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Nom original: TD1-cor.pdf
Titre: TD1-cor
Auteur: Mesrar

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Série 1 – Calcul tensoriel - corrigé
Exercice 1
1. L'indice

est un indice libre ; notons

l'indice muet, il vient :

2. Les premiers indices, notés 1 des quantités

et

sont libres ; notons

l'indice de

sommation, il vient :

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4
(1) Ce n’est pas une expression valide parce que les indices libres r et s ne sont pas égaux.
(2) Valide : m et s sont tous deux des indices libres. Il y a 9 équations (m, s=1, 2, 3).

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Rachid MESRAR
TD1- corrigé

1

(3) Ce n’est pas une expression valide parce que l’indice libre j n’apparaît pas dans les 2
membres de l’équation et parce que l’indice i est un indice muet dans une expression et
un indice libre dans l’autre.
L’indice i ne peut pas être utilisé comme un indice libre et muet dans la même équation.
L’équation serait valide si le i du membre de gauche de l’équation était remplacé par j (il
y aurait alors 3 équations).
(4) Cette expression est valable et contient l’équation : x12 + x 22 + x32 = r 2 .
(5) Cette expression est valide dans certains domaines des mathématiques mais pas en
mécanique des milieux continus parce qu’elle viole le principe d’invariance matérielle sous
un changement de base (toute composante d’un vecteur ne peut avoir la même valeur dans
toutes les bases).
Exercice 5
L'indice est un indice libre ; on a deux indices de sommation et
obtenus doit être égal à
.

et le nombre de termes

Exercice 6
(1) Des contractions successives d’indices donnent le résultat

δ ijδ jk δ kpδ pi = δ ijδ jk δ ki = δ ijδ ji = δ ii = 3
(2) On développe cette expression en utilisant la relation entre les symboles de Kronecker
et de Levi-Civita :

ε mjk ε njk = δ mnδ ij − δ mjδ nj = 3δ mn − δ mn = 2δ mn
En particulier, l’expression ε ijk ε ijk est équivalente à 2δ ii = 6 .
(3) En développant l’expression à l’aide de la notation indicielle, on obtient :

r
r
( A ∧ B ).(C ∧ D ) = ( Ai B jε ijk ek ).(Cm Dnε mnp e p ) = Ai B j Cm Dnε ijk ε mnpδ kp = Ai B j Cm Dnε ijk ε mnk
= Ai B j Cm Dn (δ imδ jn − δ inδ jm ) = Ai B j C m Dnδ imδ jn − Ai B j C m Dnδ inδ jm = Ai B j Ci D j − Ai B j C j Di
= Ai Ci B j D j − Ai Di B j C j = ( A.C )( B.D ) − ( A. D )( B.C )

Remarque
Même si l’identité vectorielle précédente est établie dans une base orthonormée, elle
reste vérifiée dans une base quelconque. Autrement dit, cette identité vectorielle est
invariable.
Exercice 7

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Rachid MESRAR
TD1- corrigé

2

Exercice 8

Exercice 9
1. Effectuons un changement des indices muets en changeant en

et

en , il vient :

2.

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Rachid MESRAR
TD1- corrigé

3

Utilisant le résultat précédent

, il vient :

d'où :
Exercice 10
Développons

l'expression,

il

vient

Les termes entre parenthèses sont les déterminants d'ordre deux. Le symbole d'antisymétrie
a pour valeur :

d'òu :

On obtient de même :

Regroupons avec le développement du début, on obtient :

C'est l'expression du développement selon sa première ligne d'un déterminant d'ordre trois.

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Rachid MESRAR
TD1- corrigé

4


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