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FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE/ AGADIR

2013/2014

Elasticité – TD n° 2
SMP5
Tenseur des contraintes

σ

Exercice 1 : vecteur contrainte sur une facette
En un point M d’un solide, dans le repère orthonormé
valeur :

(

r
i

, le tenseur des contraintes a pour

r

r
,

j

,

k

)

 100 − 40 20 


σ ( M ) =  − 40 − 60 50  MPa
 20
50 40 

1- Faire un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des
contraintes.
2- Soit le vecteur unitaire de composantes :

r

 1
r 1 
n =  2
3 
 2

Sur la facette n :

r

r

a- Calculer les composantes du vecteur contrainte T ( M , n ) .
b- Calculer la contrainte σ n .

r

c- Calculer les composantes du vecteur cisaillement τ n , puis le module τ n du cisaillement.

Exercice 2 : état de contrainte en un point

r r r

En un point M d’un solide, dans le repère orthonormé ( i , j , k ) , le tenseur des contraintes a pour
valeur :

 100 − 40 0 


σ ( M ) =  − 40 80 0  MPa
 0
0
0 

1- Faire un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des contraintes.
2- Soit le vecteur unitaire de composantes :

r

 1
r 1 
n =  2
3 
 0

Sur la facette n :

r

r

a. Calculer les composantes du vecteur contrainte T ( M , n ) .
b. Calculer la contrainte σ n .

__________________________________________________________________________________ 1/2
Rachid MESRAR
TD2-contraintes

r
c. Calculer les composantes du vecteur cisaillement τ n , puis le module τ n du cisaillement.
d. Faire un dessin qui montre la facette, le vecteur contrainte, la contrainte normale te le
vecteur cisaillement.
3- Calculer les contraintes et les directions principales.
4- Faire un dessin qui montre la signification physique des contraintes et des directions
principales.
5- Calculer les contraintes équivalentes de Von Mises et de Tresca.

Exercice 3 : contraintes principales

r r r

Soit le tenseur des contraintes au point M défini, dans le repère cartésien (O , e x , e y , ez ) , par :

 1 2 0


σ (M ) =  2 − 1 0 
 0 0 3


1- Montrer que Oz est une direction principale associée à la valeur propre σ 3 = 3 .

r

2- Calculer les contraintes principales σ 1 , σ 2 , avec σ 1 f σ 2 , dans le plan normal à ez ainsi que les
directions principales.
r
3- Pour toute facette n on peut décomposer le vecteur contrainte en une composante normale et
tangentielle :

r
r
r r
T (M , n) = σ nn + τ n
Quelle est la facette qui porte la plus grande composante tangentielle ?

Exercice 4 : état plan de contraintes
On considère le tenseur plan défini, dans le repère cartésien (Oxyz), par :

 1 2 0


σ (M ) =  2 − 1 0 
 0 0 0


1- Calculer les contraintes principales σ 1 , σ 2 , (avec σ 1 f σ 2 ) et l’angle ϕ entre l’axe Ox et la
direction principale Ox1.
2- Tracer le cercle de Mohr des contraintes en plaçant les extrémités Tx et Ty des vecteurs
r
r
r
r
contraintes T ( M , e x ) et T ( M , e y ) .
3- Calculer le centre du cercle OM et son rayon R.
4- Repérer dans le plan de Mohr l’angle ϕ M = −2ϕ et point correspondant au cisaillement
maximum τ max , sa valeur numérique et l’angle par rapport à l’axe Ox.

Exercice 5 : changement de repère

Un élément en contrainte plane est tourné de ψ = 30° par rapport au repère cartésien (Oxyz).
Les contraintes exercées selon ces nouvelles directions sont :

σ n = −107 MPa ,

σ t = −31MPa ,

σ nt = 18MPa

Déterminer les contraintes exercées sur l’élément dans les direction Ox et Oy :
1- graphiquement avec le cercle de Mohr des contraintes ;
2- analytiquement avec les formules de changement de base.

__________________________________________________________________________________ 2/2
Rachid MESRAR
TD2-contraintes


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