M1 L3 ÉCONOMÉTRIE SérieN°2 Rég Lin Mult .pdf


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Titre: M1.L3 (ÉCONOMÉTRIE) Série Corrigée N°2 ÉNONCÉS
Auteur: BEN AHMED MOHSEN

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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Modèle de Régression Linéaire Multiple

Exercice 1 : (IHET SC2011)
Pendant 23 ans, on a relevé sur une parcelle de terre agricole les rendements de la culture de blé
(symbolisé 𝒀), la température moyenne (variable 𝑿𝟏) et le niveau des précipitations (variable 𝑿𝟐).
L’ajustement de ce modèle conduit aux résultats suivants :
𝟐𝟑

𝒚𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐𝒙𝒊𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝒙𝒊𝟐 + 𝟐𝟕, 𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟑

; 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 ; 𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔

𝒊=𝟏

On donne, en plus
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗


𝑿𝑿

−𝟏

=

−𝟎, 𝟎𝟖 −𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟎, 𝟎𝟐
𝟎, 𝟐

1) Déduire l’estimateur de 𝝈𝟐.
2) Déduire les variances des estimateurs 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 (les coefficients associés à 𝒙𝟏 et 𝒙𝟐
respectivement).
3) Effectuer les tests de significativité individuelle de 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 , sachant que le 𝒕-tabulé
est 𝒕𝟓% 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐.
4) Peut-on affirmer que le coefficient de la température est deux fois plus élevé que celui des
précipitations, en valeur absolue ?

Exercice 2 : (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple :
𝑲

𝒚 𝒊 = 𝜷𝟎 +

𝜷𝒌 𝒙𝒊𝒌 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒏
𝒌=𝟏

1)

1

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a) Mettre le modèle sous forme matricielle en fonction du vecteur 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … 𝟏 ′ et de la
matrice 𝑿 = 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … 𝒙𝑲
b) Donner l’expression du vecteur 𝜷 estimateur MCO de 𝜷 en fonction de 𝑴𝟎 et 𝒊, où 𝑴𝟎 est
la matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des
colonnes de la matrice 𝑿.
2) Dans la régression précédente le calcul du vecteur 𝜷𝒄 revient à régresser la variable 𝒀 centrée
par rapport aux variables explicatives 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … 𝒙𝑲 centrées dans le cadre d’un modèle linéaire
sans constante.
a) Est-ce qu’on obtient le même résultat si seule la variable 𝒀 est centrée ?
b) Est-ce qu’on obtient le même résultat si uniquement les variables explicatives sont
centrées ?

Exercice 3: (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple avec constante : 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝃 . On procède à la
transformation suivante des variables explicatives: 𝒁 = 𝑿𝑻 , où 𝑻 est une matrice inversible.
1) Donner l’expression des vecteurs des résidus de la régression de 𝒀 sur 𝑿 et de 𝒀 sur 𝒁
respectivement 𝒆𝟏 = 𝑴𝑿𝒀 et 𝒆𝟐 = 𝑴𝒁𝒀
2) Que peut-on conclure quant à la qualité d’ajustement des deux régressions
3) Quel est le lien entre ce résultat et le problème de changement d’unité de mesure des variables

Exercice 4: (ISG SC2006)
On considère deux modèles de production :
𝒌

𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝒆𝜷𝟏

𝒙𝒕𝒊 𝜷𝒊 𝒆𝝃𝒕
𝒊=𝟐
𝒌

𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜶𝟏 +

𝜶𝒊 𝒙𝒕𝒊 + 𝜻𝒕
𝒊=𝟐

Où 𝒚 est la production, et les 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 sont les facteurs de production.
1) Déterminer 𝜼𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le
modèle 𝑴𝟏
2) Déterminer 𝜹𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le
modèle 𝑴𝟐. Commenter
3) Donner le modèle 𝑴𝟑 qui correspond à la forme log-linéaire du modèle 𝑴𝟏.
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Sur la base d’un échantillon de 𝟒𝟓 observations, on a estimé ce modèle 𝑴𝟑 par la méthode des
moindres carrés pour le cas de deux facteurs de productions : 𝒙𝟐 le capital et 𝒙𝟑 le travail. Les résultats
sont :
𝜷𝒄 =

𝟎, 𝟕𝟓
, 𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓 , 𝝈𝟐𝜷𝒄 = 𝟏𝟎 −𝟒 𝟏𝟓
𝟎, 𝟑𝟎

−𝟓
𝟏𝟎

4) Donner le tableau d’analyse de la variance
5) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse que l’élasticité capital est égale à l’élasticité travail
6) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse des rendements d’échelle constants

Exercice 5: (ISG SP2010)
On veut expliquer la variation des rendements des actions des entreprises cotés à la bourse.
On dispose du tableau suivant :
𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

