T et Var (xt ) qui l’augmentent : plus la taille de
l’échantillon et/ou la dispersion des observations
du régresseur augmentent et plus l’estimateur est
précis.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Convergence

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Convergence

Les estimateurs MCO sont convergents : ils
convergent vers leurs vraies valeurs à mesure
que la taille de l’échantillon tend vers l’in…ni.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs
L’estimation des variances des estimateurs
Var b
β0 et Var b
β1 passe par celle de

E (ε2t ) = σ2 , qui est une constante inconnue.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs
L’estimation des variances des estimateurs
Var b
β0 et Var b
β1 passe par celle de

E (ε2t ) = σ2 , qui est une constante inconnue.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs
L’estimation des variances des estimateurs
Var b
β0 et Var b
β1 passe par celle de

E (ε2t ) = σ2 , qui est une constante inconnue.
On monter qu’un estimateur sans biais de σ2
est donné par :
b2 =
σ

2

εt
∑T
t =1 b
ddl

=

SCR
ddl

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs
L’estimation des variances des estimateurs
Var b
β0 et Var b
β1 passe par celle de

E (ε2t ) = σ2 , qui est une constante inconnue.
On monter qu’un estimateur sans biais de σ2
est donné par :
b2 =
σ

2

εt
∑T
t =1 b
ddl

=

SCR
ddl

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.3 Estimation de la variance des erreurs
L’estimation des variances des estimateurs
Var b
β0 et Var b
β1 passe par celle de

E (ε2t ) = σ2 , qui est une constante inconnue.
On monter qu’un estimateur sans biais de σ2
est donné par :
b2 =
σ

2

εt
∑T
t =1 b
ddl

=

SCR
ddl

où ddl désigne le degré de liberté, égal au nombre
d’observations T moins le nombre de paramètres à
estimer (ici 2).
Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Il s’ensuit les formules suivantes pour les
variances estimées des estimateurs :
d b
Var
β1 =

b2
σ
TVar (xt )

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Il s’ensuit les formules suivantes pour les
variances estimées des estimateurs :
d b
Var
β1 =

b2
σ
TVar (xt )

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Il s’ensuit les formules suivantes pour les
variances estimées des estimateurs :
2
d b
Var
β1 = TVarσb (xt )
h
2
2 1
b
d
b
Var β0 = σ T + T xx

∑ t =1 (

t

x )2

i

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.4 Qualité de l’ajustement

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.4 Qualité de l’ajustement
Equation de l’analyse de la variance : on montre
à partir de la relation : yt = ybt + bεt , que :
2

SCT = ∑Tt=1 (yt y )
= ∑Tt=1 (ybt y )2 + ∑Tt=1 bε2t
= SCE + SCR

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.4 Qualité de l’ajustement
Equation de l’analyse de la variance : on montre
à partir de la relation : yt = ybt + bεt , que :
2

SCT = ∑Tt=1 (yt y )
= ∑Tt=1 (ybt y )2 + ∑Tt=1 bε2t
= SCE + SCR

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.2.4 Qualité de l’ajustement
Equation de l’analyse de la variance : on montre
à partir de la relation : yt = ybt + bεt , que :
2

SCT = ∑Tt=1 (yt y )
= ∑Tt=1 (ybt y )2 + ∑Tt=1 bε2t
= SCE + SCR

La variance de la variable dépendante est
expliquée en partie par le modèle à hauteur de
SCE , l’autre partie restant inexpliquée à
hauteur de SCR.
Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Ce coe¢ cient est compris entre 0 et 1.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Ce coe¢ cient est compris entre 0 et 1.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Ce coe¢ cient est compris entre 0 et 1.
Lorsque le modèle ne comporte pas de terme
constant :
R2 = 1

2

εt
∑T
t =1 b
2
y
∑T
t =1 t

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Ce coe¢ cient est compris entre 0 et 1.
Lorsque le modèle ne comporte pas de terme
constant :
R2 = 1

2

εt
∑T
t =1 b
2
y
∑T
t =1 t

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

Le coe¢ cient de détermination R 2 mesure la
part de la variance totale qui est expliquée par
le modèle, soit :
R2 =

SCE
SCT

=1

SCR
SCT

Ce coe¢ cient est compris entre 0 et 1.
Lorsque le modèle ne comporte pas de terme
constant :
R2 = 1

2

εt
∑T
t =1 b
2
y
∑T
t =1 t

Lorsque le modèle ne comporte qu’un terme
constant, R 2 = 0.
Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

R 2 augmente mécaniquement lorsqu’on ajoute
une variable explicative, même si celle-ci n’est
pas pertinente.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

R 2 augmente mécaniquement lorsqu’on ajoute
une variable explicative, même si celle-ci n’est
pas pertinente.

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

R 2 augmente mécaniquement lorsqu’on ajoute
une variable explicative, même si celle-ci n’est
pas pertinente.
Pour en tenir compte et pour pouvoir comparer
des modèles n’ayant pas le même nombre de
variables explicatives, on utilise le coe¢ cient de
détermination ajusté, donné par :
2

R =1

T 1
ddl

(1

R 2)

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.3 Tests d’hypothèses

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire

Le modèle de régression linéaire

1.3 Tests d’hypothèses
Démarche :

Chapitre 1 Le modèle de régression linéaire



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