DERIVATION .4è .pdf


Nom original: DERIVATION .4è.pdf
Titre: L
Auteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

EXERCICES (4è.)
(Dérivation et Acc.finis)

Prof: B.Tabbabi

Exercice 1:
x

 f (x )  1  x  x ² si x  0
Soit la fonction f définie sur  par 
 f (x )  1  x ²  1 si x  0

x
1.Calculer lim f et lim f .Interpréter graphiquement ces résultats.
x  

x  

2.Etudier la continuité de f en 0.
3.Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 0.Interpréter graphiquement ce résultat.
4.a.Montrer que f est dérivable sur , 0 puis calculer f '(x) pour x appartenant à , 0 .
b.Montrer que f est dérivable sur 0,  et que f'(x) =

1 x ² 1
pour tout x de 0,  .
x ² 1 x ²

c.Dresser le tableau de variation de f.
 
5.Soit la fonction g définie sur  0,  par g(x) = f ( tan(x)).
 2
1  cos x
 
a.Sans expliciter g ( x ) ,montrer que g est dérivable sur  0,  puis montrer que g '(x ) 
.
sin ² x
 2
b.Donner l'expression de g(x) puis retrouver l'expression de g' ( x )
c.Dresser le tableau de variation de g.
Exercice 2 :
En utilisant le nombre dérivé en un point ,calculer la limite de la fonction f au point a indiqué.

f ( x) 

2sin x  2
2 cos x  2

; a=1 ;

f ( x) 

tan x  3

; a 
3x  
3

;

f ( x) 

sin(2 x)  x
; a= 0
tan x  2 x

Exercice 3:
Exemple d’une fonction continue en un point dont la dérivée est discontinue en ce même point .

1
x ² sin   si x  1
Soit f la fonction définie sur  par f : x  
x 
0
si x  0

1.Montrer que f est continue en 0.
f (x )
2.Montrer que pour tout réel x différent de 0 on a :
 x .En déduire que f est dérivable en 0.
x
3.Vérifier que f est dérivable sur  puis donner l'expression de f ' ( x ) pour tout x réel.
 1 
4.a.Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a : f ' 
  1.
 n 
b.En déduire que la fonction f ' est discontinue en 0.
Exercice 4:
Les deux parties I et II de l’exercice sont indépendantes.
I-1.Montrer que pour tout x de IR on a : sin x  x et cos x  1  x .
2.Montrer que que pour tout réel x on a : sin x  x  2 x .
voir verso 

sin x

si x  0
 f (x ) 
 
II - On se propose de montrer que la fonction f définie sur 0,  par 
x
 2
 f (0)  1
est dérivable en 0.
1.Soit x un réel strictement positif.En utilisant l'égalité des accroissements finis à la fonction
x  sinx - x,montrer qu'il existe un réel c de l'intervalle 0, x  tel que sinx – x  x ( cosc – 1 ).

cos c  1
cos c  1
 
2.Vérifier que pour tout réel x de  0,  on a :

 0.
c
x
 2
3.En déduire que f est dérivable en 0 et que f ' ( 0 ) = 0.

Exercice 5:
On considère les deux fonctions f et g définies sur  par f ( x ) = x 5  x  2 et g ( x ) = 2x 7 - x 3 -1.
f (x )
On se propose de calculer lim
.
x  1 g (x )
1.Montrer qu'il existe un réel c 1 compris entre 1 et x tel que f( x ) = ( x – 1 )f ' ( c 1 ).
De même,montrer qu'il existe un réel c 2 compris entre 1 et x tel que g ( x ) = ( x -1 )g ' ( c 2 ).
2.Vérifier que si x tend vers 1 alors c 1 et c 2 le sont aussi.
f '(c1 )
f (x )
f '(c )
3. Montrer alors que lim
 lim
 lim
x  1 g (x )
x  1 g '(c )
c  1 g '(c )
2
f (x )
4.Calculer alors lim
.
x  1 g (x )
f (x )
f '(x )
Conclusion : lim
.Cette égalité est appelée règle de L'Hôpital pour les calculs de limites
 lim
x  a g (x )
x  a g '( x )
0
dans le cas " " .
0
" Guillaume de L'Hôpital est un mathématicien français -1661 / 1704- "
Exercice 6 :
1
2
x   .
2
x 
1.a.Vérifier que f est impaire et dresser le tableau de variation de la restriction de f sur 0,  .

Soit la fonction f définie sur * par f ( x ) =

 3
b.Déterminer l'image de l'intervalle 1,  par f.
 2
1
2.Montrer que pour tout x  1 on a : f '(x ) 
2
3.Soit la suite ( u n ) définie sur  par u 0  1 et u n 1  f ( u n ) pour tout n de  .
3
a.Montrer que pour tout n de  on a : 1  u n  .
2
1
b.Montrer que u n 1  2  u n  2 .
2
n

1
c.Montrer par récurrence que pour tout n de  on a : un  2    .En déduire lim u n .
n +
2

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