𝒀 = 𝑹𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔

16

7

14

29

22

22

21

12

19

20

12

14

13

10

22

11

18

16

15

7

𝑿𝟐 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒆𝒔

9

2

7

32

18

14

16

3

12

15

3

4

9

0

13

4

15

19

8

2

𝑨𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆 à 𝒍’𝑬𝒕𝒂𝒕∗

O

N

N

O

N

N

O

N

O

O

N

O

O

N

O

N

O

N

O

N

𝑺𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅’𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕é

𝐬𝟏

𝐬𝟑

𝐬𝟐

𝐬𝟑

𝐬𝟐

𝐬𝟐

𝐬𝟏

𝐬𝟐

𝐬𝟐

𝐬𝟏

𝐬𝟐

𝐬𝟐

𝐬𝟏

𝐬𝟐

𝐬𝟐

𝐬𝟏

𝐬𝟏

𝐬𝟑

𝐬𝟏

𝐬𝟑

∗ O: L’Etat est actionnaire à l’entreprise

N : L’Etat n’est pas actionnaire

Ce tableau est résumé par les données suivantes :
𝟐𝟎

𝟐𝟎

𝒙𝒊𝟐 = 𝟐𝟎𝟓 ;
𝒊=𝟏

𝟐𝟎

𝒙𝟐𝒊𝟐
𝒊=𝟏

= 𝟑𝟐𝟓𝟕 ;

𝟐𝟎

𝒙𝒊𝟐 𝒚𝒊 = 𝟒𝟎𝟑𝟓 ;
𝒊=𝟏

𝟐𝟎

𝒚𝟐𝒊 = 𝟓𝟕𝟐𝟒

𝒚𝒊 = 𝟑𝟐𝟎 ;
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

Total des rendements des entreprises dont l’Etat est actionnaire =187
Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔𝟏 =114
Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔𝟐 =147
Total des dividendes des entreprises dont l’Etat est actionnaire =133
Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔𝟏 =76
Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔𝟐 =74
1) Donner les spécifications économétriques et interpréter économétriquement les paramètres des
modèles suivants :
a) 𝑌 est exprimée en fonction d’une dummy référant à l’appartenance à l’Etat.
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b) 𝑌 est exprimée en fonction des variables dummy référant aux secteurs d’activité.
c) 𝑌 est exprimée en fonction des dividendes et des dummy référant à l’appartenance à
l’Etat et à l’appartenance aux différents secteurs d’activité
2) Donner les matrices 𝑿′ 𝑿 et 𝑿′ 𝒀 relatives à chacun des modèles spécifiés.
3) Estimer les paramètres du premier modèle.
4) On a estimé le modèle :
𝒚𝒊 = 𝟒, 𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟔𝟗𝒙𝒊𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟔𝑫𝒊 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟏 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟐 ;𝒐ù
𝑫𝒊 =

𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝑬𝒕𝒂𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 à 𝒍′ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊"
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏


𝑫𝒊𝟏 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔𝟏
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

𝑫𝒊𝟐 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔𝟐
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

a) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises dont l’Etat est
actionnaire ou non ? Justifier votre réponse.
b) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises du secteur 𝒔𝟏 ou 𝒔𝟐 ?
Justifier votre réponse.
c) Déterminer les rendements estimés de l’action d’une entreprise qui appartient au
secteur 𝒔𝟑, dont l’Etat n’est pas actionnaire et dont les dividendes sont de 52.

Exercice 6: (ISG SP2007)
On veut identifier les facteurs qui déterminent les rendements des actions sur le marché financier. On
considère les variables
𝒀 = 𝑳𝒏 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 , 𝑿𝟐 = 𝑳𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒕𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒕
𝑿𝟑 = 𝑳𝒏(𝒑𝒓𝒐𝒇𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖é𝒔)
On dispose des statistiques relatives à 30 firmes du secteur 𝑨 et 30 firmes du secteur 𝑩 qu’on utilise
pour estimer les modèles :
𝑴𝑨 : 𝒀𝑨 = 𝑿𝑨 𝜷𝑨 + 𝝃𝑨
𝑴𝑩 : 𝒀𝑩 = 𝑿𝑩 𝜷𝑩 + 𝝃𝑩
1) Les résultats d’estimations du modèle 𝑴𝑨 sont :
𝑴𝑨 ∶ 𝒚𝒊 = −𝟔, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒊𝟐 + 𝟏, 𝟎𝟓𝒙𝒊𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟑𝟎
𝟑,𝟎𝟎

