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RESUME ISOMETRIE .pdf


Nom original: RESUME ISOMETRIE.pdf
Titre: Définition et propriétés
Auteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME DE COURS
(Isométries planes 4è.M)

B.Tabbabi

Définition et propriétés
Définition
Une application du plan dans lui-même est une isométrie si elle conserve les distances.
C'est-à-dire pour tous points M et N d’images respectives M’ et N’ par cette application on a :M’N’ =MN.
Conséquences
.L’identité du plan,les translations, les symétries axiales et les rotations sont des isométries.
.Les images de deux points distincts par une isométrie sont deux points distincts ( on dit qu’une isométrie est
injective ).
Isométrie et produit scalaire
Théorème
Une application f du plan est une isométrie si et seulement si elle conserve le produit scalaire.
C'est-à-dire f est une isométrie si et seulement si pour tous points A,B et C d’images respectives A’,B’ et C’
   
par f on a : AB. AC  A ' B '. A ' C ' .
Conséquences
.Une isométrie conserve les mesures des angles géométriques (mesures dans  0,  sans tenir compte du
sens).
.Les images de trois points non alignés par une isométrie sont trois points non alignés.
Théorème
Soit f un isométrie .A,B et C sont trois points non alignés d’images respectives A’,B’ et C’ par f.
 
 
Si le repère A, AB, AC est orthonormé alors le repère A ', A ' B ', A ' C ' est orthonormé.



De plus si M est un point du plan d’image M’ tel que AM  x AB  y AC où (x,y)  IR 2 alors



A ' M '  x A ' B '  y A 'C '
Théorème
Soit f une isométrie.A,B,C et D sont des points d’images respectives A’,B’,C’ et D’ par f.




Si AB   CD (   IR ) alors A ' B '   C ' D ' .









Réciproque d’une isométrie
Théorème
.Une isométrie f est une bijection du plan dans lui-même.
.La réciproque d’une isométrie f est une isométrie notée f 1 .
.Pour tout point M du plan on a f ( M )  M '  M  f 1 ( M ') .
Remarque

 ,  ,I et u sont respectivement un réel,une droite,un point et un vecteur.On a alors :

 S 

1



 S  (une symétrie axiale est dite involutive) ;  tu   t u ; R I , 
1



1

 R I ,  et  S I   S I .
1

Conséquences
.Une isométrie conserve le barycentre de deux points,en particulier elle conserve les milieux.
.L’image d’une droite par une isométrie est une droite.
.Une isométrie conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
.Une isométrie conserve le contact ( l’image d’une tangente à un cercle est tangente au cercle image).
Composition d’isométries
Théorème
La composée de deux isométries est une isométrie.

voir verso 

Remarque
Si f,g et h sont trois isométries alors on n’a pas en général f  g  g  f mais on a  f  g   h  f   g  h  .
Composée de deux symétries axiales
Théorème
 et  ' sont deux droites du plan.Alors on a :
.Si  et  ' sont parallèles alors S   S  '  t2IJ où I   ', J   et  IJ    .




.Si  et  ' sont sécantes en un point I alors S   S  '  R I ,2  où   2 u ', u  2  avec u et u ' sont des

 

vecteurs directeurs respectifs de  et  ' .
Théorème
f,g et h sont des isométries.On a :
f  g  Id P  f  g 1 ;  f  g   g 1  f 1 ; f  g  f  h  g  h (la composition par h doit être du même
côté ).
1

Isométries et points fixes
Théorème
.Une isométrie qui fixe trois points non alignés est l’identité du plan.
.Deux isométries qui coïncident sur trois points non alignés sont égales.
.Si une isométrie différente de l’identité et qui fixe deux points distincts A et B alors f est la symétrie
orthogonale d’axe (AB).
.Un isométrie qui fixe un unique point I est une rotation de centre I et d’angle non nul.
.Une isométrie qui n’a aucun point fixe est soit une translation de vecteur non nul ou la composée d’une


translation de vecteur non nul u et d’une symétrie orthogonale d’axe  où u est un vecteur directeur de  .
Remarque

Si  est une droite du plan de vecteur directeur u alors l’application tu  S  est appelée symétrie glissante et
on a tu  S   S   tu .
Théorème
Toute isométrie est la composée d’au plus trois symétries axiales.
Récapitulatif
Isométrie
Point(s)fixe(s)

Id P
P

 
tu (u  0)


R I ,    2k 

S

I 



- - - -

- - - -


tu  S  ( u vecteur directeur de  )


- - - -


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