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EXO.SUITE.4è.M .pdf


Nom original: EXO.SUITE.4è.M.pdf
Titre: Exercice :
Auteur: Boubaker Tabbabi

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EXERCICES
(suites réelles 4è.M)

B.Tabbabi

Exercice 1 :
On considère la suite réelle définie sur IN par u0  2 et un 1 

2un
pour tout n de IN.
3  un

Dans cet exercice on propose trois manières différentes pour prouver que  un  est convergente.
1.Montrer que pour tout n de IN on a : un  0 .
2.Utilisation d’une suite auxiliaire
On considère la suite v définie sur IN par vn 

un
.
1  un

a.Montrer que v est géométrique.
b.En déduire l’expression de un en fonction de n.
c.Calculer la limite de la suite  un  .
3.Utilisation d’une inégalité

a.Montrer que pour tout n de IN on a : un 1 

2
un .
3
n

2
b.Montrer alors que pour tout n de IN on a : un  2.  .
3
c.En déduire que u est convergente et déterminer sa limite.
d.Déterminer , en utilisant éventuellement une calculatrice, un entier n 0 tel que pour tout n  n0 on a
un   10 2 ,10 2  .

3.Utilisation de propriétés des suites u n 1  f  un 
a.Montrer que

 un 

est croissante et en déduire qu’elle est convergente.

b.Déterminer la limite de la suite  un  .
Exercice 2 :
Soit n un entier naturel tel que n  2 .
On considère la fonction f n définie sur [0,1] par f n ( x )  x n  ( 1  x )² .
1.a.Etudier le sens de variation de f n sur [0,1].
b.Montrer alors que l’équation f n (x)= 0 admet dans ]0,1[ une solution unique  n .
c. Vérifier que f n 1  n     1   n  .
3

d.Montrer alors que la suite  n n 2 est croissante et en déduire qu’elle est convergente.

On note  la limite de la suite  n n 2 .
2.On suppose que   1 .
a.Que vaut lim  n  ?
n

n 

b.A l’aide de la relation f n  n  = 0 ,montrer que   1 .
c.Quelle est alors la limite de la suite  n n 2 ?

* * * * * * * * * * *


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