𝟑,𝟕𝟎

𝟐,𝟔𝟎

𝝈𝟐𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟕 ; 𝑹𝟐𝑨 = 𝟎, 𝟖𝟓
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Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student
a) Juger la validité statistique et économique du modèle 𝑴𝑨
b) Quelle est l’effet sur les rendements d’une augmentation de 𝟓% des profits distribués
c) Tester l’hypothèse que la variation des rendements est exactement proportionnelle à la
variation des profits distribués
2) On utilise les données du secteur 𝑨 et du secteur 𝑩 ensemble pour estimer les modèles :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
𝑴𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝒃𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝒃𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
𝒐ù 𝑫𝒊 =

𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒓𝒎𝒆 i 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑨
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
a) L’estimation du modèle 𝑴𝟏 donne 𝑹𝟐𝑴𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟎. Tester au risque de 𝟓% la stabilité des
paramètres entre les secteurs, sachant que :
𝟐𝟑

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝟏𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑹𝑩 = 𝟔

𝒊=𝟏

b) L’équation estimée du modèle 𝑴𝟐 est :
𝑴𝟐 ∶ 𝒚𝒊 = −𝟒, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓𝒙𝒊𝟐 + 𝟎, 𝟖𝟕𝒙𝒊𝟑 − 𝟎, 𝟔𝟎𝑫𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
𝟑,𝟎𝟎

𝟑,𝟕𝟎

𝟐,𝟔𝟎

𝟑,𝟑𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student
i. Est-ce que les rendements dépendent du secteur d’activité
ii. Comparer ce résultat avec celui de la question 2)-a)
iii. Est-ce que les investisseurs préfèrent le secteur 𝑨 ou 𝑩, justifier votre réponse

Exercice 7: (ISG SC2006)
Sur la base des données mensuelles allant de janvier 1991 à décembre 2000, on a estimé les modèles :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝝃𝒕
𝑴𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝜷𝟓 𝒙𝒕𝟓 + 𝜷𝟔 𝒙𝒕𝟔 + 𝜻𝒕
On obtient : 𝝈𝟐𝑴𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟓 , 𝑺𝑪𝑹𝑴𝟐 = 𝟏𝟏𝟎
𝟏𝟐𝟎

𝑺𝒂𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕 𝒒𝒖𝒆

𝒚𝒕 − 𝒚

𝟐

= 𝟐𝟏𝟎𝟎

𝒕=𝟏

1) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏
2) Calculer le part des variables 𝒙𝟓 et 𝒙𝟔 dans l’explication du modèle 𝑴𝟐
3) Est-ce que l’ajout de ces variables améliore la qualité d’ajustement du modèle
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4) Tester au risque de 𝟓% si cette amélioration est significative.
L’estimation du modèle 𝑴𝟐 sur la période janvier 1991 à décembre 1994 donne 𝑺𝑪𝑹𝟗𝟏/𝟗𝟒 = 𝟒𝟎
L’estimation du modèle 𝑴𝟐 sur la période janvier 1995 à décembre 2000 donne 𝑺𝑪𝑹𝟗𝟓/𝟎𝟎 = 𝟓𝟗
5) Tester au risque de 𝟓% la stabilité des paramètres de ce modèle.

Exercice 8: (ISG SP2008)
On considère le modèle 𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 où
𝒀 = 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍; 𝑿𝟐 = 𝒆𝒙𝒑é𝒓𝒊𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝑿𝟑 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒂𝒖 𝒅′𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏. Les
données relatives aux variables explicatives sont résumées par :
𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄 =

𝟔𝟑𝟗𝟎 −𝟐𝟐
; 𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄
𝟏𝟐𝟕

−𝟏

=

𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟔 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟏
𝟕, 𝟖𝟕𝟓𝟓

1) L’équation estimée du modèle 𝑴𝟏 est :
𝑴𝟏 ∶ 𝒚𝒊 = 𝟐𝟓𝟖, 𝟓 + 𝟏𝟕, 𝟒𝒙𝒊𝟐 + 𝟏𝟔𝟓, 𝟗𝒙𝒊𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟑,𝟎𝟏

𝟏,𝟑𝟏

𝟗,𝟐𝟗

Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres
a) Donner une interprétation économique de la valeur estimée de 𝜷𝟏
b) Estimer la variance des résidus
c) Calculer le coefficient de détermination du modèle
2) Afin de tester l’existence d’une discrimination au niveau des salaires entre les hommes et les
femmes, on cherche à estimer le modèle :
𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎
𝑫𝒊 =

𝒐ù

𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖 "𝒊"𝒆𝒔𝒕 𝒉𝒐𝒎𝒎𝒆
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

L’échantillon est composé de 60 hommes et 40 femmes. La valeur moyenne de 𝑿𝟐 chez les hommes est
𝑿𝟐𝑯 = 𝟏𝟑 alors que pour les femmes la moyenne de 𝑿𝟐 est 𝑿𝟐𝑭 = 𝟏𝟏. Pour 𝑿𝟑 les moyennes sont
𝑿𝟑𝑯 = 𝑿𝟑𝑭 = 𝟏, 𝟕
a) Déterminer la matrice 𝑿′ 𝑿 associée au modèle 𝑴𝟐.
b) Tester l’existence d’une discrimination entre les hommes et les femmes, si l’équation
estimée du modèle 𝑴𝟐 est :
𝑴𝟐 ∶ 𝒚𝒊 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟗 + 𝟏𝟔, 𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝟏𝟔𝟑, 𝟖𝒙𝒊𝟑 + 𝟏𝟏𝟑, 𝟓𝑫𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟑,𝟏𝟕

𝟏,𝟏𝟐

𝟕,𝟖𝟖

𝟏𝟖,𝟐𝟕

Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres
c) Cette discrimination, est-elle en faveur des hommes ou des femmes. Justifier votre
réponse.

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3) On suppose que vous disposez de toutes les observations ; proposez une autre méthode pour
tester l’existence de cette discrimination.

Exercice9: (ISG SP2007)
Soit le modèle de régression simple : 𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻
1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : I à 2005 : IV), on a estimé
par les MCO le modèle 𝑴𝟏. Les résultats d’estimation sont :
𝑴𝟏 ∶ 𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 − 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒
𝟑,𝟎𝟎

𝟏,𝟑𝟏

Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student
a) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏
𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔: 𝑭 =

𝑺𝑪𝑬
= 𝝉 𝜷𝟐
𝑺𝑪𝑹 𝑻 − 𝟐

𝟐

b) Tester au risque de 𝟓% :
𝑯 𝟎 : 𝜷𝟐 = 𝟏
𝑯 𝟏 : 𝜷𝟐 ≠ 𝟏
2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎
a) Estimer la variance des résidus 𝝈𝟐
b) Déterminer les matrices 𝑿′ 𝑿 𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿 −𝟏 associées au modèle 𝑴𝟏
𝒑
c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 𝟗𝟓% pour 𝒚𝟐𝟓 sachant que 𝒙𝟐𝟓 = 𝟗𝟖
3) Pour examiner l’effet des saisons on utilise le modèle suivant :
𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕 + 𝜷𝟑 𝑫𝟏𝒕 + 𝜷𝟒 𝑫𝟐𝒕 + 𝜷𝟓 𝑫𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒 ; 𝒐ù
𝒊è𝒎𝒆
𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 ;𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑
𝑫𝒋𝒕 = 𝟏 𝒔𝒊 t𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 𝒂𝒖 𝒋
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

Les résultats d’estimations du modèle 𝑴𝟐 sont :
𝑴𝟐 ∶ 𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 − 𝟑, 𝟑𝟓𝑫𝟏𝒕 + 𝟒, 𝟒𝟕𝑫𝟐𝒕 − 𝟓𝟖, 𝟖𝑫𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒
𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟑
a) Dresser le tableau d’analyse de la variance
b) Déterminer les valeurs prévisionnelles 𝒚𝒑𝟐𝟕 𝒆𝒕 𝒚𝒑𝟐𝟖 pour le troisième et le quatrième
trimestre de l’année 2006, sachant que pour ces périodes les valeurs prévisionnelles de la
variable explicative 𝑿 sont respectivement 𝒙𝟐𝟕 = 𝟏𝟎𝟐 𝒆𝒕 𝒙𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝟓

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Exercice10: (ISG SC2007)
On considère le modèle : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷𝟒 𝒙𝒊𝟒 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟑𝟔
1) Mettre le modèle sous forme matricielle, en spécifiant les dimensions de chaque élément
𝜷𝟏
𝜷𝟐
2) Donner l’équation du vecteur 𝜷 estimateur de 𝜷 =
par les MCO
𝜷𝟑
𝜷𝟒
𝜷𝟐
𝒄
3) Estimer par les MCO le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟑 , on donne :
𝜷𝟒
𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟐
𝟒𝟕 −𝟏𝟎 −𝟐𝟓
𝟏𝟓
−𝟏
𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄 =
= 𝟏𝟎 −𝟐
𝒆𝒕 𝑿𝒄 ′ 𝒀 = 𝟐𝟎
𝟏𝟓 𝟓 , 𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄
𝟗
𝟏
𝟐𝟎
𝟏𝟗
𝟒𝟎
4) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle sachant que 𝑺𝑪𝑻 = 𝟐𝟎𝟎
5) Quelle est le part de la variance expliquée par la variable 𝑿𝟑
6) Comment peut-on tester l’hypothèse
𝜷 = −𝟐𝜷𝟑
𝑯𝟎 : 𝟐
; 𝒏𝒆 𝒇𝒂𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍
𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 + 𝜷𝟐 = 𝟎

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STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I)